1、破解解析几何中重、难点策略授课提示：对应学生用书第200页（一）图形对称性问题近几年高考和模考中的圆锥曲线综合题中，出现了不少关于轴对称、中心对称、平行、垂直、中垂线、弦的中点、特殊几何图形或特殊几何图形内接于圆锥曲线等问题，用解析几何呈现出来的形式往往是角相等或互补、斜率相等或互为相反数、过定点或为定值等，这种题型能有效考查考生的直观想象、数学运算和逻辑推理等核心素养例1（2021安庆模考）经过点的椭圆C：1（ab0）的右顶点为A，上顶点为B，且直线AB的斜率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设不垂直于x轴的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，点N（4，0）若P，Q，N三点不共
2、线，且ONPONQ证明：动直线l经过定点解析（1）因为A（a，0），B（0，b），所以，即a2b因为点在椭圆上，所以1，即1，解得b21，a24故椭圆C的标准方程是y21（2）证明：设直线l的方程为ykxm（k0），与C的方程联立得消去y得，（14k2）x28kmx4m240，（8km）24（14k2）（4m24）16（4k2m21）0设P（x1，kx1m），Q（x2，kx2m），则x1x2，x1x2kPNkQN由ONPONQ知，kPNkQN0，所以2kx1x2（4km）（x1x2）8m2k（4km）8m8m0，得mk，满足0故动直线l的方程为ykxk，过定点（1，0）本题中，由kPNkQN0
3、构建方程找到m，k的关系是解题的关键设直线l的方程和点P，Q的坐标，将直线方程与椭圆方程联立消元，利用根与系数的关系建立方程与不等式是解题的难点例2已知动圆过定点M（0，4），且截x轴所得的弦AB的长为8（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）过轨迹C上一个定点P（m，n）（m0）引它的两条弦PS，PT，直线PS，PT的斜率存在且倾斜角互为补角证明：直线ST的斜率为定值解析（1）设动圆圆心C的坐标为（x，y），则（x0）2（y4）242y2，整理得x28y故所求动圆圆心的轨迹C的方程为x28y（2）证明：设S（x1，y1），T（x2，y2），则有x8y1，x8y2，m28n因为直线PS，PT的斜
4、率存在且倾斜角互为补角，所以kPSkPT0，即0，所以x1x22m故直线ST的斜率k，为定值本题中，将倾斜角互为补角这一条件转化为kPSkPT0，建立方程得到x1，x2，m之间的关系是解题的关键对点训练已知定圆A：（x）2y216，动圆M过点B（，0），且和圆A相切（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；（2）直线l：ykxm（k0）与轨迹E交于C，D两点，点P（0，1），且|PC|PD|，求实数m的取值范围解析：（1）圆A的圆心为（，0），半径r14设动圆M的半径为r2，依题意有r2|MB|由|AB|22所以动点M的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为y21（2）设C（x1，y1），
5、D（x2，y2），联立l与E的方程得消去y得（14k2）x28kmx4m240，由64k2m216（m21）（14k2）0得14k2m2，则x1x2，y1y2k（x1x2）2m，弦CD的中点N易知PNCD，所以直线PN的方程是yx1因为点N在此直线上，所以1，整理得3m14k2，代入14k2m2，得m23m0，解得0m1，m故实数m的取值范围是（二）解析几何减少运算量的常见技巧技巧1巧用几何性质减少运算量例3已知O为坐标原点，F是椭圆C：1（ab0）的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率
6、为（）ABC D 解析设OE的中点为N，如图，因为MFOE，所以有，又因为OE2ON，所以有，解得e 答案A此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化计算技巧2设而不求整体代换例4已知椭圆E：1（ab0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为M（1，1），则E的标准方程为（）A1 B1C1 D1解析设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x22，y1y22，得0，所以kAB又kAB，所以又9c2a2b2，解得b29，a218，所以椭圆E的标准方程为1答案D本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，
7、通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题技巧3巧妙“换元”整体减少运算量例5已知椭圆E：1（ab0）的焦距为2c，且bc，圆O：x2y2r2（r0）与x轴交于点M，N，P为椭圆E上的动点，|PM|PN|2a，PMN面积的最大值为（1）求圆O与椭圆E的方程；（2）圆O的切线l交椭圆E于点A，B，求|AB|的取值范围解析（1）因为bc，所以a2c因为|PM|PN|2a，所以点M，N为椭圆的焦点，所以r2c2a2设P（x0，y0），则by0b，所以SPMNr|y0|a|y0|，当|y0|b时，（SPMN）maxab，所以c1，b，a2所以圆O的方程为x2y21，椭圆E的方
8、程为1（2）当直线l的斜率不存在时，不妨取直线l的方程为x1，则可取A，B，|AB|3当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，A（x1，kx1m），B（x2，kx2m）因为直线l与圆O相切，所以1，即m21k2联立得消去y可得（4k23）x28kmx4m2120，64k2m24（4k23）（4m212）48（4k23m2）48（3k22）0，x1x2，x1x2|AB|4令t，则0t，所以|AB| ，0t，所以|AB|，所以30）的焦点到直线l：yx的距离为（1）求抛物线C的方程；（2）如图，若N，直线l与抛物线C相交于A，B两点，与直线l相交于点M，且|AM|MB|，求ABN面积的取值
9、范围解析：（1）易知抛物线C：x22py（p0）的焦点坐标为，则由题意得，解得p，所以抛物线C的方程为x2y（2）由题意可设M（m，m）（m0），直线l：ymk（xm）（k1），将直线l的方程代入抛物线的方程x2y，消去y，得x2kxkmm0因为直线l与抛物线C相交于A，B两点，所以k24（kmm）k24km4m0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2k，又x1x22m，所以k2m，代入k24km4m0，解得0m1又k1，所以m，故0m或m1故直线l的方程为y2mx2m2m，x1x22m，x1x22m2m故点N到直线AB的距离d，|AB|x1x2|2，SABN|AB|d2|mm2|令t，则SABN2t3因为0m或m1，所以0t，所以2t3，即SABN所以ABN面积的取值范围为
