1、2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)第卷一、选择题:本小题共12题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。(1)复数的共轭复数是 (A) (B) (C) (D)答案:B解析:,共轭复数为:(2)若集合,则 (A) (B) (C) (D)答案:C解析:集合,故有(3)已知等比数列的各项都为正数, 且成等差数列, 则的值是 (A) (B) (C) (D) 答案:A解析:依题意,有,即,化简,得:,解得:,(4)阅读如图的程序框图. 若输入, 则输出的值为 (A) (B) (C) (D) 答案:B解析:解析:第1步:n16,k2;第2步:n49,k3;第3步:n1
2、48,k4;退出循环,k4。(5)已知双曲线的一条渐近线方程为,分别 是双曲线的左,右焦点, 点在双曲线上, 且, 则等于(A) (B) (C)或 (D)或答案:D解析:解析:依题意,有:,所以,3,因为所以,当点P在双曲线的左支时,有PF2PF12,解得:PF213当点P在双曲线的右支时,有PF1PF22,解得:PF21,故选D。(6)如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为, 则该几何体的俯视图可以是答案:D解析:该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P-ABCD,如下图所示,该几何体的俯视图为D。(7)五个人围坐在一张
3、圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为(A) (B) (C) (D)答案:C解析:五个人抛硬币的可能结果有2532种,如下图:有不相邻2人站起来的可能为:AD,AC,AC,AB,DB,共5种;只有1人站起来的可能有5种,没有人站起来的可能有1种,所以所求概率为:P(8)已知,分别是椭圆的左, 右焦点, 椭圆上存在点 使为钝角, 则椭圆的离心率的取值范围是(A) (B) (C) (D)答案:A解析:如图,当P为上端点时,F1PF2最大,此时,cb(9)已知成
4、立, 函数是减函数, 则是的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件答案:B解析:(10)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑, 平面, ,, 三棱锥的四个顶点都在球的球面上, 则球的表 面积为 (A) (B) (C) (D)答案:C解析:该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥P-ABC,如下图所示,其外接球的直径为对角线PC,PC,所以,R,球的表面积为:(11)若直线与函数的图象相交于点, 且,则线段与函数的图象所围成的图形面积是(A) (B) (C) (
5、D)答案:A解析:如下图,可得面积:(12)已知函数, 则的值为(A) (B) (C) (D)答案:B解析:解析二:第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题,每个考生都必须作答。第2223题为选考题,考生根据要求作答。二、填空题:本小题共4题,每小题5分。(13)已知,且,则向量与向量的夹角是 . 答案:解析:(14)的展开式中各项系数和为,则的系数为 .(用数字填写答案)答案:解析:(15)已知函数 若, 则实数的取值范围是 .答案:解析:(16)设为数列的前项和, 已知, 对任意N, 都有, 则N)的最小值为 . 答案:解析:三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步
6、骤。(17)(本小题满分12分) 如图, 在中, 点在边上, . () 求; () 若的面积是, 求.(18)(本小题满分12分)近年来,我国电子商务蓬勃发展. 2016年“618”期间,某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币,与此同时,相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统. 从该评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为0.6,对服务的满意率为0.75,其中对商品和服务都满意的交易为80次. () 根据已知条件完成下面的列联表,并回答能否有99%的把握认为“网购者对 商品满意与对服务满意之间有关系”?对服务满意对服务不满意合计对商品满意80
7、对商品不满意合计200 () 若将频率视为概率,某人在该网购平台上进行的3次购物中,设对商品和服务都满 意的次数为随机变量,求的分布列和数学期望.附:(其中为样本容量)0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635(19)(本小题满分12分)如图1,在直角梯形中,/,, 点是边的中点, 将沿折起,使平面平面,连接, 得到如图2所示的几何体. () 求证:平面;() 若,二面角的平面角的正切值为,求二面角 的余弦值. 图1 图2(20)(本小题满分12分) 过点作抛物线的两条切线, 切点分别为, . () 证明: 为定值;() 记的外接圆的圆心为点
8、, 点是抛物线的焦点, 对任意实数, 试 判断以为直径的圆是否恒过点? 并说明理由.(21)(本小题满分12分) 已知函数. () 若函数有零点, 求实数的取值范围; () 证明:当,时, . 请考生在第2223题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。(22)(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数. 在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线() 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;() 求曲线上的点到直线的距离的最大值.(23)(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数. () 若,求实数的取值范围;() 若R ,
9、 求证:.2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学试题答案及评分参考评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分3解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一、选择题 (1)B (2)C (3)A (4)B (5)D (6)D(7)C (8)A (9)B (
10、10)C (11)A (12)B二、填空题 (13) (14) (15) (16)三、解答题(17) 解:() 在中, 因为, 由余弦定理得, 1分 所以, 整理得, 2分 解得. 3分 所以. 4分 所以是等边三角形. 5分 所以 6分() 法1: 由于是的外角, 所以. 7分 因为的面积是, 所以.8分 所以. 9分 在中, , 所以. 10分 在中, 由正弦定理得, 11分 所以.12分法2: 作, 垂足为, 因为是边长为的等边三角形, 所以. 7分 因为的面积是, 所以. 8分 所以. 9分 所以. 在Rt中, , 10分所以, . 所以 11分. 12分(18)解:() 列联表:对服
11、务满意对服务不满意合计对商品满意8040120对商品不满意701080合计15050200 2分 3分 因为, 所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”. 4分() 每次购物时,对商品和服务都满意的概率为,且的取值可以是0,1,2,36分. 10分0123 的分布列为:11分所以. 12分或者:由于,则. 12分(19) 解:() 因为平面平面,平面平面, 又,所以平面. 1分 因为平面,所以. 2分 又因为折叠前后均有,, 3分所以平面. 4分 () 由()知平面,所以二面角的平面角为. 5分又平面,平面,所以.依题意. 6分因为,所以. 设,则. 依题意,所以,即
12、. 7分 解得,故. 8分法1:如图所示,建立空间直角坐标系,则,, 所以,.由()知平面的法向量.9分设平面的法向量由得令,得,所以. 10分所以. 11分由图可知二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为. 12分法2 :因为平面,过点作/交于,则平面. 因为平面,所以. 9分过点作于,连接,所以平面,因此. 所以二面角的平面角为. 10分由平面几何知识求得, 所以. 所以cos=. 11分所以二面角的余弦值为. 12分(20)解: () 法1:由,得,所以. 所以直线的斜率为. 因为点和在抛物线上, 所以,. 所以直线的方程为. 1分 因为点在直线上, 所以,即. 2分 同理, . 3分
13、 所以是方程的两个根. 所以. 4分 又, 5分 所以为定值. 6分法2:设过点且与抛物线相切的切线方程为, 1分由消去得,由, 化简得. 2分所以. 3分由,得,所以. 所以直线的斜率为,直线的斜率为. 所以, 即. 4分 又, 5分 所以为定值. 6分() 法1:直线的垂直平分线方程为, 7分 由于, 所以直线的垂直平分线方程为. 8分 同理直线的垂直平分线方程为. 9分 由解得, , 所以点. 10分 抛物线的焦点为 则 由于,11分 所以 所以以为直径的圆恒过点 12分另法: 以为直径的圆的方程为 11分把点代入上方程,知点的坐标是方程的解.所以以为直径的圆恒过点 12分法2:设点的坐
14、标为, 则的外接圆方程为, 由于点在该圆上, 则, . 两式相减得, 7分 由()知,代入上式得 , 8分 当时, 得, 假设以为直径的圆恒过点,则即, 得, 9分 由解得, 10分所以点. 11分当时, 则,点.所以以为直径的圆恒过点 12分(21)解:()法1: 函数的定义域为.由, 得. 1分 因为,则时, ;时, . 所以函数在上单调递减, 在上单调递增. 2分 当时, . 3分 当, 即时, 又, 则函数有零点. 4分所以实数的取值范围为. 5分法2:函数的定义域为.由, 得. 1分令,则.当时, ; 当时, .所以函数在上单调递增, 在上单调递减. 2分故时, 函数取得最大值. 3
15、分因而函数有零点, 则. 4分所以实数的取值范围为. 5分 () 令, 则. 当时, ;当时, . 所以函数在上单调递减, 在上单调递增. 当时, . 6分 于是,当时, 7分 令, 则. 当时, ;当时, . 所以函数在上单调递增, 在上单调递减. 当时, . 8分 于是, 当时, 9分 显然, 不等式、中的等号不能同时成立. 故当时, . 10分 因为所以. 所以. 11分 所以, 即. 12分(22)解: () 由 消去得, 1分 所以直线的普通方程为. 2分 由, 3分 得. 4分 将代入上式, 得曲线的直角坐标方程为, 即. 5分 () 法1:设曲线上的点为, 6分则点到直线的距离为7分8分 当时, , 9分 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.10分法2: 设与直线平行的直线为, 6分 当直线与圆相切时, 得, 7分 解得或(舍去), 所以直线的方程为. 8分 所以直线与直线的距离为. 9分所以曲线上的点到直线的距离的最大值为. 10分(23)解:() 因为,所以. 1分 当时,得,解得,所以; 2分 当时,得,解得,所以; 3分 当时,得,解得,所以; 4分综上所述,实数的取值范围是. 5分() 因为R , 所以 7分 8分 9分 . 10分