1、阶段回扣练8平面解析几何(时间：120分钟满分：150分)一、选择题1(2015北京西城区模拟)直线y2x为双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线，则双曲线C的离心率是()A. B. C. D.解析由题意知2，得b2a，ca，所以e，故选C.答案C2已知圆C经过A(5,2)，B(1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是()A(x2)2y213B(x2)2y217C(x1)2y240D(x1)2y220解析设圆心坐标为C(a,0)，则|AC|BC|，即，解得a1，所以半径r2，所以圆C的方程是(x1)2y220.答案D3(2014南昌模拟)方程(x2y22x)0表示的曲线是()A一个圆和一条直
2、线 B一个圆和一条射线C一个圆 D一条直线解析依题意，题中的方程等价于xy30或注意到圆x2y22x0上的点均位于直线xy30的左下方区域，即圆x2y22x0上的点均不满足xy30，不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线xy30，故选D.答案D4(2014东北三省四市联考)以椭圆1的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的离心率为()A. B. C. D.解析由题意知双曲线的a，c2，所以e.答案B5(2015福州质量检测)若直线xy20与圆C：(x3)2(y3)24相交于A，B两点，则的值为()A1 B0 C1 D10解析依题意，圆心C(3,3)到直线xy20的距离等于，cos，45
3、，ACB90，0，故选B.答案B6(2014温州诊断)已知实数1，m,4构成一个等比数列，则圆锥曲线y21的离心率为()A. B. C.或 D.或3解析由已知得m2.当m2时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a，b1，c1，e；当m2时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a1，b，c，e，故选C.答案C7 (2014乐清调研)已知点F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，且|PF2|2|PF1|，若PF1F2为等腰三角形，则双曲线的离心率为()A3 B. C2 D.解析依题意得|PF2|PF1|2a，又|PF2|2|PF1|，所以|PF2|4a，|PF1|2a.又PF1
4、F2为等腰三角形，所以|PF2|F1F2|，即4a2c，所以双曲线的离心率为e2，故选C.答案C8(2014海宁模拟)已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为()A2 BC1 D0解析设点P(x，y)，其中x1.依题意得A1(1,0)，F2(2,0)，则有x21，y23(x21)，(1x，y)(2x，y)(x1)(x2)y2x23(x21)x24x2x542，其中x1.因此，当x1时，取得最小值2，选A.答案A二、填空题9(2014成都诊断)已知直线l1：ax(3a)y10，l2：2xy0.若l1l2，则实数a的值为_解析依题意得，解得a1.答案110(
5、2015济南模拟)已知直线3x4ya0与圆x24xy22y10相切，则实数a的值为_解析圆的标准方程为(x2)2(y1)24，由直线3x4ya0与圆(x2)2(y1)24相切得圆心(2,1)到直线的距离d等于半径，所以d2，解得a12或8.答案12或811(2015金华检测)已知双曲线S与椭圆1的焦点相同，如果yx是双曲线S的一条渐近线，那么双曲线S的方程为_解析由题意可得双曲线S的焦点坐标是(0，5)又yx是双曲线S的一条渐近线，所以c5，a2b2c2，解得a3，b4，所以双曲线S的标准方程为1.答案112过椭圆1(ab0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，
6、若|AM|MB|，则该椭圆的离心率为_解析由题意知A点的坐标为(a,0)，设直线的方程为yxa，B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为，代入椭圆方程得a23b2，2a23c2，e.答案13(2014淄博二模)若双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1和F2，线段F1F2被抛物线y22bx的焦点分成53两段，则此双曲线的离心率为_解析抛物线的焦点坐标为，由题意知，c2b，所以c24b24(c2a2)，即4a23c2，所以2ac，所以e.答案14(2014湖州一模)已知抛物线y24px(p0)与双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为_解析依题意
7、，得F(p,0)，因为AFx轴，设A(p，y)，y0，y24p2，所以y2p.所以A(p,2p)又点A在双曲线上，所以1.又因为cp，所以1，化简，得c46a2c2a40，即46210.所以e232，e1.答案115(2014山东卷)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x22py(p0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为_解析c2a2b2.由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知，双曲线过点，即1.由|FA|c，得c2a2，由得p24b2.将代入，得2.2，即1，故双曲线的渐近线方程为yx，即xy0.答案xy0三、解答
8、题16(2014安徽卷)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率解(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则k0且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得，|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2|AF2|2|BF2|2
9、2|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e.17已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：ykx与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解(1)设椭圆的焦半距为c，则由题设，得
10、解得所以b2a2c2431，故所求椭圆C的方程为x21.(2)存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.理由如下：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线l 的方程ykx代入x21，并整理，得(k24)x22kx10.(*)则x1x2，x1x2.因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以0，即x1x2y1y20.又y1y2k2x1x2k(x1x2)3，于是30，解得k，经检验知：此时(*)式的0，符合题意所以当k时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.18(2012浙江卷改编)如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y22px(p0)的准线的距离为.
11、点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上(1)求曲线C的方程及t的值(2)记d，求d的最大值解(1)y22px(p0)的准线x，1()，p，抛物线C的方程为y2x.又点M(t,1)在曲线C上，t1.(2)由(1)知，点M(1,1)，从而nm，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k0)且A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k2m1，所以直线AB的方程为ym(xm)，即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0，所以4m4m20，y1y22m，y1y22
12、m2m.从而|AB| |y1y2|2d2m(1m)1，当且仅当m1m，即m时，上式等号成立，又m满足4m4m20.d的最大值为1.19在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e ，且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A，B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由解(1)因为e ，所以a23b2，即椭圆C的方程可写为1.设P(x，y)为椭圆C上任意给定的一点，则d(byb)当b1，即b1，dmax3得
13、b1；当b1，即b1，dmax3得b1(舍)b1，a，故所求椭圆C的方程为y21.(2)存在点M满足要求，使OAB的面积最大理由如下：假设存在满足条件的点M，因为直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A，B，则圆心O到l的距离d1.因为点M(m，n)在椭圆C上，所以n21m2n2，于是0m23.因为|AB|22 ，所以SOAB|AB|d ，当且仅当1m2时等号成立，所以m2(0,3因此当m，n时等号成立所以满足要求的点M的坐标为，或，此时对应的三角形的面积均达到最大值.20.(2014浙江卷)已知ABP的三个顶点都在抛物线C：x24y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，3.
14、(1)若|3，求点M的坐标；(2)求ABP面积的最大值解(1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y1.设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|y01，得到y02，所以P(2，2)或P(2，2)由3，分别得M或M.(2)设直线AB的方程为ykxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)由得x24kx4m0.于是16k216m0，x1x24k，x1x24m，所以AB中点M的坐标为(2k,2k2m)由3，得(x0,1y0)3(2k,2k2m1)，所以由x4y0，得k2m.由0，k20，得m.又因为|AB|4，点F(0,1)到直线AB的距离为d.所以SABP4SABF8|m1| .记f(m)3m35m2m1.令f(m)9m210m10，解得m1，m21.可得f(m)在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数又ff.所以，当m时，f(m)取到最大值，此时k.所以，ABP面积的最大值为.
