1、6.3平面向量线性运算的应用学 习 任 务核 心 素 养(教师独具)1会用向量法计算或证明平面几何中的相关问题(重点)2会用向量法解决某些简单的物理学中的问题(难点)1通过向量在几何中应用的学习，培养数学运算及数学建模核心素养2通过向量在物理中的应用，培养数学建模的核心素养.如图所示，在细绳l上作用着一个大小为200 N，与水平方向的夹角为45的力，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行问题：(1)水平方向OA上的拉力多大？(2)物重G是多少？提示(1)200cos 45100(N)，方向向右(2)200sin 45100(N)知识点1向量在平面几何中的应用(1)证明线线平行问题，包括
2、相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：ab(a0)bax1y2x2y1a(x1，y1)，b(x2，y2)(2)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|.(3)要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数0，使，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数，(其中1)，使.1若|且，则四边形ABCD的形状为()A平行四边形B矩形C菱形D等腰梯形C由可知，四边形ABCD为平行四边形又因为|，所以四边形ABCD为菱形知识点2向量在物理中的应用(1)力向量力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算(2)速度向
3、量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示(3)将物理量转化为向量之后，可以按照向量的运算法则进行计算2.已知三个力f1(2，1)，f2(3,2)，f3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4()A(1，2)B(1，2)C(1,2)D(1,2)D由物理知识知f1f2f3f40，故f4(f1f2f3)(1,2)3.一条河的宽度为d，水流的速度为v2，一船从岸边A处出发，垂直于河岸线航行到河的正对岸的B处，船在静水中的速度是v1，则在航行过程中，船的实际速度的大小为()A|v1|BCD|v1|v2|C画出船过河的简图(图略)可知，实际
4、速度是v1与v2的和，由勾股定理知选C 类型1用向量解决平面几何问题【例1】如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，连接BE，BF，分别交AC于R，T两点求证：ARRTTC思路探究由于R，T是对角线AC上的两点，要证ARRTTC，只要证AR, RT，TC都等于AC即可证明设a，b，r，t，则ab.由于与共线，所以可设rn(ab)因为ab，与共线，所以可设mm.因为，所以rbm，所以n(ab)bm，即(nm)ab0.由于向量a，b不共线，要使上式成立，则有解得所以.同理.所以ARRTTC利用向量线性运算解决几何问题的思路是怎样的？提示(1)把几何元素化为向量；(2)进行向量的
5、线性运算；(3)把结果翻译成几何问题1在ABC所在的平面内有一点P，满足，则PBC与ABC的面积之比是()ABCDC由，得0，即2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示故. 类型2用向量坐标解决平面几何问题【例2】如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明：PAEF.证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a)，设|(0)，则F，P，E.所以，因为|22aa2，|22aa2，所以|，即PAEF.平面向量在坐标表示下的应用利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适
6、当的坐标系2如图，已知直角梯形ABCD中，ADAB，AB2AD2CD，过点C作CEAB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DEBC；(2)D，M，B三点共线证明以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图令|1，则|1，|2.CEAB，ADDC，四边形AECD为正方形可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(1,1)，A(1,0)(1)(1,1)(0,0)(1,1)，(0,1)(1,0)(1,1)，即DEBC(2)连接MB，MD，M为EC的中点，M，(1,1)，(1,0).，.又与有公共点M，D，M，B三点共线 类型3向量在物理
7、中的应用【例3】一条河的两岸平行，河的宽度为d500 m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为|v1|10 km/h，水流速度为|v2|4 km/h.(1)试求v1与v2的夹角(精确到1)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)；(2)要使船到达对岸所用时间最少，v1与v2的夹角应为多少？解(1)依题意，要使船垂直到达对岸，就要使v1与v2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以|v|9.2(km/h)，v1与v的夹角满足sin 0.4，24，故v1与v2的夹角114，船垂直到达对岸所用的时间t0.054 3(h)3.3(min)(2)设v1与v2的夹角为(如图)，v1与v
8、2在竖直方向上的分速度的和为|v1|sin ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d0.5 km，从而所用的时间t3(min)，显然，当90时，t最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，所以要使船到达对岸所用时间最少，v1与v2的夹角为90.将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型的研究，应用向量知识解释相关物理现象.3用两条成120角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为_ N.10如图，由题意，并且ABC120，则以两根绳子AB，BC为邻边构成菱形ABCD，|10 N，每根绳子的拉力大小为10 N1已知四边形ABCD各顶点坐标是A，B
9、，C，D，则四边形ABCD是()A梯形B平行四边形C矩形D菱形A，(3,4)，即ABDC又|，|5，|，四边形ABCD是梯形2已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且c1a2b，则1，2的值分别为()A2，1B1，2C2，1D1，2Dc1a2b，(3,4)1(1,2)2(2,3)(122,2132)，解得11，22.3若向量(1,1)，(3，2)分别表示两个力F1，F2，则|F1F2|为()A(5,0)B(5,0)CDC因为(1,1)，(3，2)，所以|F1F2|.4若1(2,2)，2(2,3)分别表示力F1，F2，则|F1F2|为_5F1F2(2,2)(2,3)(0,5)，则|F
10、1F2|5.5.如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若a，b，则等于_(用a，b表示)ab由题知，则DFAB，所以ab.回顾本节内容，自我完成以下问题：1学习本节课，需要掌握的规律方法是什么？提示(1)利用向量关系证明共线问题(2)把物理问题转化成数学模型，再应用向量方法使问题得到解决2本节课的易错点是什么？提示本节课的易错点是如何把实际问题转化为数学问题，通过建立数学模型解决实际问题(教师独具)平面向量线性运算的实例探究2019青少年OP帆船国际城市联赛暨摩纳哥OP级帆船赛中国赛在三亚鸿洲国际游艇港正式开幕，来自厦门、福州、
11、深圳、广州、苏州、南通、海口、琼海、三亚等地约50位分站赛脱颖而出的小选手将在三亚总决赛中争夺前往摩纳哥的入场劵OP帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动比赛，如果某帆船所受的风力方向为北偏东30，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.(1)若不考虑其他因素，求该帆船的速度大小；(2)求该帆船的方向；(3)某地南北两岸平行，一艘帆船从南岸码头A出发航行到北岸，假设帆船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|10 km/h，水流的速度v2的大小为|v2|4 km/h.设v1和v2的夹角为(0180)，北岸的点A在A的正北方向，帆船正好到达A处时，求cos 的值提示(1)建立如图所示的平面直角坐标系，设帆船行驶的速度为v，风力速度为v1，水流速度为v2，则vv1v2，由题意可得向量v1(20cos 60，20sin 60)(10,10)，向量v2(20,0)，则帆船行驶的速度vv1v2(10，10)(20,0)(30,10)，|v|20.该帆船的速度大小为20 km/h.(2)tan ，且为锐角，30.帆船的方向为北偏东60.(3)设船的实际速度为v，船在静水中的速度v1与河道南岸上游的夹角为，如图所示，要使帆船正好到达A的位置，则|v1|cos |v2|，即cos ，又，所以cos cos()cos .
