1、广东省广州市2020届高三数学二模考试试题 文（含解析）一、选择题（共12小题）1.若集合Ax|2x0，Bx|0x1，则AB（ ）A. 0，2B. 0，1C. 1，2D. 1，2【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，再利用交集定义求出AB【详解】解：集合Ax|2x0x|x2，Bx|0x1，ABx|0x10，1故选：B【点睛】本题考查交集的概念及运算，属于基础题.2.已知i为虚数单位，若，则（ ）A. 2B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】由已知条件，结合复数的运算可得，由模长公式可得答案【详解】，故.故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的相关概念，考查计算能力，
2、属于基础题.3.已知角的项点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用任意角的三角函数的定义求解即可【详解】点在角的终边上，故选：C【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.4.若实数x，y满足，则的最小值是（ ）A. 2B. C. 4D. 6【答案】B【解析】【分析】由实数x，y满足，作出可行域，将目标函数转化为，平移直线，当直线在y轴上截距最大，目标函数取得最小值.【详解】由实数x，y满足，作出可行域如图阴影部分：将目标函数转化为，平移直线，当直线经过点，在y轴上截距最大
3、，此时，目标函数取得最小值，最小值为故选：B【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想与方法，属于基础题.5.已知函数f（x）1+x3，若aR，则f（a）+f（a）（ ）A. 0B. 2+2a3C. 2D. 22a3【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（a）与f（a）的表达式，进而计算可得答案【详解】解：根据题意，函数f（x）1+x3，则f（a）1+a3，f（a）1+（a）31a3，则有f（a）+f（a）2；故选：C【点睛】本题考查了利用函数解析式求函数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.6.若函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A. 是函数图
4、象的一个对称中心B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在区间上单调递增D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到【答案】A【解析】【分析】先由图象可知，再把点代入函数解析式，结合，可求得，从而确定函数的解析式为然后根据正弦函数的对称中心、对称轴和单调性以及平移变换法则逐一判断每个选项即可【详解】由图可知，函数的图象经过点，即，令，则，当时，对称中心为，即A正确；令，则，不存在使其对称轴为，即B错误；令，则，当时，函数的单调递增区间为，即C错误；的图象向左平移个单位得到，即D错误故选：A【点睛】本题考查利用三角函数图象求函数解析式，同时也考查了正弦型函数的对称性、单调性以及三角函数图象变换，考
5、查推理能力，属于中等题.7.周髀算经中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为a（0ar），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p，则圆周率的值为（）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积，利用几何概型的概率公式求出p，则可求【详解】圆形钱币的半径为rcm，面积为S圆r2；正方形边长为acm，面积为S正方形a2在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是p1，所以故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率求
6、法及应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.在三棱柱ABCA1B1C1中，E是棱AB的中点，动点F是侧面ACC1A1（包括边界）上一点，若EF/平面BCC1B1，则动点F的轨迹是（ ）A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分【答案】A【解析】【分析】分别取AC，A1C1，A1B1的中点N，F，M，连接ME，MF，NE，EF，证明N，E，M，F共面，利用线面平行证明EF平面BCC1B1，则轨迹可求【详解】如图所示：分别取AC，A1C1，A1B1的中点N，F，M，连接ME，MF，NE，EF，因为E为AB的中点，所以NEBC且NE，FMB1C1，MFB1C1，所以N，E，M，
7、F共面，所以MEBB1，NEBC，所以ME平面BCC1B1，NE平面BCC1B1而NEMEE，BCBB1B，所以面NEMF平面BCC1B1，而EF面MN，所以EF平面BCC1B1，所以要使EF平面BCC1B1，则动点F的轨迹为线段FN故选：A【点睛】本题主要考查线线平行，线面平行，面面平行的转化，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.9.已知函数，则的解集为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数的单调性，分类讨论求得x的范围【详解】函数，则f（x）f（x+1），当x0时，则x+11，则不等式f（x）f（x+1），即x21（x+1）21，求得x0当01，则
8、不等式f（x）f（x+1），此时f（x）=x210f（x+1）=log2（x+1），0x1成立当x1时，不等式f（x）f（x+1），即 log2xlog2（x+1），求得x1综上可得，不等式的解集为（，+），故选：C【点睛】本题主要考查分段函数与不等式的综合，涉及到二次函数、对数函数的单调性及值域的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题10.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB6,c3,B2C,则cosC的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得
9、，进而根据余弦定理即可求解的值【详解】解：，由正弦定理,可得,可得，设的外接圆半径为，由正弦定理可得，又，可得，可得，可得，则为锐角，解得故选：D【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意确定合适的三角函数公式互化求解，属于中档题.11.若关于x的不等式2lnxax2+（2a2）x+1恒成立，则a的最小整数值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据条件先参变分离得：，令g（x），问题转化为 ，再对求导判断其单调性，求解，从而得到a的最小整数值.【详解】若关于x的不等式2lnxax2+（2a2）x+1恒成立，问题等价于a在（0，+）恒成立，令g
10、（x），则g（x），令h（x）xlnx，（x0），则h（x）0，故h（x）在（0，+）递减，又，所以存在，使得，即，所以x（1，x0）时，g（x）0，g（x）递增，x（x0，2）时，g（x）0，g（x）递减，g（x）maxg（x0），又，所以g（x）maxg（x0），又1x02，a1，a的最小整数值是1.故选：B【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围问题，解题关键在于若能参变分离先分离，分离之后转化为利用导数求函数的最值问题，考查运算和分析转化能力，属于中档题.12.过双曲线C：1（a0，b0）右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，与双曲线交于点A，若 ，则双曲线C的渐近线方程为
11、（ ）A. yxB. yxC. y2xD. yx【答案】A【解析】【分析】先由题意画出图形，不妨设一条渐近线方程为，求得直线F2P：y,与已知渐近线方程联立求得点P的坐标，再由向量等式求得A的坐标，代入双曲线方程整理即可求得双曲线C的渐近线方程【详解】如图，不妨设双曲线的一条渐近线方程为，则F2P所在直线的斜率为，直线F2P的方程为：y，联立，解得P（），设A（x0，y0），由，得（，）3（x0c，y0），所以 ，解得： ，即A（，），代入1，得，整理得：，解得：，所以，双曲线C的渐近线方程为y故选：A【点睛】本题考查双曲线的性质、渐近线方程的求法，考查向量关系的坐标表示，考查计算能力和分析转
12、化能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量，若与共线，则实数的值为_【答案】2【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示，列出方程求解，即可得出结果.【详解】根据题意，向量，若与共线，则有，解得；故答案为：2【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.14.已知等比数列an是单调递增数列，Sn为an的前n项和，若a24，a1+a310，则S4_【答案】30【解析】【分析】设等比数列an的公比为q，由a24，a1+a310，及等比数列an是单调递增数列解得q，再利用求和公式即可得出【详解】解：设等比数列an的公比为q，a24
13、，a1+a310，4q10，化为：2q25q+20，解得q2或等比数列an是单调递增数列，q2a12则S430故答案为：30【点睛】本题考查求等比数列的前项和，方法是基本量法，即求出数列的首项和公比，然后由公式直接计算15.斜率为的直线过抛物线的焦点，若直线与圆相切，则_【答案】【解析】【分析】求出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求解即可【详解】解：斜率为的直线过抛物线的焦点，直线的方程为，即，直线与圆相切，圆心为，半径为，解得或（舍去）.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查抛物线的焦点坐标，解题时由抛物线焦点坐标写出直线方程，由圆心到直线距离等于半径即可求解16.正四
14、棱锥PABCD的底面边长为2,侧棱长为2,过点A作一个与侧棱PC垂直的平面,则平面被此正四棱锥所截的截面面积为_,平面将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为_.【答案】 (1). (2). （或2）【解析】【分析】由已知得PAC为正三角形,取PC的中点G,得AGPC,且AG.然后证明AGEF,且求得AG与EF的长度,可得截面四边形的面积；再求出四棱锥PAEGF的体积与原正四棱锥的体积,则平面将此正四棱锥分成的两部分体积的比值可求.【详解】解：如图,在正四棱锥PABCD中,由底面边长为2,侧棱长为,可得PAC为正三角形,取PC的中点G,得AGPC,且AG.设过AG与PC垂直的平面交PB于E,交PD
15、于F,连接EF,则EGPC,FGPC,可得RtPGERtPGF,得GEGF,PEPF,在PAE与PAF中,由PAPA,PEPF,APEAPF,得AEAF.AGEF.在等腰三角形PBC中,由PBPC2,BC2,得cosBPC,则在RtPGE中,得.同理PF,则EFDB,得到.；则.又,平面将此正四棱锥分成的上下两部分体积的比为.故答案为：；（或2）.【点睛】本题主要考查了锥体中的截面计算问题,需要根据线面垂直的性质求出截面四边形,再根据三角形中的关系求解对应的边长以及面积等.属于难题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、2
16、3题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.已知数列an的前n项和为Sn,且Snn（n+2）（nN*）.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn,求数列bn的前n项和Tn.【答案】（1）an2n+1；（2）Tn.【解析】【分析】（1）由n1时求得a1,当n2时,由Snn（n+2）（nN*） ,可得Sn1（n1）（n+1） ,由得an2n+1,再检验当n1时是否适合,求得an；（2）由（1）求得bn再利用错位相减法求其前n项和Tn即可.【详解】解：（1）由题知：当n1时,有S1133a1；当n2时,由Snn（n+2）（nN*） ,可得Sn1 ,由 得an2n+1,又n1时也适合,故
17、an2n+1；（2）由（1）知bn,Tn357（）3+（2n+1）（）n,35（）3+（2n+1）,由可得：,所以Tn.【点睛】本题主要考查了根据数列的前项和求解通项公式的方法,同时也考查了错位相减求和的方法,属于中档题.18.如图，在三棱柱中，侧面为菱形，（1）求证：；（2）若，三棱锥的体积为，且点在侧面上的投影为点，求三棱锥的表面积【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）由侧面为菱形，得，再由，为的中点，得，利用直线与平面垂直的判定可得平面，从而得到；（2）点在侧面上的投影为点，即平面，设，由三棱锥的体积为求解，再求解三角形可得三棱锥的表面积【详解】（1）证明：侧面菱形，又，为
18、的中点，而，平面，得；（2）解：点在侧面上的投影为点，即平面，在菱形中，为等边三角形，又，设，则， ，则，即在平面中，过作，连接，可得OE，则，同理可得则三棱锥的表面积为【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求三棱锥的表面积问题，属于常考题型.19.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数（百分制）随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健康指数的数据模糊不清（用x表示），已知这30名职工的健康指数的平均数为76.
19、2（1）根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；（2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率；（3）经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据（即剔除x）健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差（结果精确到0.1）【答案】（1）众数是76，中位数是81；（2）；（3）平均数为69，方差约为174.2【解析】【分析】（1）根据茎叶图中数据，计算样本中男职工健康指数的众数和中位数即可；（2）根据分层抽样原理求出抽取的男、女职工人数，用列举法求出基本事件数，
20、计算所求的概率值即可；（3）根据题意求出x的值，再计算健康指数的平均数和方差【详解】（1）根据茎叶图，得到样本中男职工健康指数的众数是，中位数是；（2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这名职工中随机抽取人，抽样比男职工抽（人），记为，女职工人，记为，从这人中随机抽取人，所有的基本事件是、共种，抽取的人都是男职工的事件为、，故所求的概率为P；（3）由题意知: ，解得；所以样本中所有女职工的健康指数平均数为，方差为.【点睛】本题第一问考查众数和中位数，第二问考查古典概型，第三问考查方差和平均数，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.20.已知椭圆：过点，且离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为
21、的直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意得,再由离心率求出，进而得出，即可得到椭圆的方程（2）设直线的方程：，联立直线与椭圆的方程得到关于的一元二次方程，由韦达定理可得，的值和，即，根据线段中点，写出线段的垂直平分线的方程为，将点代入，得，代入式即可得到的取值范围【详解】（1）因为椭圆过点，且离心率为，所以椭圆的方程为：（2）设直线的方程：，联立直线与椭圆的方程联立得：.整理得：，.因为线段中点，所以线段的垂直平分线的方程为，又因为线段的垂直平分线过点，所以，即，所以，代入式得：，整理得：，即解得或，所以的取值范围为：
22、【点睛】本题第一问考查椭圆的方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，属于较难题.21.已知函数f（x）lnxsinx,记f（x）的导函数为f（x）.（1）若h（x）axf（x）是（0,+）上的单调递增函数,求实数a的取值范围；（2）若x（0,2）,试判断函数f（x）极值点个数,并说明理由.【答案】（1）a1；（2）函数f（x）在（0,2）上有且仅有唯一的极大值点,无极小值点；理由详见解析【解析】【分析】（1）只需h（x）0在（0,+）恒成立,借助于三角函数的有界性,问题可解决.（2）分x（0,1）,四种情形分别研究f（x）的单调性,进而得出结论.【详解】解：（1）,ax
23、+cosx,因为h（x）是（0,+）上的单调递增函数,h（x）asinx0（x0）恒成立,因为sinx1,1,故a1时,h（x）0恒成立,且导数为0时不连续.故a1即为所求.（2）由（1）知,当x（0,1时,f（x）1cosx0,此时函数f（x）单调递增,无极值点；当时,则,而由三角函数的性质可知,此时函数f（x）单调递增,无极值点；当时,cosx0,则,此时函数f（x）单调递增,无极值点；当时,令,则,函数g（x）单调递减,又,存在唯一的,使得g（x0）0,且当时,g（x）f（x）0,f（x）单调递增,当x（x0,2）时,g（x）f（x）0,f（x）单调递减,故x0是函数f（x）的极大值点,
24、综上所述,函数f（x）在（0,2）上有且仅有唯一的极大值点,无极小值点.【点睛】本题主要考查了根据函数的单调区间求解参数范围的问题,需要根据题意求导分析在区间上恒成立的问题,同时也考查了利用导数求解函数极值点个数的问题,需要根据题意分情况讨论导数的正负以及原函数的单调区间,再利用零点存在定理求解.属于难题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）写出曲线C1和C2的直角坐标方程；（2）已知P为曲线C2上的动点
25、，过点P作曲线C1的切线，切点为A，求|PA|的最大值【答案】（1）C1的直角坐标方程为；C2的直角坐标方程为；（2）【解析】【分析】（1）由（为参数），消去参数，可得曲线C1的直角坐标方程由，得2+32sin24，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C2的直角坐标方程；（2）由P为曲线C2上的动点，设P（2cos，sin），则P与圆的圆心的距离，利用二次函数求最值，再由勾股定理求|PA|的最大值【详解】解：（1）由（为参数），消去参数，可得曲线C1的直角坐标方程为；由，得2+32sin24，即x2+y2+3y24，即曲线C2的直角坐标方程为； （2）P为曲线C2上的动点，又曲线C2的参数方
26、程为设P（2cos，sin），则P与圆C1的圆心的距离要使|PA|最大值，则d最大，当sin时，d有最大值为|PA|的最大值为【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题23.已知函数f（x）|x+1|2x2|的最大值为M，正实数a，b满足a+bM（1）求2a2+b2的最小值；（2）求证：aabbab【答案】（1）；（2）详见解析【解析】【分析】（1）去绝对值得分段函数：，由单调性易求函数f（x）的最大值，即有M的值，再由柯西不等式，即可得到所求最小值；（2）应用分析法证明，考虑两边取自然对数，结合因式分解和不等式的性质、对数
27、的性质，即可得证.【详解】解：（1）函数，在（，1）上单调递增，在（1，）上单调递减，当x1时，f（x）取得最大值，即M2，正实数a，b满足a+b2，由柯西不等式可得（2a2+b2）（1）（ab）2，化为2a2+b2，所以当，即b，a时，2a2+b2取得最小值；（2）证明：因为a+b2，a，b0，要证aabbab，即证alna+blnblna+lnb，即证（a1）lna（1b）lnb，即证（a1）lna（a1）ln（2a），即证（1a）ln（1）0，当0a1时，11，所以ln（1）0，由1a0，可得（1a）ln（1）0；当a1时，（1a）ln（1）0；当1a2时，011，所以ln（1）0，因为1a0，所以（1a）ln（1）0，综上所述，（1a）ln（1）0成立，即aabbab.【点睛】本题考查含绝对值的函数最值的求解，考查柯西不等式的应用以及分析法证明不等式，考查学生计算能力与分析能力，是中档题.
