1、上海市陪佳双语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、填空题（每小题4分，总分56分）1（4分）在等差数列an中，若a1=2，a2=，则a15=2（4分）计算：=3（4分）若，则3AB=4（4分）在三阶行列式中，5的余子式的值为5（ 4分）已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，则x+y=6（4分）已知9，a1，a2，1四个实数成等差数列，9，b1，b2，b3，1五个实数成等比数列，则b2（a2a1）的值等于7（4分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+m）=2n13（2n1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为8（4分）若执行如图程序框图，那么输出的S=9（4分）
2、在等差数列an中，若a3=6，且a3、a7、a10成等比数列，则公差d=10（4分）已知数列an的前n项和Sn=2an1，则数列an的通项公式为an=（nN*）11（4分）已知数列an是等比数列，公比q，前n项和Sn，q=2，a1=7，Sn=217，则n=12（4分）已知数列an满足an+1=，若a1=，则a40=13（4分）已知数列an的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1那么a10=14（4分）如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、Pn，记纸板Pn的面积
3、为Sn，则=二、选择题（每小题5分，总分20分）15（5分）下列三阶行列式可以展开为的是（）ABCD16（5分）算法：第一步 x=a；第二步 若bx则x=b；第三步 若cx，则x=c； 第四步 若dx，则x=d； 第五步 输出x则输出的x表示（）Aa，b，c，d中的最大值Ba，b，c，d中的最小值C将a，b，c，d由小到大排序D将a，b，c，d由大到小排序17（5分）已知数列an满足：a1=1，an+1=2an+3（nN*），则a10=（）A2103B2113C2123D213318（5分）在等比数列an中，a11，且前n项和Sn满足Sn=，那么a1的取值范围是（）A（1，+）B（1，4）C（
4、1，2）D（1，）三、解答题（总分74分）19（14分）已知数列xn的首项x1=3，通项xn=2np+nq（nN*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列求：（）p，q的值；（）数列xn前n项和Sn的公式20（14分）用行列式讨论关于x，y 的二元一次方程组解的情况并求解21（14分）数列an是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负（1）求数列的公差；（2）求前n项和Sn的最大值；（3）当Sn0时，求n的最大值22（16分）已知数列an满足：a1=1，n为正整数，对任意的n2都有an+2anan1an1=0成立（1）求证：数列为等差数列；并求an的通项公式；（2）判断
5、a3a6是否为数列an中的项，如果是，是第几项？如果不是，说明理由；（3）设cn=anan+1（nN*），求数列cn的前n项和Sn23（16分）已知数列an中，a1=0，nN*（1）求证：是等差数列；并求数列an的通项公式；（2）设，nN*，试证明：对于任意的正整数m、n，都有上海市陪佳双语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，总分56分）1（4分）在等差数列an中，若a1=2，a2=，则a15=23考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：根据等差数列的通项公式和题意求出公差d，再求出a15的值解答：解：设等差数列an的公差是
6、d，因为a1=2，a2=，所以d=2=，则a15=a1+14d=2+14=23，故答案为：23点评：本题考查等差数列的通项公式，属于基础题2（4分）计算：=考点：极限及其运算 专题：计算题分析：先分子分母同除以n2，再利用极限的运算性质可求解答：解：由题意，故答案为点评：本题主要考查极限的运算及性质，属于基础题3（4分）若，则3AB=考点：矩阵与矩阵的乘法的意义 专题：计算题分析：欲求3AB，根据矩阵的乘法的意义，先求得3A，再利用矩阵与矩阵的减法的意义，求出3A与B的差即得解答：解：，则3AB=故答案为：点评：本小题主要考查矩阵与矩阵的乘法的意义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题4（4
7、分）在三阶行列式中，5的余子式的值为21考点：二阶行列式的定义 专题：计算题分析：去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值解答：解：由题意，去掉5所在行与列得：故答案为21点评：本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义5（4分）已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，则x+y=6考点：逆矩阵与二元一次方程组 专题：计算题分析：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，再根据方程求解xy，最后求x+y解答：解由二元线性方程组的增广矩阵，可得到二元线性方程组的表达式，解得，所以x+y=6故答案为6点评：此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算
8、量小，属于较容易的题型6（4分）已知9，a1，a2，1四个实数成等差数列，9，b1，b2，b3，1五个实数成等比数列，则b2（a2a1）的值等于8考点：等比数列的性质；等差数列的性质 专题：计算题分析：设等差数列的公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差d的值；设等比数列的公比为q，由等比数列的前n项和公式能求出公比q的值由此能够求出b2（a2a1）的值解答：解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有解得，b2（a2a1）=9=8点评：本题考查等比数列和等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意等比数列和等差数列的通项公式的合理运用7（4分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（
9、n+m）=2n13（2n1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为2（2k+1）考点：数学归纳法 专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法分析：分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求解答：解：当n=k时，左边等于 （k+1）（k+2）（k+k）=（k+1）（k+2）（2k），当n=k+1时，左边等于 （k+2）（k+3）（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故答案为 2（2k+1）点评：本题考查用数学归纳法证明等式，用n=k+1时的左边的式子除以n=k时的左
10、边的式子，属于基础题8（4分）若执行如图程序框图，那么输出的S=130考点：等差数列的前n项和；循环结构 专题：计算题分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论解答：解：如图所示的程序框图是当型循环结构，第一次循环：k=1+1=2，s=0+22=4，第二次循环：k=2+1=3，s=4+23=10，第三次循环：k=3+1=4，s=10+24=18，第四次循环：k=4+1=5，s=18+25=28，第五次循环：k=5+1=6，s=28+26=40，第六次循环：k=6+1=7，s=40+27=54，第七次循环：k=7+1=8，s=54+28=
11、70，第八次循环：k=8+1=9，s=70+29=88，第九次循环：k=9+1=10，s=88+210=108，第10次循环：k=10+1=11，s=108+211=130k=1110，结束循环，输出s=130故答案为：130点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题9（4分）在等差数列an中，若a3=6，且a3、a7、a10成等比数列，则公差d=0或考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据等差数列的通项公式分别表示出a3，a7，a10，再由a3，a7，a10成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，把表示的各项代入，整理可得首项与公差的
12、关系式，可得公差等于0或首项与公差的关系，又利用等差数列的通项公式化简已知的a3=12，得到关于首项与公差的另一个关系式，两关系式联立求出公差的值，综上，得到满足题意的公差d的值解答：解：设等差数列的公差为d，a3，a7，a10成等比数列，a72=a3a10，即（a1+6d）2=（a1+2d）（a1+9d），整理得：d（a1+18d）=0，解得：d=0，或a1+18d=0，即a1=18d，a3=a1+2d=16d=6，解得d=，则公差d=0或故答案为：0或点评：此题考查了等比数列的性质，以及等差数列的通项公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键10（4分）已知数列an的前n项和Sn=2an1，则
13、数列an的通项公式为an=2n1（nN*）考点：数列递推式 专题：计算题分析：根据数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列为等比数列，从而可得数列的通项公式解答：解：Sn=2an1，n2时，Sn1=2an11，两式相减可得：an=2an2an1，an=2an1，n=1时，S1=2a11，a1=1数列an是以1为首项，2为公比的等比数列an=2n1故答案为：2n1点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的通项，确定数列是等比数列是关键，属于中档题11（4分）已知数列an是等比数列，公比q，前n项和Sn，q=2，a1=7，Sn=217，则n=5考点：等比数列的前n项和 专题：计算题；等差数列与等比数
14、列分析：利用等比数列的求和公式，建立方程，即可求出n的值解答：解：数列an是等比数列，公比q，前n项和Sn，q=2，a1=7，Sn=217，217=，n=5，故答案为：5点评：熟练掌握等比数列的前n项和公式是解题的关键12（4分）已知数列an满足an+1=，若a1=，则a40=考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知条件利用递推公式求出数列的前4项，得到数列an是周期为3的周期数列，由此能求出a40解答：解：数列an满足an+1=，a1=，=，=，=，数列an是周期为3的周期数列，40=313+1，故答案为：点评：本题考查数列的第40项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列
15、的周期性的合理运用13（4分）已知数列an的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1那么a10=1考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据题意，用赋值法，令n=1，m=9可得：S1+S9=S10，即S10S9=S1=a1=1，进而由数列的前n项和的性质，可得答案解答：解：根据题意，在Sn+Sm=Sn+m中，令n=1，m=9可得：S1+S9=S10，即S10S9=S1=a1=1，根据数列的性质，有a10=s10s9，即a10=1，故答案为：1点评：本题考查数列的前n项和的性质，对于本题，赋值法是比较简单、直接的方法14（4分）如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，
16、在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、Pn，记纸板Pn的面积为Sn，则=考点：演绎推理的基本方法；归纳推理 专题：压轴题分析：由已知每次剪掉的半圆形面积构成一个等比数列，根据已知不难求出该数列的首项和公比，代入等比数列前n项和公式，易得剪去的所有半圆的面积和，从而得到最后纸板Pn的面积解答：解：每次剪掉的半圆形面积构成一个以为首项，以为公比的等比数列，则a1+a2+an=故：=故答案为：点评：本题考查的知识点其实是一种极限思想，当一个等比数列的|q|1时，=0，则a1+a2+an=二、选择题（每小题5分，总
17、分20分）15（5分）下列三阶行列式可以展开为的是（）ABCD考点：三阶矩阵 专题：计算题分析：根据三阶行列式的求解方法，逐个计算，即可求得结论解答：解：根据三阶行列式的求解方法，可得=故选D点评：本题考查三阶行列式的求解，解题的关键是掌握三阶行列式的求解方法，属于基础题16（5分）算法：第一步 x=a；第二步 若bx则x=b；第三步 若cx，则x=c； 第四步 若dx，则x=d； 第五步 输出x则输出的x表示（）Aa，b，c，d中的最大值Ba，b，c，d中的最小值C将a，b，c，d由小到大排序D将a，b，c，d由大到小排序考点：算法的概念 专题：计算题分析：本题解题思路为分部分析法，把一个整
18、体拆分为几个部分得到已知的信息，从而解题解答：解：x=a，若bx，则ba，x=b，否则x=a，即x为a，b中较大的值；若cx，则x=c，否则x仍为a，b中较大的值，即x为a，b，c中较大的值；若dx，则x=d，否则x仍为a，b，c中较大的值，即x为a，b，c中较大的值故x为a，b，c，d中最大的数，故选A点评：本题考查算法的概念的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答17（5分）已知数列an满足：a1=1，an+1=2an+3（nN*），则a10=（）A2103B2113C2123D2133考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知得an+3是首项为4，公比为2的等比数列，由此能
19、求出解答：解：数列an满足：a1=1，an+1=2an+3（nN*），an+1+3=2（an+3），又a1+3=4，an+3是首项为4，公比为2的等比数列，an+3=42n1=2n+1，an=2n+13，故选：B点评：本题考查数列的第10项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用18（5分）在等比数列an中，a11，且前n项和Sn满足Sn=，那么a1的取值范围是（）A（1，+）B（1，4）C（1，2）D（1，）考点：极限及其运算 专题：计算题；压轴题分析：在等比数列an中，Sn=，由题意可知，=，再由a11，|q|1能够推导出a1的取值范围解答：解：由题意知Sn=，a1
20、2=1q，a11，|q|1，1a122，故选D点评：本题考查数列的极限及其应用，解题时要注意掌握极限的逆运算三、解答题（总分74分）19（14分）已知数列xn的首项x1=3，通项xn=2np+nq（nN*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列求：（）p，q的值；（）数列xn前n项和Sn的公式考点：数列递推式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质 专题：计算题；综合题分析：（）根据x1=3，求得p，q的关系，进而根据通项xn=2np+np（nN*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列建立关于p的方求得p，进而求得q（）进而根据（1）中求得数列的首项和公差，利用等
21、差数列的求和公式求得答案解答：解：（）x1=3，2p+q=3，又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x5=2x4，3+25p+5q=25p+8q，联立求得 p=1，q=1（）由（1）可知xn=2n+nSn=（2+22+2n）+（1+2+n）=点评：本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力20（14分）用行列式讨论关于x，y 的二元一次方程组解的情况并求解考点：线性方程组解的存在性，唯一性；二元一次方程组的矩阵形式 专题：计算题；分类讨论分析：先根据方程组中x，y的系数及常数项计算计算出D，Dx，Dy，下面对m的值进行分类讨论：（1）当m1，m1时，（2）当m=1
22、时，（3）当m=1时，分别求解方程组的解即可解答：解：，（各（1分）共3分）（1）当m1，m1时，D0，方程组有唯一解，解为（2分），其中解1分）（2）当m=1时，D=0，Dx0，方程组无解；（2分）（3）当m=1时，D=Dx=Dy=0，方程组有无穷多组解，此时方程组化为，令x=t（tR），原方程组的解为（tR）（2分），没写出解扣1分）点评：本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想属于中档题21（14分）数列an是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负（1）求数列的公差；（2）求前n项和Sn
23、的最大值；（3）当Sn0时，求n的最大值考点：等差数列的性质；数列的函数特性 专题：综合题分析：（1）利用等差数列的通项公式列出a60，a70，求出d的值；（2）根据d0判断an是递减数列，再由a60，a70，得出n=6时，Sn取得最大值；（3）由等差数列的前n项和公式列出不等式，解不等式即可解答：解：（1）由已知a6=a1+5d=23+5d0，a7=a1+6d=23+6d0，解得：d，又dZ，d=4（2）d0，an是递减数列，又a60，a70当n=6时，Sn取得最大值，S6=623+（4）=78（3）Sn=23n+（4）0，整理得：n（504n）00n，又nN*，所求n的最大值为12点评：本
24、题考查了等差数列的性质、通项公式以及前n项和公式，（2）问d0判断an是递减数列，是解题的关键，属于中档题22（16分）已知数列an满足：a1=1，n为正整数，对任意的n2都有an+2anan1an1=0成立（1）求证：数列为等差数列；并求an的通项公式；（2）判断a3a6是否为数列an中的项，如果是，是第几项？如果不是，说明理由；（3）设cn=anan+1（nN*），求数列cn的前n项和Sn考点：数列的求和；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用定义法和递推关系式求数列的通项公式（2）验证数列的项用代入法求解（3）利用裂项相消法求数列的和解答：（1）证明：已知数列an满足：
25、对任意的n2都有an+2anan1an1=0成立，则：（常数）所以：数列为等差数列由于a1=1，所以：当n=1时，a1=1，所以：（2）解：根据（1）求得：a3a6=令解得：n=28所以：a3a6是数列an中的第28项（3）解：由（1）得：=1所以：数列cn的前n项和：Sn=c1+c2+cn=点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，验证数列的项，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题型23（16分）已知数列an中，a1=0，nN*（1）求证：是等差数列；并求数列an的通项公式；（2）设，nN*，试证明：对于任意的正整数m、n，都有考点：数列与不等式的综合 专题：综合题分析：（1）因为，所以，nN*；由此能够证明是等差数列求能求出数列an的通项公式（2）由，得=由此能够证明对于任意的正整数m、n，都有解答：解：（1）因为，所以，nN*；故是等差数列由此可得，所以，nN*（2）由，则有=当，即n3时，bn+1bn；当，即n4时，bn+1bn由此可知，b4是数列bn中的最大项；又因为b1=0，且当n2时，bn0，所以数列bn中的最小项为b1=0对于任意的正整数m、n，都有点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化