1、第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为_解析易知圆心C坐标为(2,0)，则kCP，所以所求切线的斜率为.故切线方程为y(x1)，即xy20.答案xy202(2015镇江调研)已知圆O1：(xa)2(yb)24，O2：(xa1)2(yb2)21(a，bR)，则两圆的位置关系是_解析由O1：(xa)2(yb)24得圆心坐标为(a，b)，半径为2；由O2：(xa1)2(yb2)21得圆心坐标为(a1，b2)，半径为1，所以两圆圆心之间的距离为O1O2，因为|21|1213，所以两圆相交答案相交3(2015青岛质量检测
2、)直线y2x1被圆x2y21截得的弦长为_解析圆x2y21的圆心O(0,0)，半径r1.圆心O到直线y2x1的距离为d，故弦长为22.答案4(2015南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，过点P(5,3)作直线l与圆x2y24相交于A，B两点，若OAOB，则直线l的斜率为_解析由题意可得AOB是以2为直角边长的等腰直角三角形，所以圆心(0,0)到直线AB的距离为.又直线l的斜率一定存在，设斜率为k，则直线l的方程为y3k(x5)，即kxy35k0，所以，化简得23k230k70，解得k1或.答案1或5(2015宿迁模拟)已知过点(2,5)的直线l被圆C：x2y22x4y0截得的弦长为4，则
3、直线l的方程为_解析圆C的标准方程为(x1)2(y2)25.直线l被圆C截得的弦长为4，则圆心C(1,2)到直线l的距离为1.当过点(2,5)的直线l的斜率不存在时，l：x2适合题意；当斜率存在时，设为k，则l：y5k(x2)，即为kxy52k0，此时1，解得k，直线l：xy0，即为4x3y70，综上可得直线l的方程为x20或4x3y70.答案x20或4x3y706(2015镇江模拟)已知圆M的圆心在x轴上，截直线l1：x2所得的弦长为2(圆心M在直线l1的右侧)，且与直线l2：2xy40相切，则圆M的方程为_解析设圆M的圆心为(m,0)，半径为r；因为圆M与直线l2：2xy40相切，故r；又
4、圆M截直线l1：x2所得的弦长为2，由勾股定理可知，|m2|23r2.联立，解得m1，r2，故圆M的方程为(x1)2y24.答案(x1)2y247(2015苏州调研)在直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，则满足PA2PB24且在圆x2y24上的点P的个数为_解析依题意，满足PA2PB24的动点P的轨迹方程是(x1)2y2x2(y1)24，即xy20；注意到圆x2y24的圆心到直线xy20的距离小于该圆半径，因此直线xy20与圆x2y24共有两个不同的公共点，因此满足题意的点P的个数是2.答案28(2014重庆卷)已知直线xya0与圆心为C的圆x2y22x4y40相交于A，B两点
5、，且ACBC，则实数a的值为_解析由x2y22x4y40，得(x1)2(y2)29，圆C的圆心坐标为(1,2)，半径为3.由ACBC，知ABC为等腰直角三角形，所以C到直线AB的距离d，即，所以|a3|3，即a0或a6.答案0或6二、解答题9已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程解如图所示，AB4，D是AB的中点，CDAB，AD2，圆x2y24x12y240可化为(x2)2(y6)216，圆心C(2,6)，半径r4，故AC4，在RtACD中，可得CD2.当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y5kx，即kxy50，由点C
6、到直线AB的距离公式，得2，解得k.此时直线l的方程为3x4y200；当直线l的斜率不存在时，方程为x0，则y212y240，y162，y262，|y2y1|4，故x0满足题意；所求直线的方程为3x4y200或x0.10已知直线l：ykx1，圆C：(x1)2(y1)212.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长法一(1)证明由消去y得(k21)x2(24k)x70，因为(24k)228(k21)0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长AB|x1x2|
7、22 ，令t，则tk24k(t3)0，当t0时，k，当t0时，因为kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值为4，此时AB最小为2.法二(1)证明圆心C(1，1)到直线l的距离d，圆C的半径R2，R2d212，而在S11k24k8中，(4)241180对kR恒成立，所以R2d20，即dR，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解由平面几何知识，知|AB|22 ，下同法一法三(1)证明因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而PC2R，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点
8、(2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有和PC (C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知AB22，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.能力提升题组(建议用时：25分钟)1(2015南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2y24，P为圆C上一点若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得APB恒为60，则圆M的方程为_解析设圆M的半径为r，则由圆的几何性质可得PM2r.又r是定值，所以PM是定值又点P在圆C上，只有到圆心C的距离是定值，所以点M与C重合，即PMPC2，所以r1，故圆
9、M的方程是(x1)2y21.答案(x1)2y212圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点有_个解析因为圆心到直线的距离为2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个答案33(2015苏、锡、常、镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C：x2y22mx4ym2280内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为_解析因为点P(3,0)在圆C：(xm)2(y2)232内，所以(3m)2(02)232，解得32m32.设圆心C到直线AB的距离为d，则d0，PC，ABC
10、的面积为ABd2d16，当且仅当d4时取等号，所以4PC，解得m32或m32，与取交集可得实数m的取值范围是32，32)(32，32答案32，32)(32，324(2014新课标全国卷)已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当OPOM时，求l的方程及POM的面积解(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆由于OPOM，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为x3y80.又OMOP2，O到l的距离为，所以PM，SPOM，故POM的面积为.
