1、核心素养测评 二十四正弦定理、余弦定理的应用举例(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得ABC=120,则A,C两地间的距离为()A.10 kmB.10 kmC.10 kmD.10 km【解析】选D.由余弦定理得,AC2=AB2+CB2-2ABCBcos120=102+202-21020=700.所以AC=10(km).2.甲船在岛的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向匀速航行,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是
2、()A.小时 B.小时 C.小时 D.小时【解析】选A.假设经过x小时两船相距最近,甲乙分别行至C,D,如图所示:可知BC=10-4x,BD=6x,CBD=120,由余弦定理可得,CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD=(10-4x)2+36x2+2(10-4x)6x=28x2-20x+100,所以当x=时两船相距最近.3.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30,45,且A,B两点间的距离为60 m,则该建筑物的高度为()A.(30+30)mB.(30+15)mC.(15+30)mD.(15+15)m【解析】选A.在PAB中,P
3、AB=30,APB=15,AB=60 m,sin 15=sin(45-30)=sin 45cos 30-cos 45sin 30=.由正弦定理得PB=30(+)(m),所以建筑物的高度为PBsin 45=30(+)=(30+30)m.4.已知A船在灯塔C的北偏东85方向且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C的西偏北25方向且B到C的距离为 km,则A,B两船的距离为()A. kmB. kmC.2 kmD.3 km【解析】选A.画出图形如图所示,由题意可得ACB=(90-25)+85=150,又AC=2,BC=.在ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 150=13,所
4、以AB=,即A,B两船的距离为 km.5.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45,从点A沿北偏东30方向前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30,则水柱的高度是()A.50 mB.100 mC.120 mD.150 m【解析】选A.设水柱高度是h,水柱底端为C,则在ABC中,BAC=60,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2h100cos 60,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50(负值舍去),故水柱的高度是50
5、m.6.如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D,测得BCD=15,BDC=30,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60,则塔高AB等于()世纪金榜导学号A.5B.15 C.5D.15【解析】选D.在BCD中,CBD=180-15-30=135.由正弦定理得=,所以BC=15.在RtABC中,AB=BCtanACB=15=15.7.长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处的2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为,则坡度值tan =世纪金榜导学号()A. B.C. D.【解析】选A.由已知,在ABC中
6、,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且+ACB=.由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得cos =,所以sin =,所以tan =.二、填空题(每小题5分,共15分)8.如图,为了测量河对岸的塔高AB,选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D,现测得ACB=45,ADB=30,BCD=60,CD=20 m,则塔高AB=_m.【解析】设塔高AB=h m,在RtABC中,因为ACB=45,所以BC=AB=h m,在RtABD中,因为ADB=30,所以BD=h m,在BCD中,BCD=60,C
7、D=20,由余弦定理得BD2=CD2+BC2-2CDBCcos 60,即3h2=400+h2-20h,解得h=10.答案:109.(2020烟台模拟)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45的方向上,仰角为,行驶300米后到达B处,测得此山顶在北偏西15的方向上,仰角为,若=45,则此山的高度CD=_米,仰角的正切值为_.【解析】设山的高度CD=x米,由题可得:CAB=45,ABC=105,AB=300米, CBD=45,在ABC中,可得:ACB=180-45-105=30,利用正弦定理可得:=,解得:CB=300米,AC=150米.在RtBCD中,由
8、CBD=45可得:x=CB=300米.在RtACD中,可得:tan =-1.答案:300-110.海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发,海轮“奋斗号”在A处北偏东45的方向,且与A相距10海里的C处,沿东偏南15的方向以每小时9海里的速度行驶,则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为_小时.世纪金榜导学号【解析】设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为x小时,如图,在ABC中,AC=10海里,AB=21x海里,BC=9x海里,ACB=120.由余弦定理得(21x)2=100+(9x)2-2109xcos 120,整理,得36x2-9x-10=0,解得x=或x=-(舍)
9、. 所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为小时.答案:(15分钟35分)1.(5分)如图,要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45,30.在水平面上测得BCD=120,C,D两地相距600 m,则铁塔AB的高度是()A.120 mB.480 mC.240 mD.600 m【解析】选D.设AB=x,则BC=x,BD= x,在BCD中,由余弦定理知cos 120=-,解得x=600 m,(x=-300舍去).故铁塔AB的高度为600 m.2.(5分)如图,为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度,在海岸上选取距离1千米的两
10、个观察点C,D,在某天10:00观察到该船在A处,此时测得ADC=30,2分钟后该船行驶至B处,此时测得ACB=60,BCD=45,ADB=60,则船速为_千米/分钟.【解析】在BCD中,BDC=30+60=90,CD=1,BCD=45,所以BC=.在ACD中,CAD=180-(60+45+30)=45,所以=,AC=.在ABC中,AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 60=,所以AB=,所以船速为=千米/分钟.答案:3.(5分)如图,勘探队员朝一座山行进,在前后A,B两处观察山顶C的仰角分别是30和45,两个观察点A,B之间的距离是100米,则此座山CD的高度为_米.【解析】设山高CD为
11、x米,在RtBCD中,有BD=CD=x米,在RtACD中,有AC=2x米,AD=x米.而AB=AD-BD=(-1)x=100.解得:x=50+50.答案:(50+50)4.(10分)已知岛A南偏西38方向,距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船?世纪金榜导学号【解析】如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC=0.5x海里,AC=5海里,由已知,BAC=180-38-22=120,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABA
12、Ccos 120,所以BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sinABC=,所以ABC=38,又BAD=38,所以BCAD,所以缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船.5.(10分)已知在东西方向上有M,N两座小山,山顶各有一个发射塔A,B,塔顶A,B的海拔高度分别为AM=100 m和BN=200 m,一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30,该测量车向北偏西60方向行驶了100 m后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为,且BQA=,经测量tan =2,求两发射塔顶A,B之间的距离.世纪金榜导学号【解析】在Rt
13、AMP中,APM=30,AM=100 m,所以PM=100 m.连接QM,在PQM中,QPM=60,又PQ=100 m,所以PQM为等边三角形,所以QM=100 m.在RtAMQ中,由AQ 2=AM 2+QM 2得AQ=200 m.在RtBNQ中,tan =2,BN=200 m,所以BQ=100 m,cos =.在BQA中,BA2=BQ2+AQ2-2BQAQcos =(100)2,所以BA=100.所以两发射塔顶A,B之间的距离是100 m.1.如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面的射击线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,
14、需计算由点A观察点P的仰角的大小(仰角为直线AP与平面ABC所成的角).若AB=15 m,AC=25 m,BCM=30,则tan 的最大值是()世纪金榜导学号A.B.C.D.【解析】选D.由已知,在RtABC中,sin ACB=,则cos ACB=.作PHBC,垂足为H,连接AH,如图所示.设PH=x m,则CH=x m,在ACH中,由余弦定理得AH=,tan PAH=,当=时,tan 取得最大值,最大值为.2.线段AB外有一点C,ABC=60,AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶,则运动开始_h后,两车的距离最小.世纪金榜导学号【解析】如图所示,设过x h后两车距离为y km,则BD=200-80x,BE=50x,所以y2=(200-80x)2+(50x)2-2(200-80x)50xcos 60,整理得y2=12 900x2-42 000x+40 000(0x2.5),所以当x=时,y2最小.答案:
