1、5.1.2导数的概念及其几何意义学 习 目 标核 心 素 养1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景2了解导函数的概念，理解导数的几何意义3根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程(重点)4正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程(易混点)1.通过导数概念和导数几何意义的学习，培养学生数学抽象及直观想象的核心素养2借助切线方程的求解，提升学生的数学运算核心素养.巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员在陡峭程度不同时，运动员的感受是不一样的，如何用数学反映山势的陡峭程度，给登山运动员一些有益的技术参考？思考：什么是平均变化率？如何理解瞬时变化率？1导数的概
2、念如果当x0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称yf (x)在xx0处可导，并把这个确定的值叫做yf (x)在xx0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f (x0)或y|，即f (x0) .思考：f (x0)0和f (x0)0反映了怎样的意义？提示f (x0)0反映了瞬时变化率呈增长趋势，f (x0)0反映了瞬时变化率呈下降趋势2导数的几何意义(1)导数的几何意义如图，割线P0P的斜率k.记xxx0，当点P沿着曲线yf (x)无限趋近于点P0时，即当x0时，k无限趋近于函数yf (x)在xx0处的导数，因此，函数yf (x)在xx0处的导数f (x0)就是切线P0T的斜率k0，即
3、k0 f (x0)(2)切线方程曲线yf (x)在点(x0，f (x0)处的切线方程为yf (x0)f (x0)(xx0)3导函数对于函数yf (x)，当xx0时，f (x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f (x)便是x的一个函数，我们称它为yf (x)的导函数(简称为导数)，即f (x)y .思考： f (x0)与f (x)有什么区别？提示f (x0)是一个确定的数，而f (x)是一个函数1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yf (x)在xx0处的导数即为在该点处的斜率，也就是kf (x0)()(2)f (x1)f (x2)反映了曲线在xx1处比在xx2处瞬时变化率较大()
4、(3)f (x0)就是导函数yf (x)在x0处的函数值()(4)若f (x0)0，则曲线在xx0处切线不存在()提示(1)根据导数的几何意义知正确(2)若|f (x0)|越大，瞬时变化率越大，故错误(3)根据导函数的定义知正确(4)若f (x0)0说明曲线在xx0处切线平行于x轴，不能说不存在答案(1)(2)(3)(4)2若曲线yf (x)在点(x0，f (x0)处的切线方程为2xy10，则()Af (x0)0Bf (x0)0Cf (x0)0Df (x0)不存在C由题意可知，f (x0)20，故选C.3(教材P70习题T6改编)函数yf (x)的图象如图所示，下列描述错误的是()Ax5处比x
5、2处变化快Bx4处呈上升趋势Cx1和x2处增减趋势相反Dx0处呈上升趋势D根据导数的几何意义：f (5)0，f (4)0，f (2)0，f (0)0，f (1)f (2)0，故D错误，故选D.4已知函数f (x)在x0处的导数为f (x0)1，则函数f (x)在x0处切线的倾斜角为_45设切线的倾斜角为，则tan f (x0) 1，又0，180)，45.5若函数f (x)在点A(1，2)处的导数是1，那么过点A的切线方程是_xy30切线的斜率为k1.点 A(1，2)处的切线方程为y2(x1)，即xy30.求函数在某点处的导数【例1】(1)若函数yf (x)在xx0处可导，则 等于()Af (x
6、0) B2f (x0) C2f (x0) D0(2)求函数y3x2在x1处的导数(1)Bx(x0h)(x0h)2h. 2 2f (x0)故选B.(2)解：yf (1x)f (1)3(1x)236x3(x)2，63x，f (1) (63x)6.利用导数定义求导数(1)取极限前，要注意化简，保证使x0时分母不为0.(2)函数在x0处的导数f (x0)只与x0有关，与x无关.(3)导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.跟进训练1建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，yf (x)0.3，求f (100)，并解释它的实际意义解根据导数的定义，得f (100) 0.105.f (
7、100)0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2.导数几何意义的应用【例2】(1)已知函数yf (x)的图象如图所示，则其导函数yf (x)的图象可能是() A B CD(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是()A B C D思路探究(1)切线斜率大于零，则f (x)0；切线斜率小于零，则f (x)0；(2)要明确运输效率的含义，题设中已经给出运输效率即单位时间内的运输量，因此，
8、运输效率逐步提高就是指Q(t)不断增大(1)B(2)B(1)由yf (x)的图象及导数的几何意义可知，当x0时，f (x)0；当x0时，f (x)0；当x0时，f (x)0，故B符合(2)从函数图象上看，要求图象在0，T上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高故选B.导数几何意义理解中的两个关键关键点一：yf (x)在点xx0处的切线斜率为k，则k0f (x0)0；k0f (x0)0；k0f (x0)0.关键点二：|f (x0)|越大在x0处瞬时变化越快；|f (x0)|越小在x0处瞬时变化越慢.跟进训练2(1)已知yf (x)的图
9、象如图所示，则f (xA)与f (xB)的大小关系是()Af (xA)f (xB)Bf (xA)f (xB)Cf (xA)f (xB)D不能确定(2)若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1Da1，b1(1)B(2)A(1)由导数的几何意义，f (xA)，f (xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f (xA)f (xB)(2)由题意，知ky|x0 1，a1.又点(0，b)在切线上，b1，故选A.求切线方程探究问题1如何求曲线f (x)在点(x0，f (x0)处的切线方程？提示yy0k(xx0)即根据导数的几何意义，求出函数
10、yf (x)在点(x0，f (x0)处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程2曲线f (x)在点(x0，f (x0)处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？提示曲线f (x)在点(x0，f (x0)处的切线，点(x0，f (x0)一定是切点，只要求出kf (x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f (x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点3曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？提示不一定曲线yf (x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线yf (x)的交点个数不一定只有一个，如图所示【例3
11、】已知曲线C：yx3.(1)求曲线C在横坐标为x1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程思路探究(1)(2) 解(1)将x1代入曲线C的方程得y1，切点P(1，1)y|x1 33x(x)23.ky|x13.曲线在点P(1，1)处的切线方程为y13(x1)，即3xy20.(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y|3x，由题意可知kPQy|，即3x，又y0x，所以3x，即2x3x10，解得x01或x0.当x01时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3xy20.当x0时，切点坐标为，相应的切线方程为y，即3x4y10.1(变条件)把题中条件“yx3”改成“yx2”，求曲线
12、在x1点处的切线方程解把x1代入yx2得y121.即切点P(1，1)，y|x1 (x2)2，ky|x12.曲线yx2在P(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即2xy10.2(变条件、变结论)求曲线yx21过点P(1，0)的切线方程解设切点为Q，k (2ax)2a.在Q点处的切线方程为y(a21)2a(xa)(*)把点(1，0)代入(*)式得(a21)2a(1a)解的a1.再把a1代入到(*)式中即得y(22)x(22)或y(22)x(22)这就是所求的切线方程利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数yf (x)
13、在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程yy0f (x0)(xx0)(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程1函数f (x)在xx0处的导数f (x0)0并不能说明函数图象的上升与下降发生了转变，若函数在xx0左右的导数都大于0，或者都小于0，则函数图象的走势并没有发生转变如函数f (x)x3在x0处的导数等于0，但f (x)x3的图象一直上升2求切线方程时，不仅要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解(1)若“在”，则该点为切点(2)若“过”，则该点不一
14、定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点3曲线在某点处切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢1下面说法正确的是()A若f (x0)不存在，则曲线yf (x)在点(x0，f (x0)处没有切线B若曲线yf (x)在点(x0，f (x0)处有切线，则f (x0)必存在C若f (x0)不存在，则曲线yf (x)在点(x0，f (x0)处的切线斜率不存在D若曲线yf (x)在点(x0，f (x0)处没有切线，则f (x0)有可能存在C根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错
15、误2已知函数yf (x)是可导函数，且f (1)2，则 ()A B2C1D1C由题意可得： f (1)，即： 21.故应选C.3设曲线f (x)ax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于()A1 B C D1A因为f (1) (2aax)2a，所以2a2，所以a1.4曲线f (x)在点(2，1)处的切线方程为_x2y40f (2) ，切线方程为y1(x2)，即x2y40.5已知曲线y2x27在点P处的切线方程为8xy150，求切点P的坐标解设切点P(m，n)，切线斜率为k，由y (4x2x)4x，得ky|xm4m.由题意可知4m8，m2.代入y2x27得n1.故所求切点P为(2，1)