1、专题训练(十)证明圆切线的两种方法第27章 圆类型之一已知直线与圆的交点连半径，证垂直【方法指导】如图，若已知要证的直线 AB 与O 有公共点 C，则可先连结圆心O 与公共点 C 得半径 OC，再证明半径 OCAB 即可，口诀是“连半径，证垂直”(一)利用角度转换证垂直1(扬州中考)如图，AB 为O 的弦，OCOA 交 AB 于点 D，交过点 B 的直线于点 C，且 CBCD，求证：直线 BC 是O 的切线证明：连结 OB，OAOB，CBCD，AOBA，CBDCDBADO.又OCOA，AADO90，OBCOBACBD90，即 OBBC，直线 BC 是O 的切线2(卧龙区二模)如图，已知 AB
2、是O 的直径，D 是 AC 的中点，CAE2C，连结 OD 并延长交CAE 的边 AE 于点 E，连结 AC 分别交 OE，BD 于点 F，H.(1)求证：AE 是O 的切线；(2)若 DH9，tan C34，求直径 AB 的长解：(1)证明：D 是 AC 的中点，ODAC，FAOAOD90，又CAE2CAOD，FAOCAE90，OAAE，AE 是O 的切线(2)连结 AD，D 是 AC 的中点，DADC，DACC，tan DACtan C34，AB 是O 的直径，ADH90，ADDHtan DAC 93412，又BC，BD ADtan B ADtan C 123416，ABAD2BD2 20
3、证明：连结 OC，AB12，OAOBOC6，OPOBBP6410.在OPC 中，OP10，PC8，OC6，6282102，即 CO2PC2OP2，OPC 为直角三角形，且OCP90，即 OCPC，PC 是O 的切线(二)利用勾股定理的逆定理证垂直3如图，AB 为O 的直径，点 P 为 AB 延长线上的一点，点 C 为O 上的一点，若 PC8，PB4，AB12，求证：PC 是O 的切线证明：连结 OD，BC 与O 相切于点 B，CBO90.OAOD，OADODA.又ADOC，OADCOB，ADOCOD，CODCOB.又ODOB，OCOC，CODCOB(SAS)，CDOCBO90，ODCD，CD
4、是O 的切线(三)利用全等证垂直4如图，AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点 B，D 是O 上的一点，且ADOC，求证：CD 是O 的切线5(广元中考)在 RtABC 中，ACB90，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 E 是边 BC 的中点，连结 DE.(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若 AD4，BD9，求O 的半径解：(1)证明：连结 OD，CD，OE，AC 是O 的直径，ADC90，CDB180ADC90.又点 E 是边 BC 的中点，DE12 BCCE.又OCOD，OEOE，OCEODE(SSS)，ODEACB90，即 ODDE，DE是O 的切线(2)ACBADC9
5、0，AA，ACBADC，ACAD ABAC，AC2ADABAD(ADBD)4(49)52，AC2 13，O 的半径为13(四)利用平行证垂直6(资阳中考)如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，DEAC 交 BA 的延长线于点 E，交 AC 于点 F.(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若 AC6，tan E34，求 AF 的长解：(1)证明：连结 OD，ABAC，OBOD，BC，BODB，CODB，ACOD.又DEAC，ODDE，DE 是O 的切线(2)AB AC6，AOOB OD3，DE ODtan E 3344，OE OD2DE23242 5，AE OE
6、 OA 2.又 ACOD，AEFOED，AEOE AFOD，25 AF3，AF65类型之二未知直线与圆的交点作垂直，证半径【方法指导】如图，若未给出要证的直线 AB 与O 的公共点，则需过圆心 O作 OCAB 于点 C，再证明 OC 为O 的半径即可，口诀是“作垂直，证半径”7如图，ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与O 相切于点D.求证：AC 是O 的切线证明：过点 O 作 OEAC 于点 E，连结 OD，OA，AB 与O 相切于点 D，ABOD.又ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，AO 是BAC 的平分线，OEOD，即 OE 是O 的半径，AC 是O 的切线8如图，在 RtABC 中，C90，点 O，D 分别为 AB，BC 的中点，连结OD，作O 与 AC 相切于点 E，在 AC 边上取一点 F，使 DFDO，连结 DF，试判断直线 DF 是否为O 的切线，并说明理由解：DF 是O 的切线，理由如下：过点 O 作 OGDF 于点 G，连结 OE，则OGD90DCF.又点 O，D 分别为 AB，BC 的中点，ODAC，ODGDFC.又OGDDCF90，ODDF，OGDDCF，OGCD.又AC 是O 的切线，OEAC，AEO90C，OEBC，四边形CDOE 是平行四边形，CDOE，OGOE，DF 是O 的切线