1、专题一圆锥曲线中的综合问题第一讲圆锥曲线中的定点、定值问题1(2019全国卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|4，M过点A，B且与直线x20相切(1)若A在直线xy0上，求M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由解：(1)因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上由已知A在直线xy0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a，a)因为M与直线x20相切，所以M的半径为r|a2|.由已知得|AO|2.又MOAO，故可得2a24(a2)2，解得a0或a4.故M的半径r2或r6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|MP|
2、为定值理由如下：设M(x，y)，由已知得M的半径为r|x2|，|AO|2.由于MOAO，故可得x2y24(x2)2，化简得M的轨迹方程为y24x.因为曲线C：y24x是以点P(1,0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以|MP|x1.因为|MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点P.2(2019全国卷)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积解：(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.因为yx，所以切线DA的斜率为x1，
3、故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2| 2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23).设M为线段AB的中点，则M.因为，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0，解得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4. 明 考
4、 情 1解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动2定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题题型一定点问题|析典例|【例】(2019河北唐山联考)已知F为抛物线E：y24x的焦点，过点P(0,2)作两条互相垂直的直线m，n，直线m交E于不同的两点A，B，直线n交E于不同的两点C，D，记直线m的斜率为k.(1)求k的取值范围；(2)设线段AB，CD的中点分别为点M，
5、N，证明：直线MN过定点Q(2,0)解(1)由题设可知k0，所以直线m的方程为ykx2，与y24x联立，整理得ky24y80.由11632k0，解得k0，解得k0或kb0)，其离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且与y轴交于一点M(不是原点)，1，2，证明：12为定值思路分析第(1)问：求什么，如何想求椭圆方程想到待定系数法列出a，b，c方程组可求给什么，如何用已知过点P及e，可代入建立方程组求解第(2)问：求什么，如何想证明12为定值，想到建立1，2与x1，y1，x2，y2关系后化简给什么，如何用给出1，2，可
6、利用向量坐标运算建立1，2与A、B坐标的等量关系规范解答(1)解方程组解得a2，b，椭圆C的方程是1.(2)证明：F(1,0)，由题意可知直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为xmy1，则M，(1x1，y1)，(1x2，y2)1，2，y11y1，y22y2，11，21，1222.联立方程组消去x得(3m24)y26my90，y1y2，y1y2，1222.| 规 律 方 法 |求圆锥曲线中定值问题常用的方法(1)引起变量法：其解题流程为 (2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关|练题点|1(2019驻马店模拟)已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为2，且椭圆C的离心率为.(1
7、)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求证：为定值解：(1)由题意可知2b2，b1，又椭圆离心率为，则a，故椭圆C的方程为x21.(2)证明：当直线AB的斜率不存在或为零时，当直线AB的斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消y得(k22)x22kx10，x1x2，x1x2，|AB|，同理可得|CD|，.2(2019全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解：(1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率为e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)
