1、广西来宾市金秀瑶族自治县民族高中2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合，则（ ）A. 或B. 或C. 或，D. 或，【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合，再根据集合的交集运算可得答案.【详解】或，又利用数轴表示集合：所以或.故选：A.2. 在等差数列中，则的前5项和为（ ）A. 6B. 16C. 10D. 32【答案】C【解析】【分析】先利用等差数列的性质计算，再利用求和公式计算前5项和即可.【详解】等差数列中，故，故.故选：C.3. 在中，角所对的
2、边分若，则（ ）A. - B. C. -1D. 1【答案】D【解析】试题分析：由得考点：正弦定理及同角间的三角函数关系点评：正弦定理可实现三角形边与角的互相转化，同角间三角函数关系4. 已知等差数列的公差为2，若，成等比数列，则（ ）A. -4B. -6C. -8D. -10【答案】B【解析】【分析】把，用和公差2表示，根据，成等比数列，得到解得.【详解】解：因为等差数列的公差为2，若，成等比数列，即解得故选：【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，与等比中项的性质，属于基础题.5. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】
3、直接通过余弦定理求解即可.【详解】因为，所以，即，故选：D.6. 方程x28x10两个根的等差中项为()A. B. 4C. D. 8【答案】B【解析】【分析】利用韦达定理和等差数列的性质能求出【详解】在等差数列an中，方程x28x+1=0的两根之和为8，由等差数列的性质得等差中项为4故选B【点睛】本题考查等差数列的等差中项和韦达定理的应用.7. 若ab0，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，根据不等式的性质，以及基本不等式，即可得到结果【详解】因为 所以，；由基本不等式可得； 所以.故选：B【点睛】本题主要考查了不等式的性质和基本不等式的应用，属于基
4、础题.8. 等比数列的前项和为，且、成等差数列，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】设等比数列的公比为，根据题意得出关于的二次方程，求出的值，然后利用等比数列求和公式可求出的值.【详解】设等比数列的公比为，由于、成等差数列，且，即，即，解得，因此，.故选：C.【点睛】本题考查等比数列求和，解题的关键就是计算出等比数列的首项和公比，考查计算能力，属于基础题.9. 在中，角，所对的边分别为，若，则为（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】【分析】由已知条件，根据正弦定理，先得到，再由两角和的正弦公式，得出，进而可判断出结果.【
5、详解】由正弦定理可得，整理可得，所以故因为，所以，即为钝角，则为钝角三角形.故选：A.【点睛】本题主要考查利用正弦定理及两角和的正弦公式判断三角形的形状，属于基础试题.10. 在数列中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由递推公式求出数列的前几项，得到周期是3，再根据周期性计算即得结果.【详解】，故时，；时，；时，；所以数列的周期是3，故.故选：B.11. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a4，则该三角形面积的最大值是A. B. C. D. 【答案】C【解析】，得，所以，得，所以，故选C点睛：利用不等式来处理面积的最值本题中利用余弦定理得到，利用
6、基本不等式，得到，解出最大值为16，进而利用面积公式，求出面积最大值12. 在R上定义运算，若成立，则x的取值范围是 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】解得故选A二填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13. 在ABC中，A=30，C=105，b=8，则a=_.【答案】【解析】试题分析：,.考点：正弦定理14. 数列的前n项和，则它的通项公式是_.【答案】【解析】【分析】依据与的关系，由计算即得结果.【详解】时，；且时，易见，也适合该式.故.故答案为：.【点睛】数列的前n项和，当已知求时，按照两者关系，由计算，当也适合通项公式时，合并作答，否则写出
7、分段形式.15. 设x，y满足约束条件，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】画出约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义（截距型）即可求出答案【详解】解：画出约束条件表示的可行域如图所示：将目标函数变形为，易知当直线在轴上截距越大，越大，由图可知，当经过点时，最大，又，.故答案为：.16. 若正实数满足，则的最小值_.【答案】【解析】【分析】先利用求出，再利用基本不等式即可求出的最小值.【详解】解：正实数满足，当且仅当“”时，即“”时取等号.故的最小值为.故答案为：.三解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤)17. 已知A，B，C为的三个内角，且其对
8、边分别为a，b，c，若（1）求A；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理将边化成角，再根据和角公式化简即可；（2）由余弦定理代入数据，求出，再由面积公式求解即可.【详解】（1）根据正弦定理得即又又；（2）由余弦定理，得则.【点睛】本题主要考查正余弦定理的应用，涉及到三角形面积公式，属于中档题.18. （1）解不等式；（2）已知，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）最小值25.【解析】【分析】（1）将分式不等式转化成一元二次不等式，即解得结果；（2）利用“1”的妙用，拼凑得，化简利用基本不等式即得结果.【详解】解：（1）原不等式转化为，等价于，解得，所以原不
9、等式的解集为；（2）因为，所以当且仅当时等号成立，由解得，所以当时取等号，的最小值为25.【点睛】利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立.（1）积定，利用，求和的最小值；（2）和定，利用，求积的最大值；（3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值.19. 在中，内角、的对边分别是、（1）若，求；（2）若，试判断的形状【答案】（1）或；（2）等边三角形【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得的值，利用大边对大角定理结合角的取值范围可求得角的值；（2）由正弦定理得出，代入可得出，进而可得出，由此可判断出的形状【详解】（1）由正弦定理得，则，因此，或；（2）由得又，所以，所以因为，所以所以是等边三角
10、形【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，同时也可考查了利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状，考查推理能力与计算能力，属于基础题.20. 设函数.（1）若不等式解集是，求a及b的值；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先由一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用根与系数的关系即得结果；（2）开口向上的二次函数大于等于恒成立，只需限定判别式，即解得参数范围.【详解】解：（1）因为不等式的解集是，所以2，3是方程的根.由根与系数的关系得a=5，b=6；（2）据题意恒成立则，即，解得，所以实数a的取值范围为.【点睛】二次函数的恒成立问题的解决方法
11、：（1）时在R上恒成立等价于对应方程的判别式成立；（2）时在R上恒成立等价于对应方程的判别式成立.21. 已知数列的前项和为，且是与的等差中项，数列，点直线上.（1）求值；（2）求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】【分析】（1）由题意得出，令可求得的值；（2）当时，由可得出，两式作差可得出，可得出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，由题意可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式；（3）求得，然后利用错位相减法可求得.【详解】（1）由得：即解得（2）由-所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数
12、列，则又由数列中，点在直线上得且所以：（2）数列的前项和可得：【点睛】解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式，当数列表示为等差和等比数列之积时，利用错位相减法求其前项和.22. 如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上（1）求渔船甲的速度；（2）求的值【答案】（1）14海里/小时； （2）【解析】【详解】（1）,V甲海里/小时 ；（2）在中，由正弦定理得.点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题.