1、专题(十)函数中的相似类型一相似与反比例函数1如图,AOB 是直角三角形,AOB90,OB2OA,点 A 在反比例函数y2x 的图象上若点 B 在反比例函数 ykx 的图象上,则 k 的值为()A4B4C8D8D2(长春中考)如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 在函数 ykx(k0,x0)的图象上,过点 A 作 x 轴的垂线,与函数 ykx(x0)的图象交于点 C,连结 BC交 x 轴于点 D.若点 A 的横坐标为 1,BC3BD,则点 B 的横坐标为()A32B2C52D3B3如图,矩形 OABC 的顶点 A,C 分别在 x 轴和 y 轴上,点 B 的坐标为(2,3),双曲线 ykx(x0
2、)的图象经过 BC 的中点 D,且与 AB 交于点 E,连接 DE.(1)求 k 的值及点 E 的坐标;(2)点 F 是 OC 边上一点,连接 BF,若FBCDEB,求直线 FB 的解析式解:(1)四边形 OABC 是矩形,点 B 的坐标为(2,3),点 C 的坐标为(0,3),D 为 BC 的中点,点 D 的坐标为(1,3),双曲线 ykx 经过点 D(1,3),k133,y3x.点 E 在 AB 上,点 E 的横坐标为 2,又双曲线 y3x 经过点E,点 E 纵坐标为 y32,点 E 的坐标为(2,32)(2)由(1)得 BD1,BE32,CB2.FBCDEB,CFBD CBBE,即CF1
3、232,解得 CF43,OF53,即点 F 的坐标为(0,53).设直线 FB 的解析式为 yk1xb,而直线 FB 经过点 B(2,3),F(0,53),2k1b3,b53,解得 k123,b53,直线 FB 的解析式为 y23 x53类型二相似与二次函数4(泰州中考)如图,在ABC 中,C90,AC3,BC4,P 为 BC 边上的动点(与 B,C 不重合),PDAB,交 AC 于点 D,连接 AP,设 CPx,ADP 的面积为 S.(1)则 AD_;(用含 x 的代数式表示)(2)S 与 x 的函数解析式为_;(3)当 S 随 x 增大而减小时,x 的取值范围为_.34 x3S38(x2)
4、2322x45如图,抛物线 yx24x3 与坐标轴交于 A,B,C 三点,点 P 为抛物线上一点,PEBC 于点 E,且 CE3PE,求点 P 的坐标.解:过点 E 作 EMCO 于点 M,过点 P 作 PNME 的延长线于点 N,图略易得CEMEPN,CMECOB,又易得点 B,C 的坐标为(3,0),(0,3),COOB,CMEM,设 EM3k,CE3PE,PNENk,P(4k,32k),点 P 在抛物线上,32k16k216k3,解得 k10(舍去),k278,点P 的坐标为(72,54)6如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yx2bxc 与 x 轴相交于点A(1,0)和点 B,
5、与 y 轴相交于点 C(0,3),抛物线的顶点为点 D,连接 AC,BC,DB,DC.(1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标;(2)求证:ACODBC;(3)如果点 E 在 x 轴上,且在点 B 的右侧,BCEACO,求点 E 的坐标解:(1)抛物线 yx2bxc 经过点 A(1,0),C(0,3),1bc0,c3,解得b2,c3,抛物线的解析式为 yx22x3,顶点 D 的坐标为(1,4)(2)证明:当 y0 时,x22x30,解得 x11,x23,B(3,0),又A(1,0),D(1,4),DC 2,BC3 2,BD2 5,AO1,CO3,DC2BC2BD2,BCD 是直角三角形,且BC
6、D90,AOCDCB,又AODC 22,COBC 22,AODC COBC,ACODBC(3)如图,设 CE 与 BD 交于点 M.ACODBC,DBCACO,又BCEACO,DBCBCE,MCMB,BCD90,BCMDCM90CBMD,DCMD,MCMD,DMBM,即点 M是 BD 的中点,B(3,0),D(1,4),M(2,2),设直线 CE 的解析式为 ykxb1,则b13,2kb12,解得k12,b13,直线 CE 的解析式为 y12 x3,当 y0 时,12 x30,解得 x6,点 E 的坐标为(6,0)7(黑龙江中考)如图,抛物线 yax2bx3(a0)与 x 轴交于点 A(1,0
7、)和点 B(3,0),与 y 轴交于点 C,连接 BC,与抛物线的对称轴交于点 E,顶点为点 D.(1)求抛物线的解析式;(2)点 P 是对称轴左侧抛物线上的一个动点,点 Q 在射线 ED 上,若以点 P,Q,E 为顶点的三角形与BOC 相似,请直接写出点 P 的坐标解:(1)抛物线 yax2bx3 过点 A(1,0),B(3,0),ab30,9a3b30,解得a1,b2,抛物线的解析式为 yx22x3(2)令 x0,得 y3,OCOB3,即OBC 是等腰直角三角形抛物线的解析式为 yx22x3,抛物线的对称轴为 x1.设 DE 与 x 轴相交于点 N,则 ENy 轴,BENBCO,BNBO ENCO,23 EN3,EN2.若PQEOBC,则PEQ45,如图所示,过点 P 作 PHED,垂足为点 H,PHE90,HPEPEH45,PHHE,可设点 P 的坐标为(x,x12),代入抛物线解析式,得x12x22x3,解得 x12,x21(舍),点 P 的坐标为(2,3);若QPECBO,如图所示,易得 PEx 轴,可设点 P(x,2),代入抛物线解析式,得 2x22x3,解得 x11 2,x21 2(舍),点 P的坐标为(1 2,2).综上所述,点 P 的坐标为(1 2,2)或(2,3)