1、第2课时函数的最大(小)值与导数学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数的最值的概念(难点)2了解函数的最值与极值的区别与联系(易混点)3会用导数求在给定区间上函数的最值(重点)1.通过函数最大(小)值存在性的学习，体现直观想象核心素养2借助函数最值的求解问题，提升数学运算的核心素养.如图为函数yf (x)，xa，b的图象思考：(1)观察区间a，b上函数yf (x)的图象，试找出它的极大值、极小值(2)结合图象判断，函数yf (x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？1函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间a，b上函数yf (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必
2、有最大值与最小值思考：函数的极值与最值的区别是什么？提示函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值当连续函数f (x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f (x)有极大值(或极小值)，则可以判定f (x)在该点处取得最大值(或最小
3、值)，这里(a，b)也可以是无穷区间2求函数f (x)在闭区间a，b上的最值的步骤(1)求函数yf (x)在区间(a，b)上的极值；(2)将函数yf (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f (x)在区间a，b上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得()(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值()(4)若函数yf (x)在区间a，b上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点()提示(1)函数在闭区间a，b
4、上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确(3)因为y最大值y极值，y最小值y极值，故错误(4)正确 答案(1)(2)(3)(4)2函数f (x)在区间2，4上的最小值为()A0BCDCf (x)，当x2，4时，f (x)0，即函数f (x)在区间2，4上是单调递减函数，故当x4时，函数f (x)有最小值.3如图所示，函数f (x)导函数的图象是一条直线，则()A函数f (x)没有最大值也没有最小值B函数f (x)有最大值，没有最小值C函数f (x)没有最大值，有最小值D函数f (x
5、)有最大值也有最小值C由函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值故选C.4函数y3x4x3在区间0，2上的最大值是()A1B2C0D1A设f (x)3x4x3，f (x)12x233(2x1)(12x)x0，2，当x时，f (x)0.又f (0)0，f 1，f (2)26，函数y3x4x3在区间0，2上的最大值是1.5当x0时，1_ln x(填“”“”“”“”)设S(x)1ln x，则S(x).令S(x)0得x1.当x(0，1)时，S(x)0，当x(1，)时，S(x)0，x1时S(x)取的极小值也是最小值S(x)S(1)0，即1ln x0解得x0时，1ln x求函
6、数的最值角度1不含参数的函数最值【例1】求下列各函数的最值(1)f (x)3x39x5，x2，2；(2)f (x)sin 2xx，x.解(1)f (x)9x299(x1)(x1)，令f (x)0得x1或x1.当x变化时，f (x)，f (x)变化状态如下表：x2(2，1)1(1，1)1(1，2)2f (x)00f (x)111111从表中可以看出，当x2时或x1时，函数f (x)取得最小值1.当x1或x2时，函数f (x)取得最大值11.(2)f (x)2cos 2x1，令f (x)0，得cos 2x，又x，2x，2x.x.函数f (x)在上的两个极值分别为f ，f .又f ，f .比较以上函
7、数值可得f (x)max，f (x)min.角度2含参数的函数最值【例2】设函数f (x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f (x)在其定义域上的单调性；(2)当x0，1时，求f (x)取得最大值和最小值时的x的值思路探究(1)求导后，观察的符号讨论单调性(2)根据第(1)问，讨论极值点与区间的关系，从而求出最值，进而求出取最值时x值解(1)f (x)的定义域为R，f (x)1a2x3x2.令f (x)0，得x1，x2，x1x2，所以f (x)3(xx1)(xx2)当xx1或xx2时，f (x)0；当x1xx2时，f (x)0.故f (x)在(，x1)和(x2，)上单调递减，在(x1
8、，x2)上单调递增(2)因为a0，所以x10，x20.当a4时，x21.由(1)知，f (x)在0，1上单调递增，所以f (x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4时，x21.由(1)知，f (x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减，因此f (x)在xx2处取得最大值又f (0)1，f (1)a，所以当0a1时，f (x)在x1处取得最小值；当a1时，f (x)在x0和x1处同时取得最小值；当1a4时，f (x)在x0处取得最小值求函数最值的着眼点(1)从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值
9、和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.(2)单调区间取端点,当图象连续不断的函数f(x)在a，b上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.跟进训练1已知函数f (x)excos xx.(1)求曲线yf (x)在点(0，f (0)处的切线方程；(2)求函数f (x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f (x)excos xx，所以f (x)ex(cos xsin x)1，f (0)0.又因为f (0)1，所以曲线yf (x)在点(0，f (0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin
10、 x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减所以对任意x有h(x)h(0)0，即f (x)0.所以函数f (x)在区间上单调递减因此f (x)在区间上的最大值为f (0)1，最小值为f .用导数证明不等式【例3】当x0时，证明：不等式ln(x1)xx2.思路探究利用导数证明不等式，首先要构造不等式两边式子的差为新函数f (x)ln(x1)xx2.因此要证明原不等式，即证f (x)0在x0时恒成立证明设f (x)ln(x1)xx2，则f (x)1x.当x(1，)时，f (x)0，f (x)在(1，)上是增函数于是当x0时，f (x)f (0)0，当x0时，不等式ln(x1)xx2成立证
11、明不等式f(x)g(x)，x(a，b)的步骤(1)将要证明的不等式f(x)g(x)移项可以转化为证明f(x)g(x)0；(2)构造函数F(x)f(x)g(x)，研究F(x)的单调性；(3)若f(x)g(x)0，说明函数F(x)f(x)g(x)在(a，b)上是增函数.只需保证F(a)0；(4)若f(x)g(x)0，说明函数F(x)f(x)g(x)在(a，b)上是减函数.只需保证F(b)0.跟进训练2证明不等式xsin xtan xx，x.证明令f (x)tan x2xsin x，x，则f (x)(2x)(sin x)2cos x.x，1cos x0，cos xsin2x0，f (x)0，f (x
12、)在上单调递增，f (x)f (0)0，即tan x2xsin x0，即xsin xtan xx.已知函数最值求参数探究问题1函数yf (x)在区间a，b上是连续不断的，那么它的最值一定在端点取得的吗？提示不一定最值一般是在区间的端点和区间内的极值点处取得2对于函数yf (x)，xa，b，若f (x)c或f (x)c恒成立如何处理这种问题？提示转化为函数在a，b上的最值问题，即cf (x)min或cf (x)max.3对于函数yf (x)，xa，b，若存在x0a，b，使得f (x)c或f (x)c成立，则c满足的条件是什么？提示cf (x)max或cf (x)min.【例4】已知函数f (x)
13、ax36ax2b(a0)，x1，2的最大值是3，最小值为29.求a，b的值思路探究 解求导得f (x)3ax212ax3ax(x4)，令f (x)0，得x10，x24(舍去)a0，x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：x1(1，0)0(0，2)2f (x)0f (x)7abb16ab由表可知，当x0时，f (x)取得极大值b，也就是函数在1，2上的最大值，f (0)b3.又f (1)7a3，f (2)16a3f (1)，f (2)16a329，解得a2.故a2，b3.1(变条件)本例中“a0”改为“a0”，求a，b的值解由例题解析知，当af (1)，f (2)16a293，解得a2
14、.故a2，b29.2(变条件，变结论)设函数f (x)tx22t2xt1的最小值为h(t)，且h(t)2tm对t(0，2)恒成立，求实数m的取值范围解f (x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f (x)取最小值f (t)t3t1，即h(t)t3t1.令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0，1)1(1，2)g(t)0g(t)极大值1mg(t)在(0，2)内有最大值g(1)1m.h(t)2tm在(0，2)内恒成立等价于g(t)0在(0，2)内恒成立，即等价于1m0.m的取值范
15、围为(1，)由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆向运用，这类问题的解题步骤是：(1)求导数f(x)，并求极值；(2)利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论；(3)利用最值列关于参数的方程(组)，解方程(组)即可.1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值2解析式中含参数的最值问题应分析参数对函数单调性的影响，然后分类讨论确定函数的最值3不等式恒成立问题常见的转化策略(1)af (x)恒成立af (x)max，af (x)恒成立
16、af (x)min.(2)f (x)g(x)k恒成立kf (x)g(x)min.(3)f (x)g(x)恒成立f (x)ming(x)max.1函数y的最大值为()Ae1 BeCe2D10A令y0xe.当xe时，y0；当0xe时，y0，所以y极大值e1，因为在定义域内只有一个极值，所以ymaxe1.2若函数f (x)x3x2x2m在区间0，2上的最大值是4，则m的值为()A3B1C2D1Bf (x)3x22x1，令f (x)0，解得x(舍去)或x1.又f (0)2m，f (1)2m1，f (2)2m2，则f (2)最大，所以2m24，所以m1.故选B.3设函数f (x)x32x5，若对任意x1，2，都有f (x)m，则实数m的取值范围是_f (x)3x2x20，x1或x.f (1)，f ，f (1)，f (2)7，m.4已知a是实数，函数f (x)x2(xa)，求f (x)在区间0，2上的最大值解f (x)3x22ax.令f (x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f (x)在0，2上单调递增，从而f (x)maxf (2)84a.当2，即a3时，f (x)在0，2上单调递减，从而f (x)maxf (0)0.当02，即0a3时，f (x)在上单调递减，在上单调递增，从而f (x)max综上所述，f (x)max
