1、第二节 函数的单调性与最值A组基础对点练1下列函数既是偶函数又在区间(0，)上单调递增的是()Ayx3 ByxCy|x| Dy|tan x|解析：对于选项A，yx3为奇函数，不符合题意；对于选项B，yx是非奇非偶函数，不符合题意；对于选项C，y|x|是偶函数，且在区间(0，)上单调递增，符合题意；对于选项D，y|tan x|是偶函数，但在区间(0，)上不单调递增答案：C2(2021天津模拟)若函数f(x)满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”，则f(x)的解析式可以是()Af(x)(x1)2 Bf(x)exCf(x) Df(x)ln (x1)解析：根据条件知，
2、f(x)在(0，)上单调递减对于选项A，f(x)(x1)2在(1，)上单调递增，排除选项A；对于选项B，f(x)ex在(0，)上单调递增，排除选项B；对于选项C，f(x)在(0，)上单调递减，选项C正确；对于选项D，f(x)ln (x1)在(0，)上单调递增，排除选项D.答案：C3函数f(x)的单调递增区间是()A(，1)B(1，)C(，1)，(1，)D(，1)，(1，)解析：f(x)1，所以f(x)的图象是由y的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到的，而y的单调递增区间为(，0)，(0，)，所以f(x)的单调递增区间是(，1)，(1，).答案：C4(2020福建福州模拟
3、)函数f(x)(a0且a1)是R上的减函数，则a的取值范围是()A(0，1) BC D解析：a1.答案：B5函数f(x)x在上的最大值是()A BC2 D2解析：函数f(x)x在上单调递减，可知f(x)的最大值为f(2)2.答案：A6函数f(x)|x2|x的单调递减区间是()A1，2 B1，0)C0，2 D2，)解析：由于f(x)|x2|x作出函数图象，如图所示结合图象可知函数的单调递减区间是1，2.答案：A7设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()Ay在R上为减函数By|f(x)|在R上为增函数Cy在R上为增函数Dyf(x)在R上为减函数解析：选项A错，如f(x)x3，则y的
4、定义域为(，0)(0，)，在定义域上无单调性；选项B错，如f(x)x3，则y|f(x)|在R上无单调性；选项C错，如f(x)x3，则y的定义域为(，0)(0，)，在定义域上无单调性答案：D8已知函数f(x)则“c1”是“函数f(x)在R上递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：若函数f(x)在R上递增，则需log21c1，即c1.由c1c1，但c1 c1，所以“c1”是“f(x)在R上递增”的充分不必要条件答案：A9已知函数f(x)若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，) B(1，2)C(2，1) D(，2)(1，)解析：作出
5、f(x)的图象，如图所示，由f(x)的图象可知f(x)在(，)上是单调增函数，由f(2a2)f(a)得2a2a，即a2a20，解得2a1.答案：C10定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值等于()A1 B1C6 D12解析：由已知得当2x1时，f(x)x2；当1x2时，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数f(x)的最大值为f(2)2326.答案：C11函数yf(x)在0，2上单调递增，且函数f(x2)是偶函数，则下列结论成立的是()A.f(1)ffBff(1)fCfff(1)Dff(1)f解析：函数yf(
6、x)在0，2上单调递增，且函数f(x2)是偶函数，函数yf(x)在2，4上单调递减，且在0，4上函数yf(x)满足f(2x)f(2x)，f(1)f(3)，ff(3)f，即ff(1)f.答案：B12已知f(x)不等式f(xa)f(2ax)在a，a1上恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2) B(，0)C(0，2) D(2，0)解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，易知函数f(x)在R上为单调递减函数，所以不等式f(xa)f(2ax)在a，a1上恒成立等价于xa2ax，即x在a，a1上恒成立，所以只需a1，即a2.答案：A13函数f(x)在2，6上的最大值和最小值分别是_解析：函数f(x)2在
7、2，6上单调递减，所以f(x)minf(6)，f(x)maxf(2)4.答案：4， 14已知函数f(x)(a0，x0)，若f(x)在上的值域为，则a_解析：由反比例函数的性质知函数f(x)(a0，x0)在上单调递增，所以即解得a.答案：15函数f(x)x的值域为_解析：由2x10可得x，函数的定义域为.又函数f(x)x在上单调递增，当x时，函数取最小值f，函数f(x)的值域为.答案：16若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_解析：由f(x)可得函数f(x)的单调递增区间为，故3，解得a6.答案：6B组素养提升练1定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2(，0)(x1x
8、2)，都有0，则下列结论正确的是()Af(0.32)f(20.3)f(log25)Bf(log25)f(20.3)f(0.32)Cf(log25)f(0.32)f(20.3)Df(0.32)f(log25)f(20.3)解析：对任意的x1，x2(，0)，且x1x2，都有0，f(x)在(，0)上是减函数又f(x)是R上的偶函数，f(x)在(0，)上是增函数，00.3220.3log25，f(0.32)f(20.3)f(log25).答案：A2定义在2，2上的函数f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，且f(a2a)f(2a2)，则实数a的取值范围为()A1，2) B0，2)C0
9、，1) D1，1)解析：函数f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，函数在2，2上单调递增，0a1.答案：C3设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的单调递减区间是_解析：由题意知g(x)函数图象如图所示，由函数图象易得函数g(x)的单调递减区间是0，1).答案：0，1)4已知定义在R上的函数f(x)满足：f(xy)f(x)f(y)1，当x0时，f(x)1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调递增函数；(2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)4.解析：(1)令xy0得f(0)1.在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1x2)1.
10、又f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调递增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5.由f(x22x)f(1x)4得f(x22x)f(1x)15，即f(x2x1)f(3).又函数f(x)在R上是增函数，故x2x13，解得x2或x1，故原不等式的解集为x|x2或x15(2020绍兴模拟)已知函数f(x)px(p，q为常数)，且满足f(1)，f(2).(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的x，关于x的不等式f(x)2m恒成立，求实数m的取值范围解析：(1)解得函数f(x)的解析式为f(x)2x.(2)由(1)可得f(x)2x.任取x1，x2，且x1x2，则f(x1)f(x2)2(x1x2)2(x1x2)，0x1x2，x2x10，0x1x2，14x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)2x在区间上单调递减f(x)2x在区间上的最小值是f2.要使对任意的x，函数f(x)2m恒成立，只需f(x)min2m，即22m，解得m0.实数m的取值范围为0，).
