1、优培17 圆锥曲线的几何性质1、椭圆的几何性质例1：已知圆，圆，椭圆的焦距为，若圆都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是 【答案】【解析】由题意，得圆的圆心分别为和，半径均为，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆都在椭圆内，则需满足不等式，所以离心率2、抛物线的几何性质例2：已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，交圆于，两点，其中，位于第一象限，则的值不可能为（ ）A3B4C5D6【答案】A【解析】作图如下：可以作出下图，由图可得，可设，则，根据抛物线的常用结论，有，则，又，得，则的值不可能为3，答案选A3、双曲线的几何性质例3：设分别为双曲线的左、右焦点，过引圆的切线交双曲线的右
2、支于点为切点，为线段的中点，O为坐标原点，则等于 【答案】1【解析】连接，则有，于是有一、选择题1抛物线的焦点为，点是上一点，则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据抛物线焦半径公式可得，所以2设椭圆的左焦点为，直线（）与椭圆交于，两点，则的值是（ ）ABCD【答案】C【解析】设椭圆的右焦点为，连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以3设，是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为（ ）A定值B定值C定值D不确定，随点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长F1Q，交PF2于点T，是F1PF2的角分线TF1是的垂线，是
3、TF1的中垂线，|PF1|PT|，P为双曲线1上一点，|PF1|PF2|2a，|TF2|2a，在三角形F1F2T中，QO是中位线，|OQ|a，故选A4已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，且在第一象限，垂足为，则直线的倾斜角等于（ ）ABCD【答案】B【解析】由抛物线知焦点的坐标为，准线的方程为，由抛物线定义可知，所以点的坐标为，因此点的坐标为，所以，所以直线的倾斜角等于5定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角已知双曲线，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意可得，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，双曲线的渐近线为，
4、则结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为6已知直线过点且与椭圆相交于，两点，则使得点为弦中点的直线斜率为（ ）ABCD【答案】C【解析】设，则，两式相减又由点为弦的中点，7抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为点在抛物线上，所以，点到准线的距离为，解得或，当时，故舍去，所以抛物线的方程为，所以是正三角形，边长为，其内切圆的方程为，如图所示，设点（为参数），则，8椭圆与双曲线焦点相同，为左焦点，曲线与在第一象限，第三象限的交点分别为，且，则当这两条曲线的离心
5、率之积最小时，双曲线有一条渐近线方程是（ ）ABCD【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为，由题意点与点关于原点对称，因此，又，所以，由椭圆与双曲线定义可得，所以，根据余弦定理可得，即，化简得，所以离心率乘积为，当且仅当时，取等号，由，所以，所以，再将代入可得，所以双曲线的渐近线方程为或二、填空题9已知抛物线的焦点为，点在轴的正半轴上，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与抛物线的准线交于点，若，则 【答案】【解析】由题可知，设点，则，解得，代入抛物线，得，解得（舍负），故，可得，根据对称性得，所以10已知椭圆（）的离心率，为椭圆上的一个动点，则与定点连线距离的最大值为 【答案】【解析】椭圆（）的
6、离心率，可得，解得，椭圆方程为，设，则与定点连线距离为，当时，取得最大值三、解答题11已知抛物线的方程，焦点为，已知点在上，且点到点的距离比它到轴的距离大（1）试求出抛物线的方程；（2）若抛物线上存在两动点（在对称轴两侧），满足（为坐标原点），过点作直线交于两点，若，线段上是否存在定点，使得恒成立?若存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，为【解析】（1）因为到点的距离比它到轴的距离大，由题意和抛物线定义，所以抛物线的方程为（2）由题意，设，由，得若直线斜率存在，设斜率为，直线，整理可得，直线，与联立得，故可得，若点存在，设点坐标为，时，解得或（不是定点，舍去），则
7、点为，经检验，此点满足，所以在线段上；若斜率不存在，则，此时点满足题意，综上所述，定点为12已知椭圆的离心率，且椭圆过点（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与交于、两点，点在椭圆上，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由【答案】（1）；（2）是定值，其定值为【解析】（1）设椭圆的焦距为，由题意可得，解得，因此，椭圆的标准方程为（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或若直线的方程为，联立，可得，此时，四边形的面积为，同理，当直线的方程为时，可求得四边形的面积也为；当直线的斜率存在时，设直线方程是，代人到，得，点到直线的距离，由，得，点在椭圆上，所以有，整理得，由题意知，四边形为平行四边形，平行四边形的面积为，故四边形的面积是定值，其定值为
