1、试卷第 1 页，总 11 页20202021 学年度下学期期中考试 高二数学试题（理科）考试时间：90 分钟注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.1若复数 z 满足3443i zi，则 z 的虚部为 （）A 45B 4C45D4【答案】C【分析】直接对3443i zi化简，求出 z，从而可求出 z 的虚部【详解】解：由3443i zi，得5 3453434343455iziiii，z 的虚部为45.故选：C.2若32
2、6nnAC，则n（）A5B7C6D4【答案】A【分析】利用排列与组合数公式，进行化简计算即可【详解】3212nnAC，11262n nn nn，化简得23n，解得5n 试卷第 2 页，总 11 页故选：A【点睛】本题考查了排列与组合的计算与化简问题，是基础题3612xx的展开式中常数项为A 52B160C52D 160【答案】A【详解】因为展开式中的通项公式可得66 216611()()22rrrrrrrTC xC xx，令6203rr 所以展开式中的常数项是333 16116 5 45()283 2 12TC ，应选答案 A4在中国共产党建党百年之际，我们将迎来全面建成小康社会，实现第一个百
3、年目标的伟大胜利.在脱贫攻坚如期收官之后，为更好地解决相对贫困问题，某地着力加强教育脱贫工作.现安排5 名优秀教师到4 个贫困县进行支教工作，要求每个贫困县至少安排1名教师，则不同的安排方案有（）种A60B120C 240D480【答案】C【详解】根据题意，先将 5 名教师分成 4 组，有2510C 种分法，将分好的 4 组安排到 4 个贫困县，有4424A 种安排方式，由分步计数原理，可得共有10 24240种安排方式.故选：C.5设2,0,1()2,1,2xxf xx x 则20()f x dx等于()A 34 B 45 C 56D不存在【答案】C【解析】当1223 1001101,(),
4、|.33xf xxx dxx 试卷第 3 页，总 11 页当222111112,()2,(2)(2)|,22xf xxx dxxx 故10115().326f x dx 故选 C6投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【答案】A 7随机变量 X 的分布列为X01mP15n310若1.1E X，则D X（）A0.49B0.69C1D2【答案】A【分析】由分布列性质和数学期望公式可求得,n m 的值，由方差的公式可计算得到结果.【
5、详解】由分布列性质知：131510n，解得：12n；113011.15210E Xm ，2m；2221130 1.11 1.12 1.10.495210D X.故选：A.8若方程322640 xxm 有三个不同的实数根，则m 的取值范围（）A6,0B6,2C4,4D0,4【答案】C【分析】试卷第 4 页，总 11 页设 32266,f xxxxR，由导数求函数的极值，即可得当 26m 时，32266xxm 有三个不同的实数根，从而可选出正确答案.【详解】解：设 32266,f xxxxR，令 26120fxxx，解得0 x 或 2，则 ,fxf x随 x 的变化如下表x ,0 00,2 22,
6、fx+0-0+f x 则当0 x 时，函数有极大值 04f；当2x 时，函数有极小值 24f ，又当 x 时，fx ，当 x 时，f x ，所以当 44m 时，32266xxm 有三个不同的实数根，此时 44m，故选:C.9下列正确命题的序号有（）若随机变量100,XBp，且20E X，则1152DX在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A，B，C，D 的概率分别为 0.2，0.2，0.3，0.3，则 A 与 BCD是互斥事件，也是对立事件一只袋内装有m 个白球，n m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，232mnnm APA由一组样本数据11,x y，22,xy
7、，,nnxy得到回归直线方程 ybxa，那么直线 ybxa至少经过11,x y，22,xy，,nnxy中的一个点ABCD【答案】A【分析】直接利用二项分布的期望与方差，互斥事件和对立事件的关系，排列组合，回归直线方程等相关知识对四试卷第 5 页，总 11 页个命题的真假判断.【详解】对于：由100,XBp，且20E X 可得1100205pp，所以1110011655D X，则11424XDD X，故错；对于：因为事件 A、B、C、D 彼此互斥，所以 0.20.30.30.8P BCD，又 0.2P A，所以，A 与 BCD 是互斥事件，也是对立事件，故正确；对于：依题意，2 表示“一共取出了
8、 3 个球，且前两次取出的都是白球，第三次取出的是黑球”.因为袋内共有mnmn个球，从中任取 3 个球共有3nA 种不同的方法，“前两次取出的都是白球，第三次取出的是黑球”有2mnm A种不同的方法，所以 232mnnm APA，故正确；对于：回归直线方程一定过样本中心点,x y，但是不一定经过样本数据中的点，故错.故选：A.10.已知定义域为(0,+)的函数 f(x)的图象经过点(6,8)，且对(0,)x ，都有()1fx，则不等式(22)2xxf的解集为 （）A.(-,3)B.(1,3)C.(1,2)D.(0,1)【答案】B【解析】设函数()()F xf xx，则()()10F xfx，所
9、以函数()()F xf xx在区间(0,)上是单调递增函数，而(22)(22)22xxxFf，(6)(6)68 62Ff ，故不等式(22)2xxf可化为(22)(6)xFF，即0226228xx，所以13x，应选答案 B第 II 卷（非选择题）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡上）11已知随机变量 X 服从正态分布21.5,N，若00.2P X，则3P X _.【答案】0.812.函数 21xf xx的单调递减区间为_.【答案】,1,1,试卷第 6 页，总 11 页【详解】函数 21xf xx的定义域为 R，222222212111xxxfxxx
10、，令 0fx，可得210 x ，解得1,1xx .因此，函数 21xf xx的单调递减区间为,1,1,.13甲乙两队进行羽毛球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若甲队每局获胜的概率为 23，则甲队获得冠军的概率为_.【答案】89【分析】由题设知甲、乙两队获胜的概率分别为 13、23，甲队要获得冠军，则至少在两局内赢一局，利用概率的乘法和加法公式求概率即可.【详解】由题意知：每局甲队获胜的概率为 23，乙队获胜的概率为 13，至少在两局内甲队赢一局，甲队才能获得冠军，当第一局甲队获胜，其概率为 23；当第一局甲队输，第二局甲队赢，其概率为 122339.
11、甲队获得冠军的概率为 228399.故选：B.14我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件 A 表示选出的两种中有一药，事件 B 表示选出的两种中有一方，则 P B A _【详解】若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件 A 表示选出的两种中有一药，事件 B 表示选出的两种中有一方，试卷第 7 页，总 11 页则 2113332645CC CCAP，1133263=5C CPCAB，335445P ABP B AP A.三
12、、解答题15（本小题满分 12 分）已知在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为352:132xtyt（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos.（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点直角坐标为53，直线l 与曲线 C 交点为 A，B，求 MAMB的值答案：（1）2220 xyx；（2）25 3180tt，1218MAMBt t 16广元某中学调查了该校某班全部40 名同学参加棋艺社团和武术社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加棋艺社团未参加棋艺社团参加武术社团810未参加武术社团715（1）能否有95%
13、的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关？（2）已知既参加棋艺社团又参加武术社团的8 名同学中，有3 名男同学，5 名女同学现从这3 名男同学，5 名女同学中随机选5 人参加综合素质大赛，求被选中的女生人数 X 的分布列和期望附：22n adbcKabcdacbd20P Kk0.100.050.0250k2.7063.8415.024【答案】（1）没有；（2）分布列见解析；期望为 258【分析】试卷第 8 页，总 11 页（1）计算2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）由题意可知，随机变量 X 的可能取值有2、3、4、5，计算出随机变量 X 在不同取值下的概率，可得出随机变量 X 的分
14、布列，进而可求得随机变量 X 的数学期望.【详解】（1）由228 157 10402500 400.673415 25 22 1815 25 22 18K，则23.841K，所以没有95%的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关；（2）由题意可知，随机变量 X 的可能取值有可2、3、4、5 25585282CP XC，23355815283C CP XC，14355815456C CP XC，55581556CP XC所以，随机变量 X 的分布列为：X2345P52815281556156因此，515151252345282856568E X .【点睛】方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基
15、本方法：（1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解（2）已知随机变量 X 的均值、方差，求 X 的线性函数YaXb的均值、方差，可直接用 X 的均值、方差的性质求解；（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解17某品牌汽车 4S 店对 2020 年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用 y 表示 2020 年第 x 月份该店汽车成交量，得到统计表格如下：ix12345678iy1412202022243026（1）求出 y 关于 x 的线性回归方程ybxa，并预测该店 9 月份的成交量；（a，b 精确到整数）试卷第 9 页，总 11
16、 页（2）该店为增加业绩，决定针对汽车成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获 5 千元奖金；抽中“二等奖”获 2 千元奖金；抽中“祝您平安”则没有奖金已知一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为 13，没有获得奖金的概率为 16现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额 X（千元）的分布列及数学期望参考数据及公式：81850iiix y，821204iix，121niiiniixxyybxx，aybx【答案】（1）212yx；预计 9 月份的成交量为 30 辆；（2）分布列见解析；期望为 193【分析】(1)先分别求出ix，iy 的平均数,x y，再利用最小二
17、乘法计算即可得回归直线方程，取 x=9 可得成交量的预测值；(2)写出随机变量 X 的所有可能值，再计算出 X 取各个值时的概率，列出分布列即可得解.【详解】（1）由题意得：1+2+3+4+5+6+7+89=82x，14+12+20+20+22+24+30+26=218y，81822219885082194229422048()82iiiiix yx ybxx ，12ayb x 所以，回归直线方程为 212yx，当9x 时，2 9 12=30y ，即预计 9 月份的成交量为 30 辆；（2）由题意得：获得“一等奖”的概率为 12，所以 X 的可能取值为 0，2，4，5，7，10，1110663
18、6P X，11111236639P X，1114339P X，11111526626P X，11111723323P X，11110224P X，所以 X 的分布列为：试卷第 10 页，总 11 页X0245710P136191916131411111119024571036996343E X .18已知函数()1(0)f xaxx，1()ln2ag xxax（1）若12a，比较函数 f x 与 g x 的大小；（2）若1x时，f xg x恒成立，求实数a 的取值范围【答案】（1）答案见解析；（2）1,)2 【分析】（1）当12a，单调1()()()ln22xF xf xg xxx，利用导数求
19、得函数()F x 在0,单调递增，且 10F，即可得到结论；（2）设1()1 ln2,1ah xaxxa xx，求得函数的导数，分12a、102a和0a 三种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由题意，当12a，可得函数()12xf x ，1()ln12g xxx 则1()()()ln22xF xf xg xxx，可得222111(1)()0222xF xxxx，所以()F x 在0,单调递增，且 10F，综上，当1x 时，()0F x，可得()()f xg x；当(0,1)x时，()0F x，可得()()f xg x；当(1,)x 时，()0F x，可得()()f xg x.
20、（2）设1()1 ln2,1ah xaxxa xx，可得222211(1)(1)(1)()aaxxaxaxah xaxxxx，且(1)0h，试卷第 11 页，总 11 页若0a 时，()0h x，h x 在1,单调递减，10h xh，不合题意，舍去；若0a 时，可得 2211(1)()(1)()aaxa xa xxaah xxx，令 0hx，解得11x 和21 axa，当12a 时，当1x，可得 0hx，h x 在1,单调递增，所以()(1)0h xh，此时()()f xg x；当102a时，令 0hx，解得1 axa；令 0hx，解得11xa，所以 h x 在11,1a单调递减，在,1()aa单调递增，所以 10h xh，不合题意，舍去；当0a 时，可得 0hx，h x 在1,单调递减，不合题意，舍去综上可得，实数a 的取值范围是 1,)2 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别
