1、第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、填空题1圆x2y24x0在点P(1,)处的切线方程为_解析易知圆心C坐标为(2,0),则kCP,所以所求切线的斜率为.故切线方程为y(x1),即xy20.答案xy202(2015镇江调研)已知圆O1:(xa)2(yb)24,O2:(xa1)2(yb2)21(a,bR),则两圆的位置关系是_解析由O1:(xa)2(yb)24得圆心坐标为(a,b),半径为2;由O2:(xa1)2(yb2)21得圆心坐标为(a1,b2),半径为1,所以两圆圆心之间的距离为O1O2,因为|21|1213,所以两圆相交答案相交3(2015青岛质量检测
2、)直线y2x1被圆x2y21截得的弦长为_解析圆x2y21的圆心O(0,0),半径r1.圆心O到直线y2x1的距离为d,故弦长为22.答案4(2015南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中,过点P(5,3)作直线l与圆x2y24相交于A,B两点,若OAOB,则直线l的斜率为_解析由题意可得AOB是以2为直角边长的等腰直角三角形,所以圆心(0,0)到直线AB的距离为.又直线l的斜率一定存在,设斜率为k,则直线l的方程为y3k(x5),即kxy35k0,所以,化简得23k230k70,解得k1或.答案1或5(2015宿迁模拟)已知过点(2,5)的直线l被圆C:x2y22x4y0截得的弦长为4,则
3、直线l的方程为_解析圆C的标准方程为(x1)2(y2)25.直线l被圆C截得的弦长为4,则圆心C(1,2)到直线l的距离为1.当过点(2,5)的直线l的斜率不存在时,l:x2适合题意;当斜率存在时,设为k,则l:y5k(x2),即为kxy52k0,此时1,解得k,直线l:xy0,即为4x3y70,综上可得直线l的方程为x20或4x3y70.答案x20或4x3y706(2015镇江模拟)已知圆M的圆心在x轴上,截直线l1:x2所得的弦长为2(圆心M在直线l1的右侧),且与直线l2:2xy40相切,则圆M的方程为_解析设圆M的圆心为(m,0),半径为r;因为圆M与直线l2:2xy40相切,故r;又
4、圆M截直线l1:x2所得的弦长为2,由勾股定理可知,|m2|23r2.联立,解得m1,r2,故圆M的方程为(x1)2y24.答案(x1)2y247(2015苏州调研)在直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),则满足PA2PB24且在圆x2y24上的点P的个数为_解析依题意,满足PA2PB24的动点P的轨迹方程是(x1)2y2x2(y1)24,即xy20;注意到圆x2y24的圆心到直线xy20的距离小于该圆半径,因此直线xy20与圆x2y24共有两个不同的公共点,因此满足题意的点P的个数是2.答案28(2014重庆卷)已知直线xya0与圆心为C的圆x2y22x4y40相交于A,B两点
5、,且ACBC,则实数a的值为_解析由x2y22x4y40,得(x1)2(y2)29,圆C的圆心坐标为(1,2),半径为3.由ACBC,知ABC为等腰直角三角形,所以C到直线AB的距离d,即,所以|a3|3,即a0或a6.答案0或6二、解答题9已知点P(0,5)及圆C:x2y24x12y240.若直线l过P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程解如图所示,AB4,D是AB的中点,CDAB,AD2,圆x2y24x12y240可化为(x2)2(y6)216,圆心C(2,6),半径r4,故AC4,在RtACD中,可得CD2.当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则直线l的方程为y5kx,即kxy50,由点C
6、到直线AB的距离公式,得2,解得k.此时直线l的方程为3x4y200;当直线l的斜率不存在时,方程为x0,则y212y240,y162,y262,|y2y1|4,故x0满足题意;所求直线的方程为3x4y200或x0.10已知直线l:ykx1,圆C:(x1)2(y1)212.(1)试证明:不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点;(2)求直线l被圆C截得的最短弦长法一(1)证明由消去y得(k21)x2(24k)x70,因为(24k)228(k21)0,所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点(2)解设直线与圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则直线l被圆C截得的弦长AB|x1x2|
7、22 ,令t,则tk24k(t3)0,当t0时,k,当t0时,因为kR,所以164t(t3)0,解得1t4,且t0,故t的最大值为4,此时AB最小为2.法二(1)证明圆心C(1,1)到直线l的距离d,圆C的半径R2,R2d212,而在S11k24k8中,(4)241180对kR恒成立,所以R2d20,即dR,所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点(2)解由平面几何知识,知|AB|22 ,下同法一法三(1)证明因为不论k为何实数,直线l总过点P(0,1),而PC2R,所以点P(0,1)在圆C的内部,即不论k为何实数,直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点
8、(2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦,只有和PC (C为圆心)垂直时才最短,而此时点P(0,1)为弦AB的中点,由勾股定理,知AB22,即直线l被圆C截得的最短弦长为2.能力提升题组(建议用时:25分钟)1(2015南京模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x1)2y24,P为圆C上一点若存在一个定圆M,过P作圆M的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,当P在圆C上运动时,使得APB恒为60,则圆M的方程为_解析设圆M的半径为r,则由圆的几何性质可得PM2r.又r是定值,所以PM是定值又点P在圆C上,只有到圆心C的距离是定值,所以点M与C重合,即PMPC2,所以r1,故圆
9、M的方程是(x1)2y21.答案(x1)2y212圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点有_个解析因为圆心到直线的距离为2,又因为圆的半径为3,所以直线与圆相交,由数形结合知,圆上到直线的距离为1的点有3个答案33(2015苏、锡、常、镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,0)在圆C:x2y22mx4ym2280内,动直线AB过点P且交圆C于A,B两点,若ABC的面积的最大值为16,则实数m的取值范围为_解析因为点P(3,0)在圆C:(xm)2(y2)232内,所以(3m)2(02)232,解得32m32.设圆心C到直线AB的距离为d,则d0,PC,ABC
10、的面积为ABd2d16,当且仅当d4时取等号,所以4PC,解得m32或m32,与取交集可得实数m的取值范围是32,32)(32,32答案32,32)(32,324(2014新课标全国卷)已知点P(2,2),圆C:x2y28y0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点(1)求M的轨迹方程;(2)当OPOM时,求l的方程及POM的面积解(1)圆C的方程可化为x2(y4)216,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则(x,y4),(2x,2y)由题设知0,故x(2x)(y4)(2y)0,即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆由于OPOM,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为,故l的方程为x3y80.又OMOP2,O到l的距离为,所以PM,SPOM,故POM的面积为.