1、广西桂林市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.函数 ，则 （ ） A.0B.1C.D.2.设复数 ，则 的实部为（ ） A.-1B.2C.-2D.3.用反证法证明“ 是无理数”时，正确的假设是（ ） A. 不是无理数B. 是整数C. 不是有理数D. 是无理数4.5个人排成一排照相，其中的甲乙两人要相邻，则有不同的排法种数为（ ） A.24种B.36种C.48种D.72种5. （ ） A.B.C.D.6.在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为 ，则
2、第2组的频率是（ ） A.0.4B.0.3C.0.2D.0.17.向量 ，向量 ，若 ，则实数 （ ） A.B.1C.-2D.8.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件A为“取到的2个数之和为偶数”，记事件B为“取到的两个数均为偶数”，则 （ ） A.B.C.D.9.若随机变量X的分布列如下表所示，则a的值为（）X123P0.2a3aA.0.1B.0.2C.0.3D.0.410.正方体 中， 与平面 所成角的余弦值为（ ） A.B.C.D.11.已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ） A.0.0799B.0.1587C.0.3D.0.341312.若函数 有两个不同的极值点，则
3、实数 的取值范围是（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.某校有学生4500人，其中高三学生1500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本则样本中高三学生的人数为_ 14.已知 为虚数单位，则 _ 15. _. 16.在 中， ， ， ， 是斜边上一点，以 为棱折成二面角 ，其大小为60，则折后线段 的最小值为_ 三、解答题：本题共6小题，共70分解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤17.在 的展开式中，求 （1）含 的项； （2）展开式中的常数项 18.已知函数 （1）当 时，求 的图象在点 处的切线方
4、程； （2）设 是 的极值点，求 的极小值 19.如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， （1）证明： 平面 ； （2）若 ， ，求二面角 的余弦值 20.已知数列 的前 项和 （1）计算 ， ， ， ，并猜想 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想 21.在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是 ， 两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响 （1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率； （2）若投篮命中一
5、次得1分，否则得0分，用 表示甲的总得分，求 的分布列和数学期望 22.已知函数 （1）若 在 单调递增，求实数 的取值范围； （2）若 ，且 仅有一个极值点 ，求实数 的取值范围，并证明： 答案解析部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.函数 ，则 （ ） A.0B.1C.D.【答案】 B 【考点】导数的运算 【解析】【解答】解：由题意得f(x)=ex ， 则f(0)=e0=1. 故答案为：B 【分析】根据导数的运算求解即可.2.设复数 ，则 的实部为（ ） A.-1B.2C.-2D.【答案】 B 【考点】复数的基本概念
6、【解析】【解答】解：根据复数的概念得z的实部为2. 故答案为：B 【分析】根据复数的概念直接求解即可.3.用反证法证明“ 是无理数”时，正确的假设是（ ） A. 不是无理数B. 是整数C. 不是有理数D. 是无理数【答案】 A 【考点】反证法 【解析】【解答】解：根据反证法，正确的假设是：不是无理数. 故答案为：A 【分析】根据反证法直接求解即可.4.5个人排成一排照相，其中的甲乙两人要相邻，则有不同的排法种数为（ ） A.24种B.36种C.48种D.72种【答案】 C 【考点】排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】解：根据捆绑法,先把甲乙开成一个元素，再与另外3人
7、排列，则共有种. 故答案为：C 【分析】根据捆绑法直接求解即可.5. （ ） A.B.C.D.【答案】 A 【考点】二项式定理的应用 【解析】【解答】解：根据二项式定理得1+3x+3x2+x3=x3+3x2+3x+1= 故答案为：A 【分析】根据二项式定理直接求解即可.6.在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为 ，则第2组的频率是（ ） A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1【答案】 A 【考点】频率分布直方图 【解析】【解答】解：由题意易知各小长方形的面积的比从左往右依次为2:4:3 则可设s1:s2:s3s4=2s:4s:3s:s 则2s+4s+3s+s=1 解得 则第
8、2组的频率是4s=0.4 故答案为：A 【分析】根据频率分布直方图的性质求解即可.7.向量 ，向量 ，若 ，则实数 （ ） A.B.1C.-2D.【答案】 C 【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直 【解析】【解答】解： 21+42+5t=0 解得t=-2 故答案为：C 【分析】根据向量垂直的充要条件求解即可.8.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件A为“取到的2个数之和为偶数”，记事件B为“取到的两个数均为偶数”，则 （ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】古典概型及其概率计算公式，条件概率与独立事件 【解析】【解答】解： ， 故答案为：B 【分析】根据古典概型，结合条件概
9、率求解即可.9.若随机变量X的分布列如下表所示，则a的值为（）X123P0.2a3aA.0.1B.0.2C.0.3D.0.4【答案】 B 【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】【解答】解：由题意得0.2+a+3a=1，解得a=0.2 故答案为：B 【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可.10.正方体 中， 与平面 所成角的余弦值为（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】直线与平面所成的角 【解析】【解答】解：因为BB1/ DD1 ， 所以BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角， 在三棱锥D-ACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在平面ACD1的射影为等边
10、三角形ACD1的垂心(即中心0) ，连结DO，D1O，则DD1O为DD1与平面ACD1所成的角， 设正方体的棱长为a, 则 故答案为：D 【分析】根据直线与平面所成角的定义，利用几何法直接求解即可.11.已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ） A.0.0799B.0.1587C.0.3D.0.3413【答案】 B 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【解析】【解答】解：X 服从正态分布 ， 且 故答案为：B 【分析】根据正态分布的性质求解即可.12.若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ） A.B.C.D.【答案】 A 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数
11、研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【解答】解：由题意可得，f(x)=ex-4ax=0有2个不同的实数根， 即有2个不同的实数根, 令 ， 则 令g(x)0,可得x1；令g(x)0,可得x1, 所以g(x)在(-,1)上单调递减，在(1, +)上单调递增, 所以g(x)的最小值为 故 故答案为：A 【分析】根据化归思想，将函数有两个不同的极值点等价转化为方程有两个不同的实数根，运用数形结合思想，结合利用导数研究函数的单调性与最值求解即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.某校有学生4500人，其中高三学生1500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽
12、样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本则样本中高三学生的人数为_ 【答案】 100 【考点】分层抽样方法 【解析】【解答】解：根据分层抽样，易得样本中高三学生的人数为 故答案为：100 【分析】根据分层抽样直接求解即可.14.已知 为虚数单位，则 _ 【答案】【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解：(2-3i)(i+1)=2i+2-3i2-3i=5-i 故答案为：5-i 【分析】根据复数的运算直接求解即可.15. _. 【答案】 1 【考点】定积分 【解析】【解答】易知 .故 . 【分析】由于 ，利用微积分基本定理，直接求得定积分的值.16.在 中， ， ， ， 是斜边上一点
13、，以 为棱折成二面角 ，其大小为60，则折后线段 的最小值为_ 【答案】【考点】向量的线性运算性质及几何意义，与二面角有关的立体几何综合题，二面角的平面角及求法，同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】解：如图，过C，B作AD的垂线，垂足分别为E,F，故BFEF,ECEF， 所以 以AD为棱折叠后，则有 故 因为以D为棱折成60的二面角C-AD-B 所以与的夹角为120 令BAD=，则CAE=90-， 在RtABF中，BF=ABsin=6sin，AF=6cos， 在RtACE中，EC=ACsin(90-)=8cos，AE=ACcos(90-)=8sin， 故EF=AE
14、-AF=8sin-6cos， 所以 故当=45时，有最小值28 故线段BC最小值为 故答案为： 【分析】根据向量的线性运算，结合二面角的定义以及同角三角函数的基本关系、诱导公式求解即可.三、解答题：本题共6小题，共70分解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤17.在 的展开式中，求 （1）含 的项； （2）展开式中的常数项 【答案】 （1）由题意知 ， ，1，2，3，4，5，6； 令 ，得 ，所以含 的项为 （2）由（1）知 ，得 ， 所以常数项为 【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用 【解析】【分析】（1）（2）根据二项展开式通项公式求解即可；18.已知函数 （1）当 时，求 的图象在
15、点 处的切线方程； （2）设 是 的极值点，求 的极小值 【答案】 （1）即 ， ； 则 ， ，故所求切线方程为 ，即 （2） ，由题知 ， 解得 ，则 ， ，当 时 ，当 时 所以当 时 取极小值 【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）根据函数极值的性质，结合利用导数研究函数的极值直接求解即可.19.如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， （1）证明： 平面 ； （2）若 ， ，求二面角 的余弦值 【答案】 （1）由已知得， 平面 ， 平面 ，故 又 ，所以 平面 （2）由（1）知 由
16、题设知 ，所以 ， 故 ， 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 即 所以可取 设平面 的法向量为 ，则 ，即 可取 于是 所以，二面角 的余弦值为 【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理求证即可； （2）利用向量法直接求解即可.20.已知数列 的前 项和 （1）计算 ， ， ， ，并猜想 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想 【答案】 （1）当 时， ， ； 当 时， ， ；当 时， ， ；当
17、时， ， 由此猜想 （2）证明：当 时， ，猜想成立 假设 （ 且 ）时，猜想立，即 ，那么 时， ， 当 时，猜想成立由知猜想 成立【考点】数列递推式，数学归纳法 【解析】【分析】（1）根据an与sn的关系直接求解， （2）根据数学归纳法直接证明即可.21.在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是 ， 两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响 （1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率； （2）若投篮命中一次得1分，否则得0
18、分，用 表示甲的总得分，求 的分布列和数学期望 【答案】（1）记“3次投篮的人依次是甲，甲，乙”为事件，依题意，得3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是（2）由题意可能取值为0，1，2，3，则，；所以，分布列为0123所以的期望【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率直接求解即可； （2）根据独立事件，结合离散型随机变量的分布列与期望求解即可.22.已知函数 （1）若 在 单调递增，求实数 的取值范围； （2）若 ，且 仅有一个极值点 ，求实数 的取值范围，并证明： 【答案】 （1） 在 单调递增， 在 恒
19、成立 在 恒成立， （2）设 ， ， 当 时，令 得： ， ， ， 单调递增， ， ， 单调递减，若 ， 恒成立， 无极值；若 ， ，而 ， ，此时 有两个极值点；故 不符合题意当 时， ， ， 单调递减， ， ， 单调递增，所以 有唯一极小值点 ， 当 时， 恒成立， 单调递增；取 满足 且 时， ，而 ，此时由零点存在定理知： 有唯一的零点 ， 只有一个极值点 ，且 ，由题知 ，又 ， ， ，设 ， ，当 ， ， 单调递减， ， 成立综上， 只有一个极值点 时， 的取值范围为 ，且 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，函数零点的判定定理 【解析】【分析】（1）根据化归思想，将函数的单调性问题等价转化为不等式恒成立问题，再转化为求函数的最值问题即可； （2）构造函数g(x)=h(x)，利用导数g(x)研究函数g(x)的单调性与最值，再结合分类讨论思想与零点存在定理求解即可.