1、专题检测(二)三角函数与解三角形、平面向量(本卷满分150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数y12sin2是A最小正周期为的偶函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的奇函数解析y12sin2cos sin 2x，所以T，且ysin 2x为奇函数故选B.答案B2若函数f(x)sin axcos ax(a0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为A.B.C. D(0,0)解析f(x)2sin ，T1，a2，则f(x)2sin ，令2xk，得x，kZ，当k1时，x，即f(
2、x)的一个对称中心为，故选C.答案C3已知实数a，b均不为零，tan ，且，则等于A. B.C D解析由，得，故tan tan ，与已知比较得a3t，bt，t0，故.答案B4设a，b，若ab，则锐角为A30 B45C60 D75解析ab，sin cos ，即sin cos ，sin 21，又是锐角，290，45.答案B5在梯形ABCD中，ABCD，且|AB|DC|，设a，b，则等于Aab BabC.ab Dab解析bba.故选C.答案C6(2011课标全国卷)设函数f(x)sincos，则Ayf(x)在单调递增，其图象关于直线x对称Byf(x)在单调递增，其图象关于直线x对称Cyf(x)在单调
3、递减，其图象关于直线x对称Dyf(x)在单调递减，其图象关于直线x对称解析f(x)sincossincos 2x，当0x时，02x，故f(x)cos 2x在单调递减又当x时，cos，因此x是yf(x)的一条对称轴答案D7下列命题中正确的是A若ab0，则0B若ab0，则abC若ab，则a在b上的投影为|a|D若ab，则ab(ab)2解析根据平面向量基本定理，必须在a，b不共线的情况下，若ab0，则0；选项B显然错误；若ab，则a在b上的投影为|a|或|a|，平行时分两向量所成的角为0和180两种；abab0(ab)20.故选D.答案D8(2011四川)在ABC中，sin2Asin2Bsin2Cs
4、in Bsin C，则A的取值范围是A. B.C. D.解析在ABC中，由正弦定理可得sin A，sin B，sin C(其中R为ABC外接圆的半径)，由sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C可得a2b2c2bc，即b2c2a2bc，cos A，0A.答案C9(2011广州广雅中学模拟)函数f(x)sin (x)的最小正周期为，且其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象A关于点对称 B关于直线x对称C关于点对称 D关于直线x对称解析根据最小正周期为，得2，向左平移个单位后得到函数f(x)sin sin 的图象，这个函数是奇函数，由f(0)0和|，得，故函数f(
5、x)sin .把各个选项代入，根据正弦函数图象对称中心和对称轴的意义知，只有选项B中的直线x是函数图象的对称轴答案B10(2011安徽)已知函数f(x)sin (2x)，其中为实数若f(x)对xR恒成立，且ff()，则f(x)的单调递增区间是A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析由xR，有f(x)知，当x时f(x)取最值，fsin 1，2k(kZ)，2k或2k(kZ)又ff()，sin ()sin (2)，sin sin ，sin 0.取2k(kZ)不妨取，则f(x)sin .令2k2x2k(kZ)，2k2x2k(kZ)，kxk(kZ)f(x)的单调递增区间为(kZ)答案C11设
6、0，m0，若函数f(x)msin cos 在区间上单调递增，则的取值范围是A. B.C. D1，)解析f(x)msin cos sin x，0，m0，其增区间为(kZ)又f(x)在上单调递增，.解之得.又0，故选B.答案B12在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知b2c(b2c)，若a，cos A，则ABC的面积等于A. B.C. D3解析b2c(b2c)，b2bc2c20，即(bc)(b2c)0，b2c.又a，cos A，解得c2，b4.SABCbcsin A42 .答案C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分把答案填在题中的横线上)13(2011北京)在ABC中，若
7、b5，B，sin A，则a_.解析根据正弦定理应有，a.答案14已知向量a、b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_解析由(a2b)(ab)6得a22b2ab6.|a|1，|b|2，1222212cos a，b6，cos a，b.a，b0，a，b.答案15在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站，上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30，俯角30的B处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60，俯角60的C处，则轮船航行速度是_千米/小时解析如图所示，设海岛的底部为点D.在RtABD中，BD；在RtACD中，CD.故在RtBCD中，BC .所以轮船的速度为2
8、.答案216三角形ABC中，已知6，且角C为直角，则角C的对边c的长为_解析由6，得()6，即6，C90，c26，c.答案三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知向量a，b(cos x，sin x)，x.(1)若ab，求sin x和cos 2x的值；(2)若ab2cos (kZ)，求tan的值解析(1)ab，sin xcos x.于是sin xcos x，又sin2xcos2x1，cos2x，又x，sin x .cos 2x2cos2x11.(2)abcos xsin xcos sin xsin cos xsin ，而2cos 2c
9、os 2cos (kZ)；于是sin 2cos ，即tan 2.tan tan 3.18(12分)(2011苏州模拟)如图，为了计算渭河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点现测得ADCD，AD100 m，AB140 m，BDA60，BCD135，求两景点B与C之间的距离(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：1.414，1.732，2.236)解析在ABD中，设BDx m，则BA2BD2AD22BDADcos BDA，即1402x210022100xcos 60，整理得x2100x9 6000，解得x1160，x260(舍去)，故BD16
10、0 m.在BCD中，由正弦定理得，又ADCD，CDB30，BCsin 3080113(m)即两景点B与C之间的距离约为113 m.19(12分)已知a2(cos x，cos x)，b(cos x，sin x)(其中01)，函数f(x)ab，若直线x是函数f(x)图象的一条对称轴(1)试求的值；(2)若函数yg(x)的图象是由yf(x)的图象的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到，求yg(x)的单调增区间解析f(x)ab2(cos x，cos x)(cos x，sin x)2cos2x2cos xsin x1cos 2xsin 2x12sin .(1)直线x为对称轴，sin
11、 1，k(kZ)k，kZ.01，k，k0.(2)由(1)，得f(x)12sin ，g(x)12sin 12sin 12cos x.由2kx2k，得4k2x4k(kZ)，g(x)的单调增区间为4k2，4k(kZ)20(12分)(2011广东)已知函数f(x)2sin ，xR.(1)求f(0)的值；(2)设，f，f(32)，求sin ()的值解析(1)f(0)2sin 2sin 1.(2)由题意知，f，f(32)，即2sin ，2cos ，sin ，cos ；cos ，sin .sin ()sin cos cos sin .21(12分)(2011山东)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b
12、，c，已知.(1)求的值；(2)若cos B，b2，求ABC的面积S.解析(1)由正弦定理，设k，则，所以.即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化简可得sin(AB)2sin(BC)又ABC，所以sin C2sin A.因此2.(2)由2得c2a.由余弦定理b2a2c22accos B及cos B，b2，得4a24a24a2.解得a1.从而c2.又因为cos B，且0B，所以sin B.因此Sacsin B12.22(14分)已知向量a(sin 3x，y)，b(m，cos 3xm)(mR)，且ab0.设yf(x)(1)求f(x)的表达式，并求函数f(x)在上图象最低点M的坐标；(2)若对任意x，f(x)t9x1恒成立，求实数t的范围解析(1)因为ab0，即消去m，得ysin 3xcos 3x，即f(x)sin 3xcos 3x2sin，当x时，3x，sin，即f(x)的最小值为1，此时x.所以函数f(x)的图象上最低点M的坐标是.(2)由题，知f(x)t9x1，即2sin9xt1，当x时，函数f(x)2sin单调递增，y9x单调递增，所以y2sin9x在上单调递增，所以y2sin9x的最小值为1，即要2sin9xt1在任意x上恒成立，只要t11，即t0.故实数t的范围为(，0)
