1、专题训练(七)与特殊三角形和平行四边形有关的二次函数综合第26章 二次函数类型之一与特殊三角形有关的二次函数综合1(玉林节选)如图，已知抛物线：y2x2bxc 与 x 轴交于点 A，B(2，0)(A 在 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，对称轴是直线 x12，P 是第一象限内抛物线上的任一点(1)求抛物线的解析式；(2)若点 D 为线段 OC 的中点(如图)，则POD 能否是等边三角形？请说明理由解：(1)由题意得82bc0，b412，解得b2，c4，抛物线的解析式为 y2x22x4(2)POD 不可能是等边三角形，理由如下：如图，取 OD 的中点 E，过点 E作 EPx 轴，交抛物线于点
2、P，连接 PD，PO，C(0，4)，E 是 OD 的中点，E(0，1)，当 y1 时，2x22x41，2x22x30，解得 x11 72，x21 72(舍)，P(1 72，1)，ODPD，POD 不可能是等边三角形2如图，若抛物线 yx2bxc 与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C，直线 yx3 经过点 B，C.(1)求抛物线的表达式；(2)点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点，过点 P 作 PHx 轴于点 H，交 BC 于点 M，连结 PC.线段 PM 是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；在点 P 运动的过程中，是否存在点 M，恰好使PCM 是以 P
3、M 为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由解：(1)易求得 B，C 的坐标分别为(3，0)，(0，3)，抛物线的表达式为 yx22x3(2)设点 M(x，x3)，则点 P(x，x22x3).有，理由：PM(x3)(x22x3)(x32)294.10，故 PM 有最大值，当 x32 时，PM 最大值为94存在，点 P 的坐标为(2，3)或(3 2，24 2)类型之二与平行四边形有关的二次函数综合3(烟台改编)如图，已知直线 y43 x4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 yax2bxc 经过 A，C 两点，且与 x 轴的另一个交点为 B，对
4、称轴为直线x1.(1)求抛物线的表达式；(2)若点 P 在抛物线对称轴上，是否存在点 P，Q，使以点 A，C，P，Q 为顶点的四边形是以 AC 为对角线的菱形？若存在，请求出 P，Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)当 x0 时，y4，C(0，4)，当 y0 时，43 x40，x3，A(3，0)，对称轴为直线 x1，B(1，0)，设抛物线的表达式：ya(x1)(x3)，43a，a43，抛物线的表达式为：y43(x1)(x3)43 x283 x4(2)设 P(1，n)，以 A，C，P，Q 为顶点的四边形是以 AC 为对角线的菱形，PAPC，即 PA2PC2，(13)2n21(n4)2，
5、n138，P(1，138)，xPxQxAxC，yPyQyAyCxQ3(1)2，yQ4138 198，Q(2，198)4如图，抛物线 yax2bx4 与 x 轴交于 A(1，0)，B 两点，与 y 轴交于点C，抛物线的对称轴为直线 x32.(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线 yax2bx4 沿 x 轴向左平移t 个单位长度后得到一条新的抛物线，对于此抛物线，当5x1 时，y 的最大值为94，求 t 的值；(3)点 M 是直线 BC 上的一个动点(不与点 B，C 重合)，过点 M 作 x 轴的垂线与抛物线 yax2bx4 相交于点 N，若以点 C，O，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接
6、写出点 M 的横坐标解：(1)抛物线的解析式为 yx23x4(2)yx23x4(x32)2254，平移后的抛物线的解析式为 y(x32 t)2254，平移后的抛物线的对称轴为直线 x32 t.当 x32 t 时，y 随 x的增大而减小；当 x32 t 时，y 随 x 的增大而增大若32 t1，即 t52，则当 x1 时，y 取最大值94，可得(132 t)2254 94，解得 t112，t292(舍去).若32 t5，即 t132，则当 x5 时，y 取最大值94，可得(532 t)2254 94，解得 t1172，t292(舍去).若532 t1，即52 t132 时，y 的最大值为254，不合题意综上，t 的值为12 或172(3)点 M 的横坐标为 2，222 或 22 2
