1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 五十三曲线与方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016杭州模拟)已知点F,直线l:x=-,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是()A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线【解析】选D.由已知得|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线.2.方程(x2-y2-1)=0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)()【解析】选B.原方程等价于或x-y-1=0,前者
2、表示等轴双曲线x2-y2=1位于直线x-y-1=0下方的部分(含交点),后者为直线x-y-1=0,这两部分合起来即为所求.【加固训练】方程(x2+y2-4)=0的曲线形状是()【解析】选C.由题意可得x+y+1=0或它表示直线x+y+1=0和圆x2+y2-4=0在直线x+y+1=0右上方(含交点)的部分.3.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0),距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是()A.x+y=5B.x2+y2=9C.+=1D.x2=16y【解题提示】可依据“好曲线”的定义,逐个验证即可得出结论.【解析】选B.因为M到平面内两点
3、A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,所以M的轨迹是以A(-5,0), B(5,0)为焦点的双曲线,方程为-=1.A项,直线x+y=5过点(5,0),满足题意,为“好曲线”;B项,x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C项,+=1的右顶点为(5,0),满足题意,为“好曲线”;D项,方程代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,所以0,满足题意,为“好曲线”.4.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过M,N与圆C相切的两直线相交于点P,则P点的轨迹方程为()A.x2-=1(x1)B.x2-=1(x0)
4、D.x2-=1(x1)【解析】选A.设另两个切点为E,F,如图所示,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NF|=|NB|.从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=21).5.(2016东营模拟)在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系xOy上的点P(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线A-B-C运动时,在映射f的作用下,动点P的轨迹是()【解析】选D.当P沿AB运动时,x=1,设P(x,y),则(0y1),所以y=1-(0x2,0y1).当P沿BC运动时,y=1,
5、则(0x1),所以y=-1(0x2,-1y0),由此可知P的轨迹如D所示.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P(x,y)的轨迹方程为.【解析】点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,说明点P(x,y)到点F(0,2)和到直线y+2=0的距离相等,所以P点的轨迹为抛物线,设抛物线方程为x2=2py(p0),其中p=4,故所求的轨迹方程为x2=8y.答案:x2=8y7.长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴,y轴上滑动,则AB中点的轨迹方程为 .【解析】设A(m,0),B(0,n),则|AB|
6、2=m2+n2=4a2,再设线段AB中点P的坐标为(x,y),则x=,y=,即m=2x,n=2y,所以4x2+4y2=4a2,即AB中点的轨迹方程为x2+y2=a2.答案:x2+y2=a2【加固训练】直线+=1与x,y轴交点的中点的轨迹方程是 .【解析】直线+=1与x,y轴的交点为A(a,0),B(0,2-a),设AB的中点为M(x,y),则x=,y=1-,消去a,得x+y=1.因为a0且a2,所以x0且x1.答案:x+y=1(x0且x1)8.(2016枣庄模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若=2,且=1,则点P
7、的轨迹方程是.【解析】设A(a,0),B(0,b),a0,b0.由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=x0,b=3y0.点Q(-x,y),故由=1,得(-x,y)(-a,b)=1,即ax+by=1.将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x0,y0).答案:x2+3y2=1(x0,y0)三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,已知F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过点P作l的垂线,垂足为点Q,且=.求动点P的轨迹C的方程.【解析】设点P(x,y),则Q(-1,y),由=,得(x+1,0)(2,-y)=(x-1,y)(-2,y),化简得C
8、:y2=4x.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:由=,得(+)=0,所以(-)(+)=0,-=0.所以,|=|.所以点P的轨迹C是抛物线,由题意,轨迹C的方程为y2=4x.10.已知O的方程是x2+y2-2=0,O的方程是x2+y2-8x+10=0,若由动点P向O和O所引的切线长相等,求动点P的轨迹方程.【解题提示】可直接利用切线长相等,得出方程,注意切线长的求法,可利用勾股定理求解.【解析】设P(x,y),切点分别为A,B,由圆O的方程为(x-4)2+y2=6及已知|AP|=|BP|,故|OP|2-|AO|2=|OP|2-|OB|2,则|OP|2-2=|OP|2-6,所以x2+y2
9、-2=(x-4)2+y2-6.所以x=,故动点P的轨迹方程是x=.(20分钟40分)1.(5分)(2016临沂模拟)在平行四边形ABCD中,BAD=60,AD=2AB,若P是平面ABCD内一点,且满足:x+y+=0(x,yR).则当点P在以A为圆心,|为半径的圆上时,实数x,y应满足的关系式为()A.4x2+y2+2xy=1B.4x2+y2-2xy=1C.x2+4y2-2xy=1D.x2+4y2+2xy=1【解析】选D.如图,以A为原点建立平面直角坐标系,设AD=2.据题意,得AB=1,ABD=90,BD=.所以B,D的坐标分别为(1,0),(1,),所以=(1,0),=(1,).设点P的坐标
10、为(m,n),即=(m,n),则由x+y+=0,得:=x+y,所以据题意,m2+n2=1,所以x2+4y2+2xy=1.2.(5分)已知ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为.【解析】设A(x,y),则D,所以|CD|=3,化简得(x-10)2+y2=36,由于A,B,C三点构成三角形,所以A不能落在x轴上,即y0.答案:(x-10)2+y2=36(y0)【误区警示】解答本题易出现如下错误没有考虑到三角形这一条件,即点A不能在x轴上,从而漏掉条件y0.3.(5分)(2016武汉模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在
11、AB上,且AM=AB,点P在平面ABCD内,且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1,在平面直角坐标系xAy中,动点P的轨迹方程是.【解题提示】可在正方体中求出点P到直线A1D1的距离,然后再求出P到点M的距离,依据题设条件即可得出动点P的轨迹方程.【解析】过P作PQAD于Q,再过Q作QHA1D1于点H,连接PH,可证PHA1D1,设P(x,y),由|PH|2-|PM|2=1,得x2+1-=1,化简得y2=x-.答案:y2=x-4.(12分)已知圆C的方程为x2+y2=4.(1)直线l过点P(1,2),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2,求直线l的方程.(2)过圆C上
12、一动点M(不在x轴上)作平行于x轴的直线m,设m与y轴的交点为N,若向量=+,求动点Q的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.【解析】(1)当直线l垂直于x轴时,直线方程为x=1,l与圆的两个交点坐标为(1,)和(1,-),距离为2,满足题意.若直线l不垂直于x轴,设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.设圆心到此直线的距离为d,则2=2,得d=1.所以=1,解得k=,故所求直线方程为3x-4y+5=0.综上所述,所求直线l的方程为3x-4y+5=0或x=1.(2)设点M的坐标为(x0,y0)(y00),Q点坐标为(x,y),则N点坐标是(0,y0).因为=+,所以(x,y)=(x
13、0,2y0),即x0=x,y0=.又因为M是圆C上一点,所以+=4,所以x2+=4(y0),所以Q点的轨迹方程是+=1(y0),这说明轨迹是中心在原点,焦点在y轴上,长轴长为8、短轴长为4的椭圆,且除去短轴端点.【加固训练】过定点A(a,b)任作互相垂直的两直线l1与l2,且l1与x轴交于点M,l2与y轴交于点N,如图所示,求线段MN的中点P的轨迹方程.【解题提示】要求点P坐标,必须先求M,N两点,这样就要求直线l1,l2,又l1,l2过定点且垂直,只要l1的斜率存在,设一参数k1即可求出P点坐标,再消去k1即得点P轨迹方程.【解析】当l1不平行于y轴时,设l1的斜率为k1,且k10.因为l1
14、l2,所以l2的斜率为-,l1的方程为y-b=k1(x-a),l2的方程为y-b=-(x-a),在中令y=0,得M点的横坐标为x1=a-,在中令x=0,得N点的纵坐标为y1=b+,设MN中点P的坐标为(x,y),则有消去k1,得2ax+2by-a2-b2=0.当l1平行于y轴时,MN中点为,其坐标满足方程.综上可知:所求MN中点P的轨迹方程为2ax+2by-a2-b2=0.5.(13分)(2016泰安模拟)在平面直角坐标系xOy中,设点F,直线l:x=-,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQFP,PQl.(1)求动点Q的轨迹方程C.(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C上,TS是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时,弦长|TS|是否为定值?请说明理由.【解析】(1)依题意知,点R是线段FP的中点,且RQFP,所以RQ是线段FP的垂直平分线.因为|PQ|是点Q到直线l的距离.点Q在线段FP的垂直平分线上,所以|PQ|=|QF|.故动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2=2x(x0).(2)弦长|TS|为定值.理由如下:取曲线C上一点M(x0,y0),M到y轴的距离为d=|x0|=x0,圆的半径r=|MA|=,则|TS|=2=2,因为点M在曲线C上,所以x0=,所以|TS|=2=2,是定值.关闭Word文档返回原板块
