1、专题检测(四)立体几何(本卷满分150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知直线a、b是两条异面直线，直线c平行于直线a，则直线c与直线bA一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线解析若cb，ca，ab，与a，b是异面直线矛盾，故选C.答案C2(2011抚顺模拟)两个平面与相交但不垂直，直线m在平面内，则在平面内A一定存在直线与m平行，也一定存在直线与m垂直B一定存在直线与m平行，但不一定存在直线与m垂直C不一定存在直线与m平行，但一定存在直线与m垂直D不一定存在直线与m
2、平行，也不一定存在直线与m垂直解析直线m在平面内，直线m与平面、的交线的位置关系有两种可能：平行或相交，当平行时，在平面内一定存在直线与m平行，也一定存在直线与m垂直，当相交时，在平面内不存在直线与m平行，但一定存在直线与m垂直，故选C.答案C3设m、n是平面内的两条不同直线，l1、l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分不必要条件是Al1m，l1n Bml1，ml2Cml1，nl2 Dmn，l1n解析由ml1，ml2，l1、l2是平面内两条相交直线，知m，又m，所以；若，m，则未必有m，未必有ml1，ml2，故选B.答案B4一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底长均为
3、1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是A. B1C1 D2解析设平面图形的直观图为四边形OABC，建立如图1所示的坐标系，按照斜二测画法的规则可知，在原来的平面图形(图2)中OCOA，且OC2，BC1，OA121，故这个平面图形的面积为(11)22.答案D5如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的是APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45解析PA平面ABC，ADP是直线PD与平面ABC所成的角，六边形ABCDEF是正六边形，AD2AB.tan ADP1，直线PD与平面ABC所成的角为45，选D.答
4、案D6(2011北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是A8 B6C10 D8解析将三视图还原成几何体的直观图如图所示它的四个面的面积分别为8,6,10，6，故最大的面积应为10.答案C7设a，b是两条不重合的直线，是两个不同的平面，则下列命题中错误的是A若a，a，则B若b是内任意一条直线，a，ab，则C若a，b，则abD若a，b，则ab解析若a，a，则，A选项正确；由线面垂直定义知a，又a，B选项正确；若a，b，则ab，C选项正确；若a，b，则ab或a与b异面，D选项不正确，故应选D.答案D8将正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角，则异面直线AB与CD所成的角是A
5、30 B45C60 D90解析如图所示，设正方形ABCD的对角线的交点为O，由ABCD可得，DCD就是异面直线AB与CD所成的角，由DO、OD、OC两两垂直且相等可知DDDCDC，即DCD是等边三角形，则DCD60，故应选C.答案C9(2011合肥模拟)一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形该四棱锥的体积等于A. B2C3 D6解析依题意知，该几何体是底面为一个直角梯形(该直角梯形的两底边长分别是1、2，高是2)，其中一个侧面是一个等边三角形，且垂直于底面的四棱锥，因此该四棱锥的体积是，选A.答案A10如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD
6、沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析由题意知，在四边形ABCD中，CDBD.在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD平面ABD，因此有ABCD.又因为ABAD，ADDCD，所以AB平面ADC，于是得到平面ADC平面ABC.答案D11(2011大连模拟)如图，平面平面，l，A，C是内不同的两点，B，D是内不同的两点，且A，B，C，D直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点下列判断正确的是A当|CD|2|AB|时，M，N
7、两点不可能重合BM，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行解析当M，N重合时，四边形ACBD为平行四边形，故ACBDl，此时直线AC与l不可能相交，B正确，易知A，C，D均不正确答案B12取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则此多面体：有12个顶点；有24条棱；有12个面；表面积为3a2；体积为a3. 以上结论正确的是A BC D解析由题意可知，正方体的12条棱的中
8、点均为此多面体的顶点，故共有12个顶点，而正方体的每个面上的四条棱的中点连成的小正方形的四条边均是此多面体的棱，故共有24条棱，作图易知共有14个面，表面积为(3)a2，体积为a383a3.答案A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分把答案填在题中的横线上)13一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_解析依题意得，该棱锥的体积等于(34)312.答案1214在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD4，DC3.则PAD以PA为轴旋转所围成的几何体的表面积为_解析过D作PA的垂线，垂足为H，则旋转所围成的几何体为以DH为底面半径，分别以PH，AH为高
9、的两个圆锥的组合体又侧棱PD底面ABCD，PDDA.又PD4，DADC3，PA5.DH.SDH(PDDA)7.答案15对于平面和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是_若m，n与所成的角相等，则mn若m，n，则mn若m，mn，则n若m，n，则mn解析若m，n与所成的角相等，则m与n平行、相交，应排除；若m，n，则m与n平行、相交，应排除；若m，mn，则n或n，应排除.答案16(2011课标全国卷)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC2，则棱锥OABCD的体积为_解析依题意棱锥OABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径，如图连接AC，取AC中点O，连接OO.易知AC4
10、，故AO2.在RtOAO中，OA4，从而OO2.所以VOABCD2628.答案8三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)如图所示为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，ECPD，且PDAD2EC2.(1)求四棱锥BCEPD的体积；(2)求证：BE平面PDA.解析(1)PD平面ABCD，PD平面PDCE，平面PDCE平面ABCD.BCCD，BC平面PDCE.S梯形PDCE(PDEC)DC323，四棱锥BCEPD的体积VBCEPDS梯形PDCEBC322.(2)证明ECPD，PD平面PDA，EC平面PDA，EC平面PDA.
11、同理可得BC平面PDA.EC平面EBC，BC平面EBC，且ECBCC，平面BEC平面PDA.又BE平面EBC，BE平面PDA.18(12分)(2011陕西)如图，在ABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值解析(1)证明折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB.又DBDCD，AD平面BDC.AD平面ABD，平面ADB平面BDC.(2)由BDC90及(1)，知DA，DB，DC两两垂直不妨设|DB|1，以D为坐标原点，分别以，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的
12、空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E，(1,0,0)，与夹角的余弦值为cos，.19(12分)如图，已知点H在正方体ABCDABCD的对角线BD上，HDA60.(1)求DH与CC所成角的大小；(2)求DH与平面AADD所成角的大小解析以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz(图略)设H(m，m,1)(m0)，则(1,0,0)，(0,0,1)连接BD.(m，m,1)(m0)，由已知，60，|cos ，可得2m，解得m，所以.(1)因为cos ，所以，45，即DH与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)因
13、为cos ，所以，60，可得DH与平面AADD所成的角为30.20(12分)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2，ABC120，又顶点A1在底面ABC上的射影落在AC上，侧棱AA1与底面成60角，D为AC中点(1)求证：AA1BD；(2)若侧棱长AA1，求证：A1D平面BDC1.证明(1)在斜三棱柱ABCA1B1C1中，因为A1在底面ABC上的射影落在AC上则平面A1ACC1经过底面ABC的垂线，故侧面A1C平面ABC.又BD为等腰ABC底边AC上的中线，则BDAC.BD平面A1C，又AA1平面A1C，AA1BD.(2)在ABC中，ABBC2.ABC120，则由余弦定理可知AC2，
14、D为AC中点，故ADDC.AA1和底面ABC所成角为60，则A1AC60.在A1ACC1中，A1AAD，A1AD60.A1D，DC()2()22cos 1209，又A1C12.在A1C1D中，由勾股定理可知A1DC190，A1DDC1.又由(1)可知BD平面A1C，则BDA1D.因此A1D和平面BDC1内相交直线BD、DC1均垂直A1D平面DBC1.21(12分)在边长为5的菱形ABCD中，AC8.现沿对角线BD把ABD折起，折起后使ADC的余弦值为.(1)求证：平面ABD平面CBD；(2)若M是AB的中点，求折起后AC与平面MCD所成角的一个三角函数值解析(1)证明在菱形ABCD中，记AC，
15、BD的交点为O，AD5，OA4，OD3，翻折后变成三棱锥ABCD，在ACD中，AC2AD2CD22ADCDcos ADC252525532，在AOC中，OA2OC232AC2，AOC90，即AOOC，又AOBD，OCBDO，AO平面BCD，又AO平面ABD，平面ABD平面CBD.(2)由(1)知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OC，OD，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,4)，B(0，3,0)，C(4,0,0)，D(0,3,0)，M，(4，3,0)，(4,0，4)，设平面MCD的一个法向量为n(x，y，z)，则由，得，令y4，有n(3,4,9)，设AC与平面MCD
16、所成的角为，sin |cos ，n|，AC与平面MCD所成角的正弦值为.22(14分)(2011湖南)如图，在圆锥PO中，已知PO，O的直径AB2，C是的中点，D为AC的中点(1)证明：平面POD平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值解析解法一(1)证明如图所示，连接OC，因为OAOC，D是AC的中点，所以ACOD.又PO底面O，AC底面O，所以ACPO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC平面POD，而AC平面PAC，所以平面POD平面PAC.(2)在平面POD中，过O作OHPD于H，由(1)知，平面POD平面PAC，所以OH平面PAC.又PA平面PAC，所以PAOH.在
17、平面PAO中，过O作OGPA于G，连接HG，则有PA平面OGH.从而PAHG，故OGH为二面角BPAC的平面角在RtODA中，ODOAsin 45.在RtPOD中，OH.在RtPOA中，OG.在RtOHG中，sinOGH.所以cosOGH.故二面角BPAC的余弦值为.解法二(1)证明如图所示，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D.设n1(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，则由n10，n10，得所以z10，x1y1.取y11，得n1(1,1,0)设n2(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，则由n20，n20，得所以x2z2，y2z2.取z21，得n2(，1)因为n1n2(1,1,0)(，1)0，所以n1n2.从而平面POD平面PAC.(2)因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为n3(0,1,0)由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2(，1)设向量n2和n3的夹角为，则cos .由图可知，二面角BPAC的平面角与相等，所以二面角BPAC的余弦值为.
