1、解析几何中的范围与最值问题例1已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.(例1)(1) 求椭圆C的方程;(2) 求ABP面积取最大值时直线l的方程.【分析】(1) 题目中给出了椭圆离心率和左焦点到点P(2,1)的距离为,列出两个方程,解方程组确定椭圆方程中的a,b,写出椭圆方程.(2) 利用OP平分AB确定直线的斜率和纵截距之间的关系,使用参数表示ABP的面积,确定这个面积取得最大值的条件,从而得到所求的直线方程.【解答】(1) 设椭圆左焦点为F(-c,0),则由题意得解得由a2=b2+c2,
2、得b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(例1)(2) 设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时,若OP平分线段AB,则直线AB的方程为x=0,与不过原点的条件不符,舍去.故斜率存在,可设直线AB的方程为y=kx+m(m0),由消去y,整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,其中=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)0,且所以线段AB的中点M.因为点M在直线OP上,所以2=.由m0,得k=-.此时方程为3x2-3mx+m2-3=0,则=3(12-m2)0,所以AB=|x1-x2|=.设点P到直线AB的距离为d,则d=.设ABP的面积
3、为S,则S=ABd=.其中m(-2,0)(0,2).令u(m)=(12-m2)(m-4)2,m-2,2.u(m)=-4(m-4)(m2-2m-6)=-4(m-4)(m-1-)(m-1+).所以当且仅当m=1-时,u(m)取到最大值.综上,所求直线l的方程为3x+2y+2-2=0.【点评】1. 本题的入手很容易,但第二问中的最值问题就显得很困难,其一是必须确定直线方程中的斜率和截距之间的关系,其二是建立起面积函数后求解其在什么情况下达到最大值,其中使用了导数的方法.2. 解决圆锥曲线中的最值问题基本思想是建立目标函数,根据目标函数,利用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式求出最值.变式(20
4、14苏中三市、连云港二调)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(ab0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时,AB+CD=7.(变式)(1) 求椭圆的方程;(2) 求AB+CD的取值范围.【解答】(1) 由题意知,e=,CD=7-2a,所以a2=4c2,b2=3c2.因为点在椭圆上,即+=1,所以c=1.所以椭圆的方程为+=1.(2) 当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,由题意知AB+CD=7; 当两弦斜率均存在且不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),且设直线AB的方程为y=k(x-1),则直线CD的方程为y=-(x-1).
5、将直线AB的方程代入椭圆方程中,并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,所以x1=,x2=,所以AB=|x1-x2|=.同理,CD=.所以AB+CD=+=,令t=k2+1,则t1,3+4k2=4t-1,3k2+4=3t+1,设f(t)=-+12=-+,因为t1,所以(0,1),所以f(t),所以AB+CD=.综合与可知,AB+CD的取值范围是.解析几何中的定点问题例2(2014淮安、宿迁摸底)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(ab0)与直线l:x=m(mR),四点(3,1),(3,-1),(-2,0),(,)中有三个点在椭圆C上,剩余一个点在直线l上.(1) 求椭圆
6、C的方程;(2) 若动点P在直线l上,过点P作直线交椭圆C于M,N两点,使得PM=PN,再过点P作直线lMN.求证:直线l恒过定点,并求出该定点的坐标.【分析】因为两点即可确定椭圆方程,所以第(1)小问中需要对所给四个点进行讨论,再用适合要求的两点求椭圆方程.第(2)小问需要先求出直线方程,再证明其过定点.【解答】(1) 由题意有3个点在椭圆C上.根据椭圆的对称性,则点(3,1),(3,-1)一定在椭圆C上,即+=1.若点(-2,0)在椭圆C上,则点(-2,0)必为椭圆C的左顶点,而32,则点(-2,0)一定不在椭圆C上,故点(,)在椭圆C上,点(-2,0)在直线l上,所以+=1.联立可解得a
7、2=12,b2=4.所以椭圆C的方程为+=1.(2) 由(1)可得直线l的方程为x=-2,设P(-2,y0),y0.当y00时,设M(x1,y1),N(x2,y2),显然x1x2.联立则+=0,即=-.又PM=PN,即P为线段MN的中点,故直线MN的斜率为-=.又lMN,所以直线l的方程为y-y0=-(x+2),即y=-,显然l恒过定点.当y0=0时,直线MN即x=-2,此时l为x轴,亦过点.综上所述,直线l恒过定点.【点评】椭圆背景下的直线过定点和圆背景下的直线过定点的处理方法类似,一是求出直线方程,根据直线方程求出定点;二是求出构成直线两点的坐标,再用三点共线论证.其中,如果可以用特殊化或
8、对称性得出定点坐标或所在位置,再论证其一般性,这样的方法计算较为简单.解析几何中的定值问题例3在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F与F,圆F:(x-)2+y2=5.(例3)(1) 设M为圆F上一点,满足=1,求点M的坐标;(2) 若P为椭圆上任意一点,以P为圆心、OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT,求证:点F到直线QT的距离FH为定值.【分析】第(1)小问根据向量数量积和点M在圆上两个条件,即可求出点M坐标.第(2)小问设出点P的坐标,用其坐标去表示直线OT,再用点到直线的距离公式计算FH,化简后得出定值.【解答】(1) F(-,0),F(,0),设M(m,n),
9、由=1,得(m+)(m-)+n2=1.即m2+n2=4.又(m-)2+n2=5.由,得m=,n=.所以M或M.(2) 设P(x0,y0),则圆P的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=+.即x2+y2-2x0x-2y0y=0.又圆F的方程为(x-)2+y2=5.由得直线QT的方程为(x0-)x+y0y-1=0.所以FH=.因为P(x0,y0)在椭圆上,所以+=1,即=1-,所以FH=2.【点评】定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系、长度、面积等,这些直线方程、数量积、比例关系、长度、面积不受变化的量所影响的一个值,就是要求的定值.
10、这里对含有多个字母的等式化简要求较高,需要多训练.变式(2014苏州调研)已知椭圆+=1(ab0)的长轴两端点分别为A,B,P(x0,y0)(y00)是椭圆上的动点,以AB为一边在x轴下方作矩形ABCD,使AD=kb(k0),PD交AB于点E,PC交AB于点F.(1) 如图1,若k=1,且P为椭圆上顶点时,PCD的面积为12,点O到直线PD的距离为,求椭圆的方程;(2) 如图2,若k=2,试证明:AE,EF,FB成等比数列.图1图2(变式)【解答】(1) 如图1,当k=1时,直线CD过点(0,-b),CD=2a.因为PCD的面积为12,所以2a2b=12,即ab=6.此时点D(-a,-b),所
11、以直线PD的方程为2bx-ay+ab=0.所以点O到直线PD的距离d=.由解得a=3,b=2.所以所求椭圆的方程为+=1.(2) 如图2,当k=2时,C(a,-2b),D(-a,-2b),设E(x1,0),F(x2,0),由D,E,P三点共线,及=(x1+a,2b),=(x0+a,y0+2b),得(x1+a)(y0+2b)=2b(x0+a),所以x1+a=,即AE=.由C,F,P三点共线,及=(x2-a,2b),=(x0-a,y0+2b),得(x2-a)(y0+2b)=2b(x0-a),所以a-x2=,即FB=.又+=1,所以AEFB=.而EF=2a-AE-FB=2a-=2a-=.所以EF2=AEFB,即AE,EF,FB成等比数列.
