1、精品题库试题 理数1. (2014福建,3,5分)等差数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于()A.8B.10C.12D.14 1.C 1.S3=3a2=12,a2=4.a1=2,d=a2-a1=4-2=2.a6=a1+5d=12.故选C.2.(2014辽宁,8,5分)设等差数列an的公差为d.若数列为递减数列,则()A.d0C.a1d0 2.C 2.为递减数列,可知a1an也为递减数列,又a1an=+a1(n-1)d=a1dn+-a1d,故a1d0,a7+a100,即a80.又a8+a9=a7+a100,a90,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)0.但,
2、所以|a2n+1-a2n|0,因此a2n-a2n-1=.因为a2n是递减数列,同理可得,a2n+1-a2n0,故a2n+1-a2n=-=.由,知,an+1-an=.于是an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+-+=1+=+,故数列an的通项公式为an=+.29.(2014江苏,20,16分)设数列an的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称an是“H数列”.(1)若数列an的前n项和Sn=2n(nN*),证明:an是“H数列”;(2)设an是等差数列,其首项a1=1,公差d0.若an是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数
3、列an,总存在两个“H数列”bn和cn,使得an=bn+cn(nN*)成立. 29.查看解析 29.(1)证明:由已知,当n1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am.所以an是“H数列”.(2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因为an是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因为d0,所以m-20,故m=1.从而d=-1.当d=-1时,an=2-n,Sn=是小于2的整数,nN*.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=2-Sn=2-,使得Sn=2-m=am,
4、所以an是“H数列”.因此d的值为-1.(3)证明:设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(nN*).令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则an=bn+cn(nN*),下证bn是“H数列”.设bn的前n项和为Tn,则Tn=a1(nN*).于是对任意的正整数n,总存在正整数m=,使得Tn=bm.所以bn是“H数列”.同理可证cn也是“H数列”.所以,对任意的等差数列an,总存在两个“H数列”bn和cn,使得an=bn+cn(nN*).30.(2014课表全国，17，12分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-
5、1,其中为常数.()证明:an+2-an=;()是否存在,使得an为等差数列?并说明理由. 30.查看解析 30.()由anan+1=Sn-1,得an+1an+2=Sn+1-1.两式相减得an+1(an+2-an)=an+1.由于an+10,所以an+2-an=.()a1=1,又a1a2=S1-1,则可得a2=-1.由()知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4,由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得数列an为等差数列.
6、31.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，22）（原创）在数列中，已知，其前项和满足。(1) 求的值；(2) 求的表达式；(3) 对于任意的正整数，求证：。 31.查看解析 31. (1) 依次令可得，； (2) 法一：由猜想，下面用数学归纳法证明：当时结论显然成立；假设时结论成立，即，则，故当时结论成立。综上知结论成立。 法二：猜想，下面用第二数学归纳法证明：当时结论显然成立；假设时结论成立，即，则，故当时结论成立。综上知结论成立。 法三：由题，当时，故，因此。又，故。(3) 法一：由(2) 知为等差数列，故。由知一定时，要使最小，则最大。显然，故，因此，从而。 法二：因为，所以，故，因
7、此，从而，即。法三：(i) 当时不等式显然成立；(ii) 假设时不等式成立，即，则如“法二” 可证，故，即当时不等式成立。综上得证。32. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，22) 已知数列中，, 点在直线上，其中. （1）令，求证数列是等比数列;（2）求数列的通项； 设分别为数列的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出. 若不存在, 则说明理由. 32.查看解析 32.解：（I）由已知得 又是以为首项，以为公比的等比数列. 4分（II）由（I）知，将以上各式相加得： 8分（III）解法一：存在，使数列是等差数列.数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当，即
8、时，数列为等差数列. 14分解法二：存在，使数列是等差数列.由（I）、（II）知，又当且仅当时，数列是等差数列. 14分33. (2014山东青岛高三第一次模拟考试, 19) 在数列中，其前项和为，满足. （）求数列的通项公式;（）设（为正整数）, 求数列的前项和. 33.查看解析 33.() 由题设得: , 所以所以，当时，, 数列是为首项、公差为的等差数列故. （5分）（）由() 知: ，（9分）设则两式相减得：整理得：，所以. （12分）34. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，17) 已知等差数列中，；是与的等比中项（）求数列的通项公式：（）若求数列的前项和 34.查看解析
9、 34.（）因为数列是等差数列，是与的等比中项所以，又因为，设公差为，则，所以，解得或，当时, ，；当时，.所以或. （6分)（）因为，所以，所以，所以，所以两式相减得，所以. （13分）35.(2014湖北黄冈高三4月模拟考试，18) 已知数列的前项和，等差数列中，且公差.（）求数列、的通项公式；（）是否存在正整数，使得 若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由. 35.查看解析 35.（）时，相减得：，又，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.又，. （6分）（）令得：，即，当，当。的最小正整数为4. （12分）36. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，17) 在中，角、的对边分别为
10、，且. （）求的值； （）若成等差数列，且公差大于0，求的值. 36.查看解析 36.（）由，根据正弦定理得，所以.（4分）（）由已知和正弦定理以及（）得.设，22，得.（7分）又，所以090，故.（10分）代入式得.因此.（12分）37. (2014广东广州高三调研测试，19) 已知数列满足，. () 求证：数列为等比数列；() 是否存在互不相等的正整数，使，成等差数列，且，成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，；如果不存在，请说明理由. 37.查看解析 37.解：() 因为，所以.所以.因为，则.() 由() 知，所以.假设存在互不相等的正整数，满足条件，则有由与，得. （10分）即.
11、因为，所以.因为，当且仅当时等号成立，这与，互不相等矛盾.所以不存在互不相等的正整数，满足条件. （14分）38. (2014北京东城高三第二学期教学检测，20) 在数列，中，且成等差数列，成等比数列（）. （）求，及，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；（）证明：. 38.查看解析 38.（）由条件得，由此可得.猜测. （4分）用数学归纳法证明：当时，由上可得结论成立.假设当时，结论成立，即，那么当时，.所以当时，结论也成立.由，可知对一切正整数都成立. （7分）（）因为.当时，由（）知.所以.综上所述，原不等式成立. (12分）39.(2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，1
12、7) 数列满足，等比数列满足.（）求数列，的通项公式；（）设，求数列的前项和. 39.查看解析 39.（）由，所以数列是等差数列，又，所以，由，所以，所以，即，所以. （6分) （）因为，所以，则，所以，两式相减的，所以. (12分）40.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，18）已知an是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+8（）求公差d的值；（）若a1=1，设Tn是数列的前n项和，求使不等式Tn对所有的nN*恒成立的最大正整数m的值； 40.查看解析 40. （）设数列an的公差为d， S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8，
13、解得d=24分（）由a1=1，d=2，得an=2n-1，5分 =6分 Tn=，8分又 不等式Tn对所有的nN*恒成立， ，10分化简得：m2-5m-60，解得：-1m6 m的最大正整数值为612分41.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，17）已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，其中 （1）求的通项公式； （2）令求的前20项和。 41.查看解析 41.42.(2014湖北武汉高三2月调研测试，18) 已知数列an满足a10，an12|an|，nN*（）若a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；（）是否存在a1，使数列an为等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不
14、存在，说明理由 42.查看解析 42.解：（）a10，a22|a1|2a1，a32|a2|2|2a1|当0a12时，a32(2a1) a1，a(2a1) 2，解得a11当a12时，a32(a12) 4a1，a1(4a1) (2a1) 2，解得a12（舍去）或a12综上可得a11或a126分（）假设这样的等差数列存在，则由2a2a1a3，得2(2a1) a1(2|2a1|) ，即|2a1|3a12当a12时，a123a12，解得a10，与a12矛盾；当0a12时，2a13a12，解得a11，从而an1（nN*），此时an是一个等差数列；综上可知，当且仅当a11时，数列an为等差数列12分43.(
15、2014湖北八市高三下学期3月联考，18) 己知各项均不相等的等差数列an的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列 （I）求数列an的通项公式； （II）设Tn为数列的前n项和，若Tn对恒成立，求实数的最小值 43.查看解析 43. （）设公差为d. 由已知得3分解得，所以6分（），9分 对恒成立，即对恒成立 又 的最小值为12分44. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），18) 已知数列前项和为，首项为，且，成等差数列. （）求数列的通项公式； （II）数列满足，求证：， 44.查看解析 44. （）成等差数列, ，当时，,两式相减得： .所以数列是首项为，公比为2的等比数列
16、，. （6分） () ， （8分）， . （12分）45.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 20) 已知数列满足，是数列 的前项和. （）若数列为等差数列.（）求数列的通项；（）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；（）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 45.查看解析 45. 解析 （）（）因为，所以，即，又，所以，又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以；（）因为，所以，其前项和，又因为，（5分）所以其前项和，所以，当或时，；当或时，；当时，. （9分） （）由知，两式作差，得，所以, 作差得， （11分）所以，当时，；当时，；当时，；当时，；因为对任意，恒成立，所
17、以且，所以，解得，故实数的取值范围为. （16分）46. (2014重庆七校联盟, 22) 设数列an 的前项和为，满足，且，成等差数列 （）求，的值； （）求证：数列是等比数列 （）证明：对一切正整数，有 46.查看解析 46. 解析 （）因为，成等差数列，所以，当时，当时，解方程组得， （3分） （）由，得，两式相减得，所以是首项为3，公比为3的等比数列（7分）（）由，又，即，所以当时，两边同时相乘得，所以（12分）47. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 18) 已知数列与，若且对任意正整数满足 数列的前项和. （）求数列的通项公式； （）求数列的前项和 47.查看解析 47
18、. 解析 （）因为对任意正整数满足，所以是公差为2的等差数列 又因为 所以， （2分）当时，；，当时， ，对不成立。所以，数列的通项公式: (5分) （）由（）知当时 ，当时 （8分）所以， ，当时仍成立.所以对任意正整数成立. (12分)48. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 17) 函数. （）求函数的单调递减区间；（）将的图象向左平移个单位，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象，若的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是求数列的前项的和. 48.查看解析 48. （） .令，所以所以的单调递减区间为. （6分）（）将的图象向左平移个单位后，得到再将得到的图
19、象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到，解法一：若函数的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是、，则由余弦曲线的对称性，周期性可知，. （12分）解法二：若函数的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是、，则，. （9分）由余弦曲线的周期性可知，；所以. （12分）49. (2014湖北黄冈高三期末考试) 等比数列的前项和，已知，成等差数列. （1）求数列的公比和通项；（2）若是递增数列，令，求. 49.查看解析 49.（1）由已知条件得或. (5分)(2) 若是递增数列，则，当时，；当时， (12分)50. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个
20、三角形的三边长，则称为“三角形” 数列. 对于“三角形” 数列，如果函数使得仍为一个“三角形” 数列，则称是数列的“保三角形函数” （）. （）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数” ，求的取值范围；（）已知数列的首项为2013，Sn是数列的前n项和，且满足4，证明是“三角形” 数列；（）若是（）中数列的“保三角形函数” ，问数列最多有多少项？（解题中可用以下数据：lg20.301，lg30.477，lg20133.304） 50.查看解析 50.解：（）显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列.因为，显然有 ，由 得，解得 k cn，所以cn是三角形数列.（8分）（），所以g（cn）单调递减.由题意知，且，由得，解得n 27.4，由得，解得n 26.4.即数列cn最多有26项. （14分）