1、专题练习十二 几何类比拓展探究第四章 图形的相似1【提出问题】(1)如图，在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN.求证：ABCACN；【类比探究】(2)如图，在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其它条件不变，(1)中结论ABCACN还成立吗？请说明理由；【拓展延伸】(3)如图，在等腰三角形ABC中，BABC，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使顶角AMNABC.连接CN.试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由解：(1)证明：ABC，AMN
2、是等边三角形，ABAC，AMAN，BACMAN60，BAMCAN，在BAM 和CAN 中，ABAC，BAMCAN.AMAN，BAMCAN，ABCACN(2)结论ABCACN 仍成立，理由如下：ABC，AMN 是等边三角形，ABAC，AMAN，BACMAN60，BAMCAN.在BAM 和CAN 中，ABAC，BAMCAN，AMAN，BAMCAN，ABCACN(3)ABCACN，理由如下：BABC，MAMN，ABCAMN，BACMAN，ABCAMN，ABAC AMAN.又BAMBACMAC，CANMANMAC，BAMCAN，BAMCAN，ABCACN2如图，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线
3、 AC 上，GEBC，垂足为点 E，GFCD，垂足为点 F.(1)证明与推断：求证：四边形 CEGF 是正方形；推断：AGBE 的值为_；(2)探究与证明：将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针旋转角(045)，如图所示，试探究线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由；2(3)拓展与运用：正方形 CEGF 在旋转过程中，当 B，E，F 三点在一条直线上时，如图所示，延长 CG 交 AD 于点 H.若 AG6，GH2 2，则 BC_.3 5解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，BCD90，BCA45.GEBC，GFCD，CEGCFGECF90，四边形 CEGF 是矩形CGEECG45
4、，EGEC，四边形 CEGF 是正方形点拨：由知四边形 CEGF 是正方形，CEGB90，ECG45，CGCE 2，GEAB，AGBE CGCE 2(2)连接 CG，由旋转的性质可知BCEACG，在 RtCEG 和 RtCBA中，ECGBCA45，CECG 22，CBCA 22，CGCE CACB 2，ACGBCE，AGBE CACB 2，线段 AG 与 BE 之间的数量关系为 AG 2 BE(3)点拨：CEF45，点 B，E，F 三点共线，BEC135.ACGBCE，AGCBEC135，AGHCAH45.又CHAAHG，AHGCHA，AGAC GHAH AHCH.设 BCCDADa，则 AC
5、2 a，由AGAC GHAH 可得 62a 2 2AH，AH 23 a，DH 13 a，CH CD2DH2 103a，由AGAC AHCH 可得 62a 23a103 a，解得 a3 5，即 BC3 53(河南中考)(1)问题发现：如图，在OAB 和OCD 中，OAOB，OCOD，AOBCOD40，连接 AC，BD 交于点 M.填空：ACBD 的值为_；AMB 的度数为_；(2)类比探究：如图，在OAB 和OCD 中，AOBCOD90，OABOCD30，连接 AC 交 BD 的延长线于点 M.请判断ACBD 的值及AMB 的度数，并说明理由；140(3)拓展延伸：在(2)的条件下，将OCD 绕
6、点 O 在平面内旋转，AC，BD 所在的直线交于点 M，若 OD1，OB 7，请直接写出当点 C 与点 M 重合时 AC 的长解：(2)ACBD 3，AMB90，理由如下：在 RtCOD 中，DCO30，DOC90，OC 3 OD，ODOC 33.同理可得OBOA 33，ODOC OBOA.又AOBCOD90，AOCBOD，AOCBOD，ACBD OCOD 3，CAODBO，AMB180(MABABM)180(OABABMDBO)90(3)当点 C 如答图与点 M 重合时，同(2)可证得AOCBOD，进而可求得AMB90，ACBD 3.设 BDx，则 AC 3 x.在 RtCOD 中，OCD3
7、0，OD1，CD2，BCx2.在 RtAOB 中，OAB30，OB 7，AB2OB2 7.又在 RtAMB 中，AC2BC2AB2，(3 x)2(x2)2(2 7)2，解得 x13，x22(不合题意，舍去)，AC3 3；当点 C 如答图与点 M 重合时，同可得在 RtAMB 中，AC2BC2AB2，(3 x)2(x2)2(2 7)2，解得 x13(不合题意，舍去)，x22，AC2 3.综上所述，AC 的长为 33 或 2 34如图，在 RtABC 中，ACB90，BCAC mn，CDAB 于点 D，点 E是直线 AC 上的一动点，连接 DE，过点 D 作 FDED，交直线 BC 于点 F.(1
8、)探究发现：如图，若 mn，点 E 在线段 AC 上，则DEDF _；(2)数学思考：如图，若点 E 在线段 AC 上，则DEDF _；(用含 m，n 的代数式表示)当点 E 在直线 AC 上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图的情形给出证明；1nm(3)拓展应用：在(2)的条件下，若 AC 5，BC2 5，DF4 2，请直接写出 CE 的长解：(2)成立，证明：ACB90，AABC90.又CDAB，DCBABC90，ADCB.FDEADC90，FDECDE ADCCDE，即ADECDF，ADE CDF，DEDF ADDC.ADCB，ADCBDC90，ADCCDB，ADDC ACBC nm，DEDF nm(3)CE25 或2 55.点拨：由(2)得ADECDF，ADCCDBDEDF ACBC 12，ADCD AECF DEDF 12，CF2AE.在 RtDEF 中，DE2 2，DF4 2，EF2 10.若点 E 在线段 CA 的延长线上，CE25 或 CE2 55(舍去)；若点 E 在线段 AC 的延长线上，CE2 55或 CE2 5(舍去)；若点 E 在线段 AC 上，不满足题意综上所述，CE25 或2 55
