1、第三节等比数列时间：45分钟分值：100分 一、选择题1(2014北京卷)设an是公比为q的等比数列，则“q1”是“an为递增数列”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析等比数列an为递增数列的充要条件为或故“q1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件故选D.答案D2各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5()A33 B72C84 D189解析a1a2a321，a1a1qa1q221,33q3q221，即1qq27，解得q2或q3.an0，q2，a3a4a521q221484.答案C3已知等比数列an满足an0(
2、nN*)，且a5a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a5log2a2n1等于()A(n1)2 Bn2Cn(2n1) D(n1)2解析由等比数列的性质可知a5a2n5a，又a5a2n522n，所以an2n.又log2a2n1log222n12n1，所以log2a1log2a3log2a5log2a2n1135(2n1)n2.答案B4已知等比数列an的前n项积记为n，若a3a4a88，则9()A512 B256C81 D16解析由题意可知a3a4a7qa3a7a4qa3a7a5aa5a8.9a1a2a3a9(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5a，所以
3、983512，故选A.答案A5(2014大纲全国卷)设等比数列an的前n项和为Sn.若S23，S415，则S6()A31 B32C63 D64解析S23，S415，由等比数列前n项和的性质，得S2，S4S2，S6S4成等比数列，(S4S2)2S2(S6S4)，即(153)23(S615)，解得S663，故选C.答案C6(2015浙江嘉兴月考)已知等比数列an的前n项和为Sn，则下列一定成立的是()A若a30，则a2 0130，则a2 0140，则S2 0130D若a40，则S2 0140解析若a30，则a2 013a3q2 0100；若a40，则a2 014a4q2 0100，故A，B错；当a
4、30，则a10，因为1q与1q2 013同号，所以S2 0130，C正确故选C.答案C二、填空题7已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6_.解析a1，a3是方程x25x40的两个根且an是递增数列，故a34，a11，故公比q2，S663.答案638(2014广东卷)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则lna1lna2lna20_.解析因为an是等比数列，所以由已知可得a10a11a9a12a1a20e5，于是lna1lna2lna20ln(a1a2a3a20)，而a1a2a3a20(a1a20)10(e5)10
5、e50，lna1lna2lna20lne5050.答案509(2014安徽卷)如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC2，过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；，依此类推，设BAa1，AA1a2，A1A2a3，A5A6a7，则a7_.解析由题意知数列an是以首项a12，公比q的等比数列，a7a1q626.答案三、解答题10已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，S3a46，且a1，a4，a13成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an1，求数列bn的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d(d0)因为S3a46
6、，所以3a1a13d6.所以a13.因为a1，a4，a13成等比数列，所以a1(a112d)(a13d)2，即3(312d)(33d)2.解得d2.所以an2n1.(2)由题意bn22n11，设数列bn的前n项和为Tn，cn22n1，4(nN*)，所以数列cn为以8为首项，4为公比的等比数列所以Tnnn.11已知在正项数列an中，a12，点An(，)在双曲线y2x21上，数列bn中，点(bn，Tn)在直线yx1上，其中Tn是数列bn的前n项和(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bn是等比数列；(3)若cnanbn，求证：cn1cn.解(1)由已知点An在y2x21上知，an1an1，数
7、列an是以2为首项，以1为公差的等差数列，ana1(n1)d2n1n1.(2)证明：点(bn，Tn)在直线yx1上，Tnbn1.Tn1bn11(n2)，两式相减得bnbnbn1(n2)，bnbn1，bnbn1.由，令n1，得b1b11，b1，bn是以为首项，以为公比的等比数列(3)证明：由(2)可知anbn(n1)，cn1cn(n2)(n1)(n2)3(n1)(2n1)0，cn1cn. 1(2014上海徐汇、金山、松江二模)函数y图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是()A. B.C. D.解析因为y(x2)2y21(y0)，故函数的图象是以(2,0)为圆心，
8、1为半径的半圆由圆的几何性质可知圆上的点到原点的距离的最小值为1，最大值为3，故q23，即q，而a1a2an的最大正整数n的值为_解析设正项等比数列an的公比为q，则由a5，a6a7a5(qq2)3可得q2，于是an2n6，则a1a2an2n5.a5，q2，a61，a1a11a2a10a1.a1a2a111.当n取12时，a1a2a1227a1a2a11a12a1226成立；当n取13时，a1a2a132813时，随着n增大a1a2an将恒大于a1a2an.因此所求n的最大值为12.答案124已知等比数列an的所有项均为正数，首项a11，且a4,3a3，a5成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)数列an1an的前n项和为Sn，若Sn2n1(nN*)，求实数的值解(1)设数列an的公比为q，由条件可知q3,3q2，q4成等差数列，6q2q3q4，解得q3或q2，q0，q2.数列an的通项公式为an2n1(nN*)(2)记bnan1an，则bn2n2n1(2)2n1，若2，则bn0，Sn0，不符合条件；若2，则2，数列bn为等比数列，首项为2，公比为2，此时Sn(12n)(2)(2n1)，Sn2n1(nN*)，1.
