1、例说基本量法解题例 说 基 本 量 法 解 题（仵卫军 陕西铜川同官高级中学 727008）在数学问题中，往往涉及较多的量，但通过观察分析我们会发现，其中有一个（或者几个）可以独立取值，或者可以以其为主来考虑问题，其他的量则处于相关或从属的地位，这样的一个量（或者几个量），我们称之为基本元，而以这基本元为核心来解决问题的方法称之为基本量法。下面通过例题来体会基本量法解题的思维策略。1、 平几问题例1、如图，ABC中，AB=AC,A=100,B的平分线交AC于D，求证：AD +BD = BC.思路：观察图形可知，BD起着“承上启下”的作用， 故选BD为基本元，其他相关量则可用BD表示。证明：设B
2、D=a，在ABD中，由正弦定理得AD= ,同理在BCD中，由正弦定理得BC=,所以 AD +BD = a（+1）= a= a= BC。2、 三角问题例2、已知+coscos=1,求证:tancot=sin。思路：观察欲证式，只要用、表示即可，故选、为基本元。证明：由已知式得cos=(1-),sin=1- cos=1-(1-)=1-sec+tancsc= tancsc-tan= tancot。例3、已知：cos+cos+cos+2 coscoscos=1,求证：四者之中至少有一个是的奇数倍。思路：注意到 的对称性，可将已知式写成某基本元的一元二次方程。证明：选择cos 为基本元，则可以将已知式写
3、成关于cos的一元二次方程： cos+2 coscoscos+cos+cos-1=0,解之得cos=- coscossinsin=，于是已知式可变形为cos+ cos(+)cos cos(-)=0即coscoscoscos=0，可见，cos,cos,cos,cos四式中至少有一式值为零，由此可得：四者之中至少有一个是的奇数倍。3、 不等式问题例4、已知非零实数x,y,z满足x+y+z=xyz，x=yz,求证：x3.思路：以 x为基本元，用 x表示y,z。证明：由已知得y+z=x-x且yz=x,根据韦达定理构造关于t的二次方程：t- (x-x)t+ x=0,且实数y, z是它的两个根。= (x-
4、x)-4 x0，即x( x+1)( x-3) 0， x3。 例5、设 x,y,zR,A、B、C为ABC的三个内角。求证：x+y+z2yzcosA+2zxcosB+2xycosC。思路：视多元不等式为关于某元的一元二次不等式。证明：选择x基本元，可以将欲证的多元不等式写成关于x的一元二次不等式的形式：x-2(zcosB+ycosC)x+ y+z-2yzcosA 0,=(zcosB+ycosC)-( y+z-2yzcosA) =zcosB+ycosC+2yzcosBcosC- y-z-2yzcos(B+C) =-( ysinC+zsinB-2yzsinBsinC) =-(ysinC-zsinB)0
5、,又此关于x的一元二次不等式的二次项系数为1，故由二次函数性质知，此不等式恒成立，从而原不等式恒成立。4、立几问题例6、已知正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，两相邻侧面所成的角为。求证：（1）cot=cot;（2）tan=csc.思路：由题及图形发现，设高PO 为基本元，则其他相关量可用PO及有关角度表示。证明：（1）如图，作棱锥的高PO，连AC，BD，则PCO为侧棱与底面所成的角，作OEAB，E 为垂足，连PE，易证PEO为侧面与底面所成的二面角的平面角，设PO=1，则OE=PO cot= cot,OC=PO cot= cot,又OC= OE,cot=cot. （2）作O
6、FPC，F 为垂足，连BF,DF，PCOF,又PCBD,PC面BFD，BFD为两相邻侧面所成的二面角的平面角，且OF平分BFD，又RtPOC中，OF为斜边PC上的高。POF=PCO=，于是OF=POcos= cos，BO= PO cot= cot,tan=tanOFB= =csc。5、解几问题。例7、如图，设过原点且与x轴正半轴夹角为定值(0的直线在第一象限的部分为L 。x 轴正半轴上有动点P。P与L上的动点Q组成的OPQ的面积为8，试求线段PQ中点M的轨迹方程。思路：设M（x,y），并以x,y为基本元，用以表示其他辅助元，结合条件求出M的轨迹方程。解：设M（x,y）,P（p,0）。|OQ|=t,则Q的坐标为（tcos,tsin）。依题意如下关系式pt sin=16,x=,y=,在p,t,x,y四个变量中，选取x,y为基本元，用以表示p，t 得p=2x- ,t=,并代入关系式pt sin=16中，从而得出点M的轨迹方程为:xy-ycot-4=0(在第一象限内的部分）。 3
