1、4.6函数的应用(二) 4.7数学建模活动：生长规律的描述必备知识基础练进阶训练第一层知识点一指数函数、对数函数、幂函数模型1.某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是()(下列数据仅供参考：1.41，1.73，1.44，1.38)A38% B41%C44% D73%2“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数则当N40时，t_.(已知lg 50.699，lg 30.477)3某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为yx(为常数)，其
2、中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为_万元.知识点二建立拟合函数模型解决实际问题4.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是()5某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示时间1234利润(千元)23.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的()Aylog2x By2xCyx2 Dy2x6某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆已知该公
3、司近三年的汽车生产量如下表所示：年份201620172018产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2016、2017、2018、2019定义为第一、二、三、四年现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了()A10天 B15天C19天 D2天2某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的
4、关系为ymlog2(x1)，设这种动物第一年有200只，到第7年它们发展到()A300只 B400只C500只 D600只3某人2016年1月1日到银行存入a元，年利率为x，若按复利计算，则到2021年1月1日可取款()Aa(1x)5元 Ba(1x)4元Ca(1x)5元 Da(1x5)元4某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是()Ay100x By50x250x100Cy502x Dy100log2x1005(易错题)某城市出租车起步价为10元，最远可租
5、乘3 km(含3 km)，以后每1 km增加1.6元(不足1 km按1 km计费)，则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为()6某个体企业的一个车间去年有8名工人，每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同若以今年为第一年，那么，将第n年企业付给工人的工资总额y(单位：万元)表示成n的函数，其表达式为()Ay(3n5)1.2n2.4By81.2n2.4nCy(3n8)1.2n2.4Dy(3n5)1.2n12.4二、填空题7现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，
6、(2,5)，现有两个待选模型，甲：yx21，乙：y3x1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用_作为函数模型8一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过_小时才能开车(精确到1小时，参考数据lg 20.30，lg 30.48)9燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v5log2(m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为_当一只两岁燕
7、子的耗氧量为80个单位时，其速度是_三、解答题10(探究题)一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少需保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？学科素养升级练进阶训练第三层1(多选题)如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2,3所示你能根据图像判断下列说法错误的是()图2的建议为减少运营成本图2的建议可能是提高票
8、价图3的建议为减少运营成本图3的建议可能是提高票价A BC D2某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时资金数额不超过利润的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是_(参考数据：1.0036006，lg 70.845)y0.025x；y1.003x；y1log7x；yx2.3(学科素养数学建模)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验：将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组
9、数据，其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克联想到教科书中研究“物体冷却”的问题，小明发现可以用指数型函数Saekt(a，k是常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量(1)a_. (2)求k的值(3)设这个试验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M，请画出M随t变化的函数关系的草图，并简要描述试验中糖块的溶解过程46函数的应用(二)47数学建模活动：生长规律的描述必备知识基础练1解析：设年平均增长率为p，由题意得(1p)623,1p1.41，p0.41.故选B.答案：B2解析：当N40时，t144lg144lg144(lg 52lg 3)36.72.答案
10、：36.723解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入yx中，即327，解得3，故函数解析式为yx3，所以当x5时，y125.答案：1254解析：20至30分钟时距离没有变化故选D.答案：D5解析：把x1,2,3,4代入，只有y2x的值最接近表格中的对应值答案：B6解析：建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)构造二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，将点坐标代入，可得解得a1，b7，c0，则f(x)x27x，故f(4)44，与计划误差为1.构造指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，将点坐标代入，可得解得a，b，c42
11、，则g(x)x42，故g(4)44244.4，与计划误差为1.4.由可得，f(x)x27x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系关键能力综合练1解析：当荷叶生长20天时，长满水面，所以生长19天时，荷叶覆盖水面面积的一半答案：C2解析：由已知第一年有200只，得m200.将m200，x7代入ymlog2(x1)，得y600.答案：D3解析：2016年1月1日到银行存入a元，到2017年1月1日本息共a(1x)元，作为本金转入下一个周期，到2018年1月1日本息共a(1x)(1x)a(1x)2元，因此，到2021年1月1日可取款a(1x)5元，故选A.答案：A4解析：由题意，对于A中的函数
12、，当x3或4时，误差较大对于B中的函数，当x4时，误差也较大对于C中的函数，当x1,2,3时，误差为0，x4时，误差为10，误差很小对于D中的函数，当x4时，y300，与实际值790相差很大综上，只有C中的函数误差最小故选C.答案：C5解析：出租车起步价为10元(最远3 km的行程)，即在(0,3内对应y值为10，以后每1 km增加1.6元，故选C.答案：C6解析：第一年企业付给工人的工资总额为11.280.839.62.412(万元)，而对于4个选项而言，当n1时，C，D相对应的函数值均不为12，故可排除C，D.再考虑第二年企业付给工人的工资总额，第二年有11个老工人，3个新工人，工资总额为
13、(111.222.4)万元，故选A.答案：A7解析：将x3分别代入yx21及y3x1中，得y32110，y3318.由于10更接近10.2，所以选用甲模型答案：甲8解析：设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(10.25)n.根据题意，有0.3(10.25)n0.09，在不等式两边取常用对数，则有nlgn(lg 32lg 2)lg 0.3lg 31，将已知数据代入，得n(0.480.6)0.481，解得n4，故至少经过5小时才能开车答案：59解析：由题意，燕子静止时v0，即5log20，解得q10；当q80时，v5log215(m/s)答案：1015 m/s10解析：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x200时，y5不满足公司要求；中，函数y1.003x，易知满足()，但当x600时，y5不满足公司要求；中，函数y1log7x，易知满足()，且当x1 000时，y取最大值1log71 00015不满足公司要求答案：3解析：(1)由题意，t0，Sa7.(2)因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.57e5k，解得k.(3)M随t变化的函数关系的草图如图所示溶解过程，随着时间的增加，逐渐溶解，溶解的速度越来越慢
