1、精品题库试题 理数1. (2014福建,3,5分)等差数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于()A.8B.10C.12D.14 1.C 1.S3=3a2=12,a2=4.a1=2,d=a2-a1=4-2=2.a6=a1+5d=12.故选C.2.(2014辽宁,8,5分)设等差数列an的公差为d.若数列为递减数列,则()A.d0C.a1d0 2.C 2.为递减数列,可知a1an也为递减数列,又a1an=+a1(n-1)d=a1dn+-a1d,故a1d0,a7+a100,即a80.又a8+a9=a7+a100,a90,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)0.但,
2、所以|a2n+1-a2n|0,因此a2n-a2n-1=.因为a2n是递减数列,同理可得,a2n+1-a2n0,故a2n+1-a2n=-=.由,知,an+1-an=.于是an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+-+=1+=+,故数列an的通项公式为an=+.29.(2014江苏,20,16分)设数列an的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称an是“H数列”.(1)若数列an的前n项和Sn=2n(nN*),证明:an是“H数列”;(2)设an是等差数列,其首项a1=1,公差d0.若an是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数
3、列an,总存在两个“H数列”bn和cn,使得an=bn+cn(nN*)成立. 29.查看解析 29.(1)证明:由已知,当n1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am.所以an是“H数列”.(2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因为an是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因为d0,所以m-20,故m=1.从而d=-1.当d=-1时,an=2-n,Sn=是小于2的整数,nN*.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=2-Sn=2-,使得Sn=2-m=am,
4、所以an是“H数列”.因此d的值为-1.(3)证明:设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(nN*).令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则an=bn+cn(nN*),下证bn是“H数列”.设bn的前n项和为Tn,则Tn=a1(nN*).于是对任意的正整数n,总存在正整数m=,使得Tn=bm.所以bn是“H数列”.同理可证cn也是“H数列”.所以,对任意的等差数列an,总存在两个“H数列”bn和cn,使得an=bn+cn(nN*).30.(2014课表全国,17,12分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-
5、1,其中为常数.()证明:an+2-an=;()是否存在,使得an为等差数列?并说明理由. 30.查看解析 30.()由anan+1=Sn-1,得an+1an+2=Sn+1-1.两式相减得an+1(an+2-an)=an+1.由于an+10,所以an+2-an=.()a1=1,又a1a2=S1-1,则可得a2=-1.由()知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4,由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得数列an为等差数列.
6、31.(2014重庆一中高三下学期第一次月考,22)(原创)在数列中,已知,其前项和满足。(1) 求的值;(2) 求的表达式;(3) 对于任意的正整数,求证:。 31.查看解析 31. (1) 依次令可得,; (2) 法一:由猜想,下面用数学归纳法证明:当时结论显然成立;假设时结论成立,即,则,故当时结论成立。综上知结论成立。 法二:猜想,下面用第二数学归纳法证明:当时结论显然成立;假设时结论成立,即,则,故当时结论成立。综上知结论成立。 法三:由题,当时,故,因此。又,故。(3) 法一:由(2) 知为等差数列,故。由知一定时,要使最小,则最大。显然,故,因此,从而。 法二:因为,所以,故,因
7、此,从而,即。法三:(i) 当时不等式显然成立;(ii) 假设时不等式成立,即,则如“法二” 可证,故,即当时不等式成立。综上得证。32. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试,22) 已知数列中,, 点在直线上,其中. (1)令,求证数列是等比数列;(2)求数列的通项; 设分别为数列的前项和,是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,试求出. 若不存在, 则说明理由. 32.查看解析 32.解:(I)由已知得 又是以为首项,以为公比的等比数列. 4分(II)由(I)知,将以上各式相加得: 8分(III)解法一:存在,使数列是等差数列.数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当,即
8、时,数列为等差数列. 14分解法二:存在,使数列是等差数列.由(I)、(II)知,又当且仅当时,数列是等差数列. 14分33. (2014山东青岛高三第一次模拟考试, 19) 在数列中,其前项和为,满足. ()求数列的通项公式;()设(为正整数), 求数列的前项和. 33.查看解析 33.() 由题设得: , 所以所以,当时,, 数列是为首项、公差为的等差数列故. (5分)()由() 知: ,(9分)设则两式相减得:整理得:,所以. (12分)34. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考,17) 已知等差数列中,;是与的等比中项()求数列的通项公式:()若求数列的前项和 34.查看解析
9、 34.()因为数列是等差数列,是与的等比中项所以,又因为,设公差为,则,所以,解得或,当时, ,;当时,.所以或. (6分)()因为,所以,所以,所以,所以两式相减得,所以. (13分)35.(2014湖北黄冈高三4月模拟考试,18) 已知数列的前项和,等差数列中,且公差.()求数列、的通项公式;()是否存在正整数,使得 若存在,求出的最小值,若不存在,说明理由. 35.查看解析 35.()时,相减得:,又,数列是以1为首项,3为公比的等比数列,.又,. (6分)()令得:,即,当,当。的最小正整数为4. (12分)36. (2014河北唐山高三第一次模拟考试,17) 在中,角、的对边分别为
10、,且. ()求的值; ()若成等差数列,且公差大于0,求的值. 36.查看解析 36.()由,根据正弦定理得,所以.(4分)()由已知和正弦定理以及()得.设,22,得.(7分)又,所以090,故.(10分)代入式得.因此.(12分)37. (2014广东广州高三调研测试,19) 已知数列满足,. () 求证:数列为等比数列;() 是否存在互不相等的正整数,使,成等差数列,且,成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的,;如果不存在,请说明理由. 37.查看解析 37.解:() 因为,所以.所以.因为,则.() 由() 知,所以.假设存在互不相等的正整数,满足条件,则有由与,得. (10分)即.
11、因为,所以.因为,当且仅当时等号成立,这与,互不相等矛盾.所以不存在互不相等的正整数,满足条件. (14分)38. (2014北京东城高三第二学期教学检测,20) 在数列,中,且成等差数列,成等比数列(). ()求,及,由此归纳出,的通项公式,并证明你的结论;()证明:. 38.查看解析 38.()由条件得,由此可得.猜测. (4分)用数学归纳法证明:当时,由上可得结论成立.假设当时,结论成立,即,那么当时,.所以当时,结论也成立.由,可知对一切正整数都成立. (7分)()因为.当时,由()知.所以.综上所述,原不等式成立. (12分)39.(2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试,1
12、7) 数列满足,等比数列满足.()求数列,的通项公式;()设,求数列的前项和. 39.查看解析 39.()由,所以数列是等差数列,又,所以,由,所以,所以,即,所以. (6分) ()因为,所以,则,所以,两式相减的,所以. (12分)40.(2014江西红色六校高三第二次联考理数试题,18)已知an是公差为d的等差数列,它的前n项和为Sn,S4=2S2+8()求公差d的值;()若a1=1,设Tn是数列的前n项和,求使不等式Tn对所有的nN*恒成立的最大正整数m的值; 40.查看解析 40. ()设数列an的公差为d, S4=2S2+8,即4a1+6d=2(2a1+d) +8,化简得:4d=8,
13、解得d=24分()由a1=1,d=2,得an=2n-1,5分 =6分 Tn=,8分又 不等式Tn对所有的nN*恒成立, ,10分化简得:m2-5m-60,解得:-1m6 m的最大正整数值为612分41.(2014吉林实验中学高三年级第一次模拟,17)已知是单调递增的等差数列,首项,前项和为,数列是等比数列,其中 (1)求的通项公式; (2)令求的前20项和。 41.查看解析 41.42.(2014湖北武汉高三2月调研测试,18) 已知数列an满足a10,an12|an|,nN*()若a1,a2,a3成等比数列,求a1的值;()是否存在a1,使数列an为等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不
14、存在,说明理由 42.查看解析 42.解:()a10,a22|a1|2a1,a32|a2|2|2a1|当0a12时,a32(2a1) a1,a(2a1) 2,解得a11当a12时,a32(a12) 4a1,a1(4a1) (2a1) 2,解得a12(舍去)或a12综上可得a11或a126分()假设这样的等差数列存在,则由2a2a1a3,得2(2a1) a1(2|2a1|) ,即|2a1|3a12当a12时,a123a12,解得a10,与a12矛盾;当0a12时,2a13a12,解得a11,从而an1(nN*),此时an是一个等差数列;综上可知,当且仅当a11时,数列an为等差数列12分43.(
15、2014湖北八市高三下学期3月联考,18) 己知各项均不相等的等差数列an的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列 (I)求数列an的通项公式; (II)设Tn为数列的前n项和,若Tn对恒成立,求实数的最小值 43.查看解析 43. ()设公差为d. 由已知得3分解得,所以6分(),9分 对恒成立,即对恒成立 又 的最小值为12分44. (2014湖南株洲高三教学质量检测(一),18) 已知数列前项和为,首项为,且,成等差数列. ()求数列的通项公式; (II)数列满足,求证:, 44.查看解析 44. ()成等差数列, ,当时,,两式相减得: .所以数列是首项为,公比为2的等比数列
16、,. (6分) () , (8分), . (12分)45.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 20) 已知数列满足,是数列 的前项和. ()若数列为等差数列.()求数列的通项;()若数列满足,数列满足,试比较数列前项和与前项和的大小;()若对任意,恒成立,求实数的取值范围. 45.查看解析 45. 解析 ()()因为,所以,即,又,所以,又因为数列成等差数列,所以,即,解得,所以;()因为,所以,其前项和,又因为,(5分)所以其前项和,所以,当或时,;当或时,;当时,. (9分) ()由知,两式作差,得,所以, 作差得, (11分)所以,当时,;当时,;当时,;当时,;因为对任意,恒成立,所
17、以且,所以,解得,故实数的取值范围为. (16分)46. (2014重庆七校联盟, 22) 设数列an 的前项和为,满足,且,成等差数列 ()求,的值; ()求证:数列是等比数列 ()证明:对一切正整数,有 46.查看解析 46. 解析 ()因为,成等差数列,所以,当时,当时,解方程组得, (3分) ()由,得,两式相减得,所以是首项为3,公比为3的等比数列(7分)()由,又,即,所以当时,两边同时相乘得,所以(12分)47. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 18) 已知数列与,若且对任意正整数满足 数列的前项和. ()求数列的通项公式; ()求数列的前项和 47.查看解析 47
18、. 解析 ()因为对任意正整数满足,所以是公差为2的等差数列 又因为 所以, (2分)当时,;,当时, ,对不成立。所以,数列的通项公式: (5分) ()由()知当时 ,当时 (8分)所以, ,当时仍成立.所以对任意正整数成立. (12分)48. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 17) 函数. ()求函数的单调递减区间;()将的图象向左平移个单位,再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象,若的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是求数列的前项的和. 48.查看解析 48. () .令,所以所以的单调递减区间为. (6分)()将的图象向左平移个单位后,得到再将得到的图
19、象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)后得到,解法一:若函数的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是、,则由余弦曲线的对称性,周期性可知,. (12分)解法二:若函数的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是、,则,. (9分)由余弦曲线的周期性可知,;所以. (12分)49. (2014湖北黄冈高三期末考试) 等比数列的前项和,已知,成等差数列. (1)求数列的公比和通项;(2)若是递增数列,令,求. 49.查看解析 49.(1)由已知条件得或. (5分)(2) 若是递增数列,则,当时,;当时, (12分)50. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 定义:如果数列的任意连续三项均能构成一个
20、三角形的三边长,则称为“三角形” 数列. 对于“三角形” 数列,如果函数使得仍为一个“三角形” 数列,则称是数列的“保三角形函数” (). ()已知是首项为2,公差为1的等差数列,若是数列的“保三角形函数” ,求的取值范围;()已知数列的首项为2013,Sn是数列的前n项和,且满足4,证明是“三角形” 数列;()若是()中数列的“保三角形函数” ,问数列最多有多少项?(解题中可用以下数据:lg20.301,lg30.477,lg20133.304) 50.查看解析 50.解:()显然,对任意正整数都成立,即是三角形数列.因为,显然有 ,由 得,解得 k cn,所以cn是三角形数列.(8分)(),所以g(cn)单调递减.由题意知,且,由得,解得n 27.4,由得,解得n 26.4.即数列cn最多有26项. (14分)