1、要点导学各个击破两个计数原理例1如图所示,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有四种不同的花供选种,要求在每块花坛里种一种花,且相邻的两块花坛里种不同的花,则不同的种法共有种.(例1)【分析】本题可以考虑按所种花的品种多少分类,也可以考虑按A-B-C-D的顺序分步.【答案】84【解析】方法一:按所种花的品种多少分成三类:种两种花有种种法;种三种花有2种种法;种四种花有种种法.所以不同的种法共有+2+=84种.方法二:按A-B-C-D的顺序种花,可分A,C种同一种花与不种同一种花两种情况,共有43(13+22)=84种不同的种法.【点评】在方法二中,A,C种同一种花和种不同的花对D中的种法是有影
2、响的,所以又需要分类讨论.变式编号为A,B,C,D,E的五个小球放在如图所示的五个盒子里,要求每个盒子只能放一个小球,且A球不能放在1,2号,B球必须放在与A球相邻的盒子中,则不同的放法有种.(变式)【答案】30【解析】根据A球所在位置分三类: 若A球放在3号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,则根据分步计数原理得321=6种不同的放法; 若A球放在5号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,则根据分步计数原理得321=6种不同的放法; 若A球放在4号盒子内,则B球可以放在2号,3号,5号盒子中的任何一个,余下的三个盒子放球C,D,E,有=6
3、种不同的放法,根据分步计数原理得,3=18种不同方法.综上所述,由分类计数原理得不同的放法共有6+6+18=30种.排列与组合例2(1) (2014扬州模拟)如图,四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为的4个仓库存放这8种化工产品,求安全存放的不同放法数.(例2)(2) 有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.若恰有1个盒不放球,则共有几种放法?若恰有1个盒内有2个球,则共有几种放法?若恰有2个盒不放球,则共有几种放法?【分析】(1)中先把标号为1,2,3,4的
4、化工产品各放入一个不同仓库中,再根据限制条件放入其它化工产品;(2)中4个球4个盒,“恰有1个盒不放球”和“恰有1个盒内有2个球”本质是一样的,为了保证有一个盒不放球,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”【解答】(1) 由题意分析,先把标号为1,2,3,4的化工产品分别放入的4个仓库内,共有=24种放法;再把标号为5,6,7,8的化工产品对应地按要求安全存放:7与1放一起,8与2放一起,5与3放一起,6与4放一起;或者6与1放一起,7与2放一起,8与3放一起,5与4放一起,有两种放法.综上所述,共有2=48种放法.(2) 从4个盒子中
5、取出一个盒子不放球,把4个球分成2,1,1三组,然后再从剩余3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步乘法计数原理,共有=144种.“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一事件,所以共有144种放法.确定2个空盒有种方法,4个球放进2个盒子可分成(3,1),(2,2)两类,第一类有序不均匀分组,有种方法;第二类有序均匀分组,有种方法.故共有=84种.【点评】第(2)题的中,若先从4个球中任选3个放入3个不同的盒子中,再把余下的1个球放入其中一个盒子中,则
6、会出现重复,这是一种典型错误;中的4个球平均分为两组,共有种分法,而不是.变式(1) 8名游泳运动员参加男子100m的决赛,已知游泳池有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的8条泳道,若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字(如:5,6,7),则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有种.(2) 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有种.【答案】(1) 4320(2) 70【解答】(1) 方法一:先从8个数字中取出3个连续的数字共有6种方法,将指定的3名运动员安排在这3个编号的泳道上,剩下的5名运动员安排在其
7、他编号的5条泳道上,共有6=4 320种安排方式.方法二:先将所在的泳道编号是3个连续数字的3名运动员全排列,有种排法,然后把他们捆绑在一起当作一名运动员,再与剩余5名运动员全排列,有种排法,故共有=4 320种安排方式.(2) 方法一(间接法):当选择的3名医生都是男医生或都是女医生时,共有+=14种组队方案.当从9名医生中选择3名医生时,共有=84种组队方案,所以男、女医生都有的组队方案共有84-14=70种.方法二(直接法):当小分队中有1名女医生时,有=40种组队方案;当小分队中有2名女医生时,有=30种组队方案.故共有40+30=70种不同的组队方案.二项式定理及应用例3(2014扬
8、州质检)已知(+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的二项式系数和大992,求的展开式中:(1) 二项式系数最大的项;(2) 系数的绝对值最大的项.【分析】先求出n,再根据中间项的二项式系数最大,写出二项式系数最大的项; 第(2)问可以先假设系数的绝对值最大的项为第r+1项,由通项公式写出其系数的绝对值,利用它比前一项和后一项的系数的绝对值都大,列不等式组求出r的范围,再根据rZ确定r的值.【解答】由题意知,22n-2n=992,即(2n-32)(2n+31)=0,所以2n=32,解得n=5.(1) 由二项式系数的性质知,的展开式中第6项的二项式系数最大,即T6=(2x)5
9、=-8 064.即二项式系数最大的项是第6项,为-8 064.(2) 设第r+1项的系数的绝对值最大,因为Tr+1=(2x)10-r=(-1)r210-rx10-2r,所以得即解得r.因为rZ,所以r=3.故系数的绝对值最大的项是第4项,且T4=-27x4=-15 360x4.【点评】考虑二项展开式中的特定项,一般利用通项公式.变式(2013苏北四市模拟)已知的展开式中,前三项的系数成等差数列,则展开式中所有的有理项为.【答案】x4,x,【解析】由题知前三项的系数1,成等差数列,所以2=1+,即n2-9n+8=0,所以n=8或n=1(舍去).所以其通项为Tr+1=()8-r=.所以展开式中的有
10、理项,仅在4-为整数时成立,又3与4互质,故r是4的倍数.又因为0r8,所以r=0,4,8.所以展开式的有理项是T1=x4,T5=x,T9=.1. 有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这项任务,不同的选法有种.【答案】2 520【解析】第一步,从10人中选派2人承担任务甲,有种选派方法;第二步,从余下的8人中选派1人承担任务乙,有种选派方法;第三步,再从余下的7人中选派1人承担任务丙,有种选派方法.由分步计数原理,知选法为=2 520种.2. 某电视台在直播2014年南京青奥会时要连续插播5个广告,其中3个不同的商业广告和2个不同的青奥宣传广告,要求最
11、后播放的是青奥宣传广告,且2个青奥宣传广告不能连播,则不同的播放方式有种.【答案】36【解析】有=36(种).3. 设二项式的展开式中x2的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a=.【答案】-3【解析】Tr+1=x6-r=(-a)rx6-2r,令6-2r=2,得r=2,A=a2=15a2;令6-2r=0,得r=3,B=-a3=-20a3.由B=4A,得a=-3.4. (2014无锡调研)化简:+=.【答案】22n-1-1【解析】(1+x)2n=+x+x2+x3+x2n,令x=1,得+=22n;再令x=-1,得-+-+(-1)r+-+=0.两式相加得2(+)=22n,又=1,得+=-1=22n-
12、1-1.5. (2014南通期末)已知性质T:排列a1,a2,an中有且只有一个aiai+1(i1,2,n-1).记1,2,n满足性质T的排列a1,a2,an的个数为f(n)(n2,nN*).(1) 求f(3);(2) 求f(n).【解答】(1) 当n=3时,1,2,3的所有排列为(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),其中满足仅存在一个i1,2,3,使得aiai+1的排列为(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),所以f(3)=4.(2) 在所有满足性质T的排列(a1,a2,an)中.若ai=n(1in-1),从1,2,3,n-1这(n-1)个数中选(i-1)个数,按从小到大的顺序排列为a1,a2,ai-1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为.若an=n,则满足题意的排列个数为f(n-1).从而f(n)=-(n-3)+f(3)=2n-n-1.
