1、课时分层作业(八)(建议用时：40分钟)一、选择题1.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()ABCDD以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设AB1.则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，(0,1，2)，(1,0,2)，cos，异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.2在空间直角坐标系中有长方体ABCDA1B1C1D1，AB1，BC2，AA13，则点B到直线A1C的距离为()A B C D1B过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的
2、坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，(1,2，3)，(x，y，z3)，(x1，y，z)因为，所以，解得，所以，所以点B到直线A1C的距离|.3已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB3，E为线段AB上一点，且AEAB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为()A B CDA以D为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则C(0,3,0)，E(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,3,1)，D(0,0,0)，(0,3,1)，(1,1，1)，(0,3，1)，设平面D1EC的法向量为n(x，y，z)，则可
3、得平面D1EC的一个法向量为n(2,1,3)，所以DC1与平面D1EC所成角的正弦值为sin cos，n.4如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为()A BCDC以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)E为AB的中点，(1,1，1)，(1,2,0)，(1,0,1)设平面ACD1的法向量为n(a，b，c)，则，即，可得可取n(2,1,2)点E到面ACD1的距离为d.5.如图所示，
4、已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为()A BCDD如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PAADAC1，则BD，所以O(0,0,0)，B，F，C，易知为平面BDF的一个法向量，由，可得平面BCF的一个法向量为n(1，)所以cosn，sinn，所以tann，.故二面角CBFD的正切值为.二、填空题6若直线l的方向向量a(2,3,1)，平面的一个法向量n(4,0,1)，则直线l与平面所成角的正弦值为_由题意，得直线l与平
5、面所成角的正弦值为.7在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为AxByCzD0(A，B，C，DR，且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面的距离d，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于_作出正四棱锥PABCD，如图，以底面中心O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则A(1,1,0)，B(1,1,0)，P(0,0,2)，设平面PAB的方程为AxByCzD0，将以上3个坐标代入计算得A0，BD，CD，所以平面PAB的方程为DyDzD0，即2yz20，所以点O到侧面的距离d.8.如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，C
6、C1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD的夹角的正弦值为_以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)，(1,0,1)，.设平面AEFD1的一个法向量为n(x，y，z)，则x2yz.取y1，则n(2,1,2)又平面ABCD的一个法向量为u(0,0,1)，cosn，u，sinn，u.三、解答题9.如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求面AMA1与面MA1N的夹角的正弦值解(1)连接
7、B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C.又因为N为A1D的中点，所以NDA1D.由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED.又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE.(2)由已知可得DEDA.以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，DE为y轴正方向，DD1为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，2)，N(1,0,2)，(0,0，4)，(1，2)，(1,0，2)，(0，0)设m(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m(，1,0)设n(p，
8、q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n(2,0，1)于是cosm，n，所以面AMA1与面MA1N的夹角的正弦值为.10.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABCD，ADCD1，BAD120，ACB90.(1)求证：BC平面PAC；(2)若二面角DPCA的余弦值为，求点A到平面PBC的距离解(1)证明：PA底面ABCD，BC平面ABCD，PABC，ACB90，BCAC，又PAACA，BC平面PAC.(2)设APh，取CD的中点E，则AECD，AEAB.又PA底面ABCD，PAAE，PAAB，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0，h)，C，D，B(0,2,
9、0)，(0,1,0)，设平面PDC的法向量n1(x1，y1，z1)，则即取x1h，n1.由(1)知平面PAC的一个法向量为，|cosn1，|，解得h，同理可求得平面PBC的一个法向量n2(3，2)，所以，点A到平面PBC的距离为d.11(多选题)如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是()ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D异面直线AD与CB1所成的角为60ABC以D为坐标原点，分别以，所在方向为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，则可以证明AC1面CB1D1，可以作为面CB1D1的法向量，C正确(1，1,0)，(1,1,1)
10、，110，BD面CB1D1即AB正确又(1,0,0)，(1,0,1)，cos，AD与CB1所成的角为45，D错，故应选ABC.12.如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，ABBC1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()A BCDC建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)设点P的坐标为(0，2)，0,1，点Q的坐标为(1，0)，0,1，|PQ|，当且仅当，时，线段PQ的长度取得最小值，为.13(一题两空)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD且PDAD1，AB2
11、，点E是线段AB上一点，当面PEC与面ABCD的夹角为时，AE_，这时，点D到面PEC的距离为_2设AEa(0a2)，以点D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，则D(0,0,0)，E(1，a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，则(1，a，1)，(0,2，1)，设平面PEC的法向量为m(x，y，z)，则，即，令y1，可得x2a，z2，则m(2a,1,2)，易知平面DEC的一个法向量为(0,0,1)，则|cosm，|，解得a2或2(舍去)，所以AE2.这时，平面PEC的法向量可以取(，1,2)，又因(0,0,1)点D到平面PEC的距离为d.14在
12、空间中，已知平面过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为45，则a_.平面xOy的法向量为n(0,0,1)，设平面的法向量为u(x，y，z)，则即3x4yaz，取z1，则u.而cosn，u，又a0，a.15.如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CF平面ABC，ABBC，CFDE，BAC45，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小解(1)法一：连接GD，CD，设CDGFO，连接OH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所
13、以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OHBD，又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.法二：在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得 BHEF，BHEF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BEHF，在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB，又GHHFH，所以平面FGH平面ABED，因为 BD平面ABED，所以 BD平面FGH.(2)设AB2，则CF1，在三棱台DEFABC中，G为AC的中点，由DFACGC，可得 四边形DGCF为平行四边形，因此DGFC，又FC平面ABC，所以DG平面ABC，在ABC中，由ABBC，BAC45，G是AC中点，所以ABBC，GBGC，因此GB，GC，GD两两垂直，以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz，所以G(0,0,0)，B(，0,0)，C(0，0)，D(0,0,1)可得H，F(0，1)故，(0，1)，设n(x，y，z)是平面FGH的一个法向量，则由可得可得平面FGH的一个法向量n(1，1，)，因为是平面ACFD的一个法向量，(，0,0)所以cos，n.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60.