1、精品题库试题 理数1. (2014广东,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定 1.D 1.由l1l2,l2l3可知l1与l3的位置不确定,若l1l3,则结合l3l4,得l1l4,所以排除选项B、C,若l1l3,则结合l3l4,知l1与l4可能不垂直,所以排除选项A.故选D.2.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，2）已知条件：是两条直线的夹角，条件：是第一象限的角。则“条件” 是“条件” 的（ ）（A）充分而不必要条件 （B
2、）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 2.D 2. 当是两条直线的夹角时, 可得, 不一定是第一象限角, 故“条件” 是“条件” 的不充分条件; 显然“条件” 是“条件” 的不必要条件, 故选D.3. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，7) 原点在直线上的射影为点, 则直线的方程是（ ）A. B. C. x2y4=0D. 3. D 3. 依题意，直线的斜率为，所以直线的方程为，即4. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，9) 在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点，一分钟后，其位置在点，且，再过两分钟后，该物体位于点，且，则的值为
3、（ ）A. B. C. D. 4. B 4. 如图，由题意知，直线的方程为：，. 设直线直线的方程为：解方程组可得：. 由得. 选B.5.(2014周宁、政和一中第四次联考，4) 已知直线, 互相平行，则的值是( )ABC 或D 或 5. A 5. 要直线，则，解得或，当时，与重合，舍去，故.6.（2013大纲，8,5分）椭圆C: +=1的左、右顶点分别为A1、A2, 点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是, 那么直线PA1斜率的取值范围是()A. B. C. D. 6.B 6.设P(x0, y0), 则有+=1, 即4-=, 由题知A1(-2,0), A2(2,0), 设直线PA1的斜率为k
4、1, 直线PA2的斜率为k2, 则k1=, k2=,所以k1k2=, 由得k1k2=-, 因为k2,所以k1的取值范围为, 故选B.7.（2013四川，6,5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是()A. B. C. 1D. 7.B 7.由抛物线y2=4x, 有2p=4p=2, 焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=x, 不妨取其中一条x-y=0, 由点到直线的距离公式, 有d=. 故选B.8.（2013福建，3,5分）双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于()A. B. C. D. 8.C 8.双曲线-y2=1的顶点为(2,0), 渐近线为x2y=0, 故顶
5、点到渐近线的距离d=, 选C.9.（2013江西，9,5分）过点(, 0) 引直线l与曲线y=相交于A, B两点, O为坐标原点, 当AOB的面积取最大值时, 直线l的斜率等于()A. B. -C. D. - 9.B 9.如图, 设直线AB的方程为x=my+(显然m 0, 所以m2 1,由根与系数的关系得y1+y2=-, y1y2=,SAOB=SPOB-SPOA=|OP|y2-y1|=.令t=1+m2(t 2),SAOB=,当=, 即t=4, m=-时, AOB的面积取得最大值, 此时, 直线l的斜率为-, 故选B.10.(2013湖南，8,5分) 在等腰直角三角形ABC中, AB=AC=4,
6、 点P是边AB上异于A, B的一点. 光线从点P出发, 经BC, CA反射后又回到点P(如图). 若光线QR经过ABC的重心, 则AP等于()A. 2B. 1C. D. 10.D 10.以AB为x轴, AC为y轴建立如图所示的坐标系, 由题可知B(4,0), C(0,4), A(0,0), 则直线BC方程为x+y-4=0,设P(t, 0) (0 t 4), 由对称知识可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4,4-t), 点P关于y轴的对称点P2的坐标为(-t, 0), 根据反射定理可知P1P2就是光线RQ所在直线. 由P1、P2两点坐标可得直线P1P2的方程为y=(x+t), 设ABC的重
7、心为G, 易知G. 因为重心G在光线RQ上, 所以有=, 即3t2-4t=0.所以t=0或t=, 因为0 t 4, 所以t=, 即AP=, 故选D.11.（2013安徽，8,5分）函数y=f(x) 的图象如图所示, 在区间上可找到n(n2) 个不同的数x1, x2, , xn, 使得=, 则n的取值范围是()A. 3,4B. 2,3, 4C. 3,4, 5D. 2,3 11.B 11.=, 即y=f(x) 的图象与y=kx的交点的坐标满足上述等式. 又交点至少要有两个, 至多有四个, 故n可取2,3, 4.12. (2014大纲全国,15,5分)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l
8、1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于_. 12. 12.依题意设过点(1,3)且与圆x2+y2=2相切的直线方程为y-3=k(x-1),即kx-y-k+3=0.由直线与圆相切得=,即k2+6k-7=0.解得k1=-7,k2=1,设切线l1,l2的倾斜角分别为1,2,不妨设tan 1 b 0) 经过点P, 离心率e=, 直线l的方程为x=4.(1) 求椭圆C的方程;(2) AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P), 设直线AB与直线l相交于点M, 记PA, PB, PM的斜率分别为k1, k2, k3. 问: 是否存在常数, 使得k1+k2=k3? 若存在, 求的值; 若不
9、存在, 说明理由. 17.(1) 由P在椭圆上得, +=1, 依题设知a=2c, 则b2=3c2, 代入, 解得c2=1, a2=4, b2=3.故椭圆C的方程为+=1.(2) 解法一: 由题意可设AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-1), 代入椭圆方程3x2+4y2=12, 并整理, 得(4k2+3) x2-8k2x+4(k2-3) =0.设A(x1, y1), B(x2, y2), 则有x1+x2=, x1x2=, 在方程中令x=4, 得M的坐标为(4,3k).从而k1=, k2=, k3=k-.注意到A, F, B共线, 则有k=kAF=kBF, 即有=k.所以k1+k2=+=
10、+-=2k-, 代入得k1+k2=2k-=2k-1,又k3=k-, 所以k1+k2=2k3. 故存在常数=2符合题意.解法二: 设B(x0, y0) (x01),则直线FB的方程为y=(x-1),令x=4, 求得M,从而直线PM的斜率为k3=,联立得A,则直线PA的斜率为k1=, 直线PB的斜率为k2=,所以k1+k2=+=2k3,故存在常数=2符合题意.17.18.（2013陕西，20,13分）已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得弦MN的长为8.() 求动圆圆心的轨迹C的方程;() 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是PBQ的角平分
11、线, 证明直线l过定点. 18.() 如图, 设动圆圆心O1(x, y), 由题意, |O1A|=|O1M|, 当O1不在y轴上时, 过O1作O1HMN交MN于H, 则H是MN的中点,|O1M|=, 又|O1A|=,=,化简得y2=8x(x0).又当O1在y轴上时, O1与O重合, 点O1的坐标(0,0) 也满足方程y2=8x,动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.() 由题意, 设直线l的方程为y=kx+b(k0), P(x1, y1), Q(x2, y2),将y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8) x+b2=0.其中=-32kb+64 0.由求根公式得, x1+x2=, x
12、1x2=, 因为x轴是PBQ的角平分线, 所以=-,即y1(x2+1) +y2(x1+1) =0,(kx1+b) (x2+1) +(kx2+b) (x1+1) =0,2kx1x2+(b+k) (x1+x2) +2b=0, 将, 代入得2kb2+(k+b) (8-2bk) +2k2b=0,k=-b, 此时 0,直线l的方程为y=k(x-1),即直线l过定点(1,0).18.19.（2013浙江，21,15分）如图, 点P(0, -1) 是椭圆C1: +=1(a b 0) 的一个顶点, C1的长轴是圆C2: x2+y2=4的直径. l1, l2是过点P且互相垂直的两条直线, 其中l1交圆C2于A,
13、 B两点, l2交椭圆C1于另一点D.() 求椭圆C1的方程;() 求ABD面积取最大值时直线l1的方程. 19.() 由题意得所以椭圆C的方程为+y2=1.() 设A(x1, y1), B(x2, y2), D(x0, y0). 由题意知直线l1的斜率存在, 不妨设其为k, 则直线l1的方程为y=kx-1.又圆C2: x2+y2=4, 故点O到直线l1的距离d=,所以|AB|=2=2.又l2l1, 故直线l2的方程为x+ky+k=0.由消去y, 整理得(4+k2) x2+8kx=0,故x0=-.所以|PD|=.设ABD的面积为S, 则S=|AB|PD|=,所以S=, 当且仅当k=时取等号.所以所求直线l1的方程为y=x-1.19.
