1、第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节的重点是三角函数的定义，多以选择题和填空题为主本节通过三角函数的概念考查学生的数学抽象及数学运算核心素养授课提示：对应学生用书第60页知识点一角的概念与弧度制1角的概念及推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad(2)公式角的弧度数公式|(l表示弧长)角度与弧度的换算1 rad
2、；1 rad弧长公式l|r扇形面积公式Slr|r2 温馨提醒 1，终边相同2k，kZ2，终边关于x轴对称2k，kZ3，终边关于y轴对称2k，kZ4，终边关于原点对称2k，kZ1下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk(kZ)解析：与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确答案：C2单位圆中，200的圆心角所对的弧长为()A10B9C D解析：200，单位圆中，200的圆心角所对的弧长为l1答案：D3角225_弧度，这个角在第_象限答案：二知识点二任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一
3、个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 续表三角函数正弦余弦正切各象限符号一二三四三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线 温馨提醒 二级结论1三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦2若，则tan sin 必明易错已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin y，cos x，tan ，当不是单位圆上的点时，若圆的半径为r，则sin ，cos ，tan 1(易错题)若点在角的终边上，则
4、sin 的值为()ABCD解析：角的终边上一点的坐标为，即，由任意角的三角函数的定义，可得sin 答案：A2(2021济南模拟)已知角的终边与单位圆交于点，则tan ()A B C D解析：根据三角函数的定义，tan 答案：D3(2021青岛质检)设角的终边经过点P(4，3)，那么2cos sin _解析：由已知并结合三角函数的定义，得sin ，cos ，所以2cos sin 2答案：授课提示：对应学生用书第61页题型一象限角与终边相同的角1（2020高考全国卷）若为第四象限角，则（）Acos 20Bcos 20Csin 20 Dsin 20解析：是第四象限角，sin 0，cos 0，sin
5、22sin cos 0答案：D2集合中角表示的范围（阴影部分）是（）解析：由集合当k为偶数时，集合与表示相同的角；当k为奇数时，集合与表示相同的角；所以集合中表示的角的范围为选项C答案：C3若角和的终边关于y轴对称，则必有（）AB，kZC2k，kZ D（2k1），kZ解析：如图所示，设0，0分别是和角，终边相同的角，则由角和的终边关于y轴对称，可得，由终边相同的角可得（2k1），kZ答案：D4（2021绵阳质检）点A（sin 2 019，cos 2 019）在直角坐标平面上位于（）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：sin 2 019sin 219sin 390，cos 2 01
6、9cos 219cos 390选C答案：C1象限角的两种判断方法（1）图像法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角（2）转化法：先将已知角化为k360（0360，kZ）的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角2求或n（nN）所在象限的方法（1）将的范围用不等式（含有k，且kZ）表示（2）两边同除以n或乘以n（3）对k进行讨论，得到或n（nN）所在的象限题型二扇形的弧长及面积公式的应用1已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（）A2Bsin 2C D2sin 1解析：如图，AOB2弧度，过O点作OC
7、AB于点C，并延长OC交于D则AODBOD1弧度，且ACAB1，在RtAOC中，AO，即r，从而的长为lr答案：C2（2021乐山模拟）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦矢矢2），弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径长为4的弧田（如图所示），按照上述公式计算出弧田的面积为_解析：由题意可得AOB，OA4在RtAOD中，易得AOD，DAO，ODOA42，可得矢422由ADAOsin42，可得弦AB2AD4所以弧田面积（弦矢矢2）（4222）42答案：423如果一个圆
8、的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的倍解析：设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则弧度数变为3，即弧度数变为原来的3倍答案：3弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略（1）明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时要注意角的单位必须是弧度（2）分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程（组）求解题型三三角函数的定义例（1）若sin tan 0，且0，则角是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角（2）已知角的终边上一点P（，m）（m0），
9、且sin ，求cos ，tan 的值解析（1）由sin tan 0可知sin ，tan 异号，从而为第二或第三象限的角，由0，可知cos ，tan 异号从而为第三或第四象限角综上，为第三象限角（2）设P（x，y）由题设知x，ym，所以r2|OP|2（）2m2（O为原点），r，所以sin ，所以r2，3m28，解得m当m时，r2，x，y，所以cos ，tan ；当m时，r2，x，y，所以cos ，tan 答案（1）C（2）见解析1已知角的某三角函数值，可求角终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值2已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上某特定
10、点的坐标题组突破1已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2（）ABC D解析：设P（t，2t）（t0）为角终边上任意一点，则cos 当t0时，cos ；当t0时，cos 因此cos 22cos211答案：B2sin 2cos 3tan 4的值（）A小于0 B大于0C等于0 D不存在解析：（1）因为2340，cos 30所以sin 2cos 3tan 40，所以选A答案：A三角函数定义中的核心素养数学抽象三角函数定义的创新应用问题例如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，），角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大
11、致为（）解析因为P0（，），所以P0Ox因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t后，得POP0t，所以POxt由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，因此d2令t0，则d2，当t时，d0答案C解决此类问题的关键是抓住三角函数定义，在确定旋转角后，利用定义写出点的坐标值对点训练如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为_解析：如图，作CQx轴，PQCQ，Q为垂足根据题意得劣弧2，故DCP2，则在PCQ中，PCQ2，|CQ|cossin 2，|PQ|sincos 2，所以P点的横坐标为2|CQ|2sin 2，P点的纵坐标为1|PQ|1cos 2，所以P点的坐标为（2sin 2，1cos 2），故（2sin 2，1cos 2）答案：（2sin 2，1cos 2）