1、【名师解析】山东省泰安市2015届高三上学期期中考试数学（理）试题本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能力载体.突出考查学生分析问题解决问题的能力以及运算能力，试题重点考查：集合，不等式、复数、向量、导数，函数模型、数列、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1.设集合，集合，则等于A.B.C.D.【知识点】集合及其运算A1【答案解析】C =x,=x所以=，故选C.【思路点拨】先求出集合A,B,再求出结果。【题文】2
2、.如果命题“”为真命题，则A.均为真命题B.均为假命题C.中至少有一个为真命题D.中一个为真命题，一个为假命题【知识点】命题及其关系A2【答案解析】B 因为为真命题，则为假命题，所以均为假命题，故选B。【思路点拨】根据逻辑连结词求出结果。【题文】3.设，则A.B.C.D.【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】B 因为，cos=sinsin且小于1，所以，故选B.【思路点拨】根据三角函数的单调性求出结果。【题文】4.若点在函数的图象上，则的值为A.B.C.D.【知识点】对数与对数函数B7【答案解析】D 点（16，2）在函数y=logax（a0且a1）的图象上，2=loga16，a2=16
3、，a=4，=tan=tan=故选：D【思路点拨】由条件求得a的值，再利用诱导公式求得 的值【题文】5.设数列是公比为q的等比数列，则“”是“为递减数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】D 数列an是公比为q的等比数列，则“0q1”，当a10时，“an为递增数列”，又“0q1”是“an为递减数列”的既不充分也不必要条件，故选：D【思路点拨】根据等比数列 的性质可判断：当a10时，“0q1”“an为递增数列”；an为递减数列”，a10时，q1，根据充分必要条件的定义可以判断答案【题文】6.给定函数
4、，其中在区间上单调递减的函数序号是A.B.C.D.【知识点】函数的单调性与最值B3【答案解析】B ：是幂函数，其在（0，+）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+）内为减函数，故此项符合要求；中的函数图象是由函数y=x-1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意故选B【思路点拨】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质； 为增函数， 为定义域上的减
5、函数，y=|x-1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，y=2x+1为增函数【题文】7.设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于A.B.C.D.【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案解析】D 是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cos=x=，x0，x=-3，tan=- 则tan2= = 故选：D【思路点拨】由条件利用任意角的三角函数的定义求出tan的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2的值【题文】8.在各项均不为零的等差数列中，若等于A.B.0C.1D.2【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案解析】A 设公差为d，则an+1=an+d，an-1=an-d
6、，由an+1-an2+an-1=0（n2）可得2an-an2=0，解得an=2（零解舍去），故S2n-1-4n=2（2n-1）-4n=-2，故选A【思路点拨】由等差数列的性质可得an+1+an-1=2an，结合已知，可求出an，又因为s2n-1=（2n-1）an，故本题可解【题文】9.若函数上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是【知识点】函数的图像B8【答案解析】C 函数f（x）=kax-a-x，（a0，a1）在（-，+）上是奇函数则f（-x）+f（x）=0即（k-1）（ax-a-x）=0则k=1又函数f（x）=kax-a-x，（a0，a1）在（-，+）上是增函数则a1则g（x）=loga（x
7、+k）=loga（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C【思路点拨】由函数f（x）=kax-a-x，（a0，a1）在（-，+）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a1，由此不难判断函数的图象【题文】10.已知函数的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是A.B.C.D.【知识点】函数的单调性与最值B3【答案解析】A 由题意可得：存在x0（-，0），满足x02+ex0-=（-x0）2+ln（-x0+a），即ex0- -ln（-x0+a）=0有负根，当x趋近于负无穷大时，ex0-ln（-x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=ex-ln（-x+a）为增函数，h（0
8、）=-lna0，lnaln，0a，故答案为：A. 【思路点拨】由题意可得：存在x0（-，0），满足x02+ex0-=（-x0）2+ln（-x0+a），函数h（x）=ex-ln（-x+a）的图象和性质，得到h（0）=-lna0，继而得到答案【题文】二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.【题文】11.已知，则 .【知识点】二倍角公式C6【答案解析】 因为=-cos，所以cos=-,则= ,故答案为。【思路点拨】先根据诱导公式求出余弦值，再根据二倍角公式求出结果。【题文】12.已知向量的夹角为45，且 .【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案解析】3
9、因为、的夹角为45，且|=1，|2-|=，所以42-4+2=10，即|2-2|-6=0，解得|=3或|=-（舍）故答案为3【思路点拨】将|2-|=平方，然后将夹角与|=1代入得到|的方程，解方程可得【题文】13.由曲线，直线轴所围成的图形的面积为 .【知识点】定积分与微积分基本定理B13【答案解析】 如图所示： 联立解得，M（4，2）由曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积S=-(x-2)dx=(-x2+2x) =【思路点拨】利用微积分基本定理即可求出【题文】14.数列的前n项和，则 .【知识点】数列求和D4【答案解析】-1 数列an的前n项和Sn=log0.1（1+n），a10+a
10、11+a99=S99-S9=log0.1（1+99）-log0.1（1+9）=log0.1100-log0.110=-2-（-1）=-1故答案为：-1【思路点拨】由数列an的前n项和Sn=log0.1（1+n），知a10+a11+a99=S99-S9，由此能求出结果【题文】15.定义在R上的奇函数满足，且在 ，则 .【知识点】函数的奇偶性与周期性B4【答案解析】 由f（x+4）=f（x），得函数的周期是4，则f（）=f（8-）=f（-），f（x）是奇函数，f（-）=-f（）=-=-，f（）=f（8-）=f（-）=-f（）=-sin=sin=，则f（）+f（）=-=，故答案为：【思路点拨】根据函
11、数的奇偶性和周期性，以及分段函数的表达式代入即可得到结论【题文】三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.【题文】16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点.（I）求；（II）设实数t满足，求t的值.【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案解析】(1）3，2（2）-1(1）A（1，4），B（-2，3），C（2，-1）=（-3，-1），=（1，-5），+=（-2，-6），=-31+（-1）（-5）=3，|+|=2（2）()，=0,即-=-32+（-1）（-1）=-5，=22+（-1）2=5，-5-5t=0
12、，t=-1【思路点拨】（1）利用向量数量积坐标运算及求模公式即可得出结论；（2）根据题意可得：=0，再结合向量垂直的坐标表示可得关于t的方程，进而解方程即可得到t的值【题文】17.（本小题满分12分）如图，在中，已知，点D在BC边上，且.求角C的大小及边AB的长.【知识点】解三角形C8【答案解析】7 4sin2+4sinAsinB=3，21-cos（A-B）+4sinAsinB=3，2-2（cosAcosB+sinAsinB）+4sinAsinB=3，cos（A+B）=-，cosC=，C= cosADB=，cosADC=- ，sinADC= ，在ADC中，由正弦定理可得AD= sinC=7AB
13、= =7【思路点拨】利用二倍角公式，和角的余弦公式，可求C，利用正弦定理、余弦定理求出边AB的长【题文】18.（本小题满分12分）已知.函数，若将函数的图象向左平移个单位，则得到的图像，且函数为偶函数.（I）求函数的解析式及其单调增区间；（II）若，求的值.【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】（）f（x）=2sin（2x-）单调增区间为-+k，+k（）（）f（x）=sinx-cosx=2sin（x-），g（x）=f（x+ ）=2sin（x+ ）-=2sin（x-），又g（x）是偶函数，sin（-x+-）=sin（x+-），sinxcos（-）=0对任意xR恒成立，-=+k，kZ，整理
14、，得=2+3k，kZ，又03，=2，f（x）=2sin（2x-），令-+2k2x-+2k，kZ，得-+kx+k，kZ，函数f（x）的单调增区间为-+k，+k，kZ（）由（）知：f（）=2sin（2-）=2sin（-），又f（）=，sin（-）=，又，0-，cos（-）=，sin=sin(-)+=sin(-)cos+cos(-)sin=+=【思路点拨】（）由f（x）=sinx-cosx=2sin（x-），知g（x）=2sin（x-），由g（x）是偶函数，得f（x）=2sin（2x-），由此能求出函数f（x）的单调增区间（）由f（）=2sin（2-）=2sin（- ），f（）= ，得sin（- ）
15、=，从而cos（-）= ，由此能求出sin【题文】19.（本小题满分12分）某工厂为提高生产效益，决定对一条生产线进行升级改造，该生产线升级改造后的生产效益万元与升级改造的投入万元之间满足函数关系：（其中m为常数）若升级改造投入20万元，可得到生产效益为35.7万元.试求该生产线升级改造后获得的最大利润.（利润=生产效益投入）（参考数据：）【知识点】函数模型及其应用B10【答案解析】24.4万元 由题意可得，35.7=mln20-4+20+ln10，解得，m=-1，则y=-lnx-x2+x+ln10，（x10）设利润为f（x）=y-x=-lnx-x2+x+ln10-x=-lnx-x2+x+ln
16、10，（x10）易得，f（x）=-+=，又x10，当10x50时，f（x）0，当x50时，f（x）0，则x=50时，函数f（x）有最大值，即f（50）=-ln50-（50）2+50+ln10=24.4（万元）答：该生产线升级改造后获得的最大利润为24.4万元【思路点拨】由题意，代入（20，35.7）可得35.7=mln20-4+20+ln10，从而求出m，计算利润函数，利用求导法求函数的最大值，从而得到最大利润【题文】20.（本小题满分13分）已知首项都是1的数列满足（I）令，求数列的通项公式；（II）若数列为各项均为正数的等比数列，且，求数列的前项和.【知识点】等比数列 数列求和D3 D4【
17、答案解析】（）cn=3n-2（II）Sn=8-（6n+8）()n（）由题意得an+1bn=anbn+1+3bnbn+1，两边同时除以bnbn+1，得又cn=，cn+1-cn=3，又c1=1，数列cn是首项为1，公差为3的等差数列，cn=1+3（n-1）=3n-2，nN*（）设数列bn的公比为q，q0，b32=4b2b6，b12q4=4b12q6，整理，得q2=，q=，又b1=1，bn=()n-1，nN*，an=cnbn=(3n-2)()n-1，Sn=1()0+4()+7()2+(3n-2)()n-1，Sn=1+4()2+7()3+(3n-2)()n，-，得：Sn=1+3+3()2+3()n-1
18、-（3n-2）()n=1+3+()2+()n-1-（3n-2）()n=1+31-()n-1-(3n-2)()n=4-（6+3n-2）()n=4-（3n+4）（）n，Sn=8-（6n+8）()n【思路点拨】（）由题意得an+1bn=anbn+1+3bnbn+1，从而 ，由此推导出数列cn是首项为1，公差为3的等差数列，进而求出cn=1+3（n-1）=3n-2，nN*（）设数列bn的公比为q，q0，由已知得bn=( )n-1，nN*，从而an=cnbn=(3n-2)()n-1，由此利用错位相减法能求出数列an的前n项和Sn【题文】21.（本小题满分14分）已知函数.（I）若曲线与曲线在交点处有共同
19、的切线，求的值；（II）若对任意，都有恒成立，求的取值范围；（III）在（I）的条件下，求证：.【知识点】导数的应用B12【答案解析】（I）（II）a-1（III）略（I）函数f（x）=alnx的定义域为（0，+），f(x)= ，g（x）=设曲线y=f（x）与曲线g（x）= 交点（x0，y0），由于在交点处有共同的切线，=，解得x0=4a2，a0由f（x0）=g（x0）可得alnx0=联立，解得a=（II）对任意x1，e，都有f（x）-x2+（a+2）x恒成立，化为a（x-lnx）x2-2x（*）令h（x）=x-lnx，h(x)=1-= ，x1，e，h（x）0，函数h（x）单调递增，h（x）h
20、（1）=1（*）可化为a，x1，e令F（x）=F（x）=x1，e，x-10，2（1-lnx）0，当x1，e时，F（x）0，函数F（x）在x1，e上单调递增，F（x）F（1）=-1，a-1（III）在（I）的条件下f（x）=lnx要证明xf（x）-1即证明exlnxxe1-x-2令H（x）=exlnx，可得H（x）=e+elnx=e（1+lnx），令H（x）0，解得x(，+)，此时函数H（x）单调递增；令H（x）0，解得x(0，)，此时函数H（x）单调递减当x=时，函数H（x）取得极小值即最小值，H()=-1令G（x）=xe1-x-2，可得G（x）=（1-x）e1-x，令G（x）0，解得0x1，
21、此时函数H（x）单调递增；令G（x）0，解得x1，此时函数G（x）单调递减当x=1时，函数G（x）取得极大值即最大值，G（1）=-1H（x）G（x），因此xf（x） -1【思路点拨】（I）函数f（x）=alnx的定义域为（0，+），f(x)= ，g（x）=设曲线y=f（x）与曲线g（x）= 交点（x0，y0），由于在交点处有共同的切线，利用导数的几何意义可得= ，a0由f（x0）=g（x0）可得alnx0=联立解得即可（II）对任意x1，e，都有f（x）-x2+（a+2）x恒成立，化为a（x-lnx）x2-2x（*）令h（x）=x-lnx，利用导数研究其单调性可得h（x）h（1）=1从而（*）可化为a，x1，e令F（x）= ，再利用导数研究其单调性极值与最值可得F（x）F（1）=-1，即可得出（III）在（I）的条件下f（x）= lnx要证明xf（x） -1即证明exlnxxe1-x-2分别令H（x）=exlnx，令G（x）=xe1-x-2，利用导数研究其单调性极值与最值 即可证明
