1、6.3.2二项式系数的性质新版课程标准学业水平要求通过杨辉三角,了解中华优秀传统文化中的数学成就,进一步理解二项式定理.水平一1.了解杨辉三角,并探索其中的规律.(数学抽象)2.掌握二项式系数的性质及其应用,掌握“赋值法”并会灵活运用.(逻辑推理、数学运算)水平二通过杨辉三角,了解中华优秀传统文化中的数学成就,初步体会“数学的美” (数学抽象)必备知识素养奠基1.对称性(1)与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即=.(2)直线r=将函数f(r)=的图象分成对称的两部分,是图象的对称轴;2.增减性与最大值(1)当1,即k时,随k的增加而减小.(2)当n是偶数时,中间一项取得最大值;当n是奇
2、数时,中间的两项与相等,且同时取最大值.(1)二项式的系数取得最大值的项的系数一定是系数中最大的吗?提示:不一定.如果项的系数中还有其他的常数,则该项的系数不一定最大.(2),之间有什么关系?提示:=+.3.各二项式系数的和2n=+=?+=?提示:+=+=2n-1.4.杨辉三角的特点(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即=+.1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).()(2)二项式展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和.()(3
3、)二项展开式项的系数是先增后减的.()(4)杨辉三角中每行两端的数都是1.()提示:(1).二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的,二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项),但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关.(2).在二项式(a+b)n中只有当a,b的系数都为1时,展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和.(3).二项式系数是随n的增加先增后减的,二项式项的系数和a,b的系数有关.(4).根据杨辉三角的特点可知.2.的展开式中第8项是常数,则展开式中系数最大的项是()A.第8项 B.第9项C.第8项和第9项D.第11项和第12项【解析】选D.二项式展开式的通项
4、公式为Tr+1=,令r=7,则n-=0,解得n=21,通项公式可化简为.由于n=21,一共有22项,其中最大的项为r=10,11两项,即展开式的第11项和第12项.3.(2x-1)6展开式中各项系数的和为_;各项的二项式系数和为_.【解析】令展开式左、右两边x=1,得各项系数和为1;各二项式系数之和为26=64.答案:1644.(2-x)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,则a8=_.【解析】由题意可知a8是x8的系数,所以a8=22=180.答案:180关键能力素养形成类型一二项式系数性质的应用【典例】1.(2020重庆高二检测)(mx+)n(nN+)的展开式中,各二项式系数之和为3
5、2,各项系数之和为243,则展开式中x3的系数为()A.40B.30C.20D.102.已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是563.(1)求展开式中的所有有理项.(2)求展开式中系数绝对值最大的项.(3)求n+9+81+9n-1的值.【思维引】1.由题意利用二项式系数的性质求出n的值,从而求出m的值,再利用二项展开式的通项公式,求出展开式中x3的系数.2.根据二项式定理的通项找出第5项与第3项的系数,由其比值求出n的值.(1)借助二项式定理的通项找出有理项;(2)写出展开式系数的通项,利用系数绝对值最大的项,其系数的绝对值不小于前后两项的系数的绝对值,即可得出关于项数的不等式组,
6、结合项数为正整数这一前提条件即可求出系数绝对值最大的项;(3)将所求式子改为二项展开式的形式,根据二项式定理求解.【解析】1.选D.因为(mx+)n的展开式中,各二项式系数之和为2n=32,所以n=5.再令x=1,可得各项系数之和为(m+1)5=243=35,所以m=2,则展开式中的通项公式为Tk+1=25-k,令5-=3,可得k=4,故展开式中x3的系数为2=10.2.(1)由(-2)4(-2)2=563解得n=10,因为通项:Tr+1=()10-r=(-2)r,当5-为整数时,r可取0,6展开式是常数项,于是有理项为T1=x5和T7=13 440.(2)设第r+1项系数绝对值最大,则解得又
7、因为r1,2,3,9,所以r=7,当r=7时,T8=-15 360,又因为当r=0时,T1=x5,当r=10时,T11=(-2)10=1 024,所以系数绝对值最大的项为T8=-15 360.(3)原式=10+9+81+910-1=.【类题通】二项式定理应用的常见类型及相关解题策略(1)求特殊项及系数,此类问题的求解关键在于求出指定项是第几项;(2)近似计算问题,解决此类问题要注意题目结果精确到什么或保留几位有效数字,以便考虑最后一项的取值一般要四舍五入,求数的n次幂的近似值时,把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数的形式;(3)证明有关的不等式问题,有些不等式可应用二项式定理,结合放缩法证明
8、,即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小),或把某些负项删去(放大),使等式转化为不等式,然后再根据不等式的传递性进行证明;(4)整除与求余问题,此类题目往往考虑用数学归纳法证明,但是步骤较为烦琐,而用二项式定理明显更简洁;(5)利用赋值法求各项系数的和的问题.【习练破】若等差数列an的首项为a1=-(mN*),公差是展开式中的常数项,其中k为7777-15除以19的余数,求通项公式an.【解析】由题意可得解得m,因为mN*,所以m=2,所以a1=-=100,又因为7777-15=(1+194)77-15=+(194)+(194)77-15=(194)+(194)+(194)76-19+5,
9、所以7777-15除以19的余数为5,即k=5.又Tk+1=(-1)k,令5k-15=0,可解得k=3,所以d=(-1)3=-4,所以an=a1+(n-1)d=104-4n.类型二展开式中项的应用角度1求展开式的系数和【典例】1.若=a0+a1x+a9x9,xR,则a12+a222+a929的值为()A.29B.29-1C.39D.39-12.设=a0+a1x+a2x2+a10x10,则a2=_,(a0+a2+a4+a10)2 -的值为_.【思维引】1.先令x=0求出a0,再令x=2求出a0+2a1+22a2+29a9的值即可得出结果.2.结合二项式系数公式计算a2,令x=1或-1,代入,计算
10、结果即可.【解析】1.选D.令x=0,则a0=1,令x=2,则a0+2a1+22a2+29a9=39, 所以2a1+22a2+29a9=39-1 .2.利用二项式系数公式,T3=x2=720x2,故a2=720,利用赋值法,令x=1有a0+a1+a10=,a0-a1+a2-+a10=,故(a0+a2+a4+a10)2 -=1.答案:7201角度2展开式中的最大项问题【典例】1.(2020随州高二检测)在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中系数最小的项的系数为()A.-126B.-70 C.-56D.-282.已知(1+3x)n的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求:(1
11、)展开式中二项式系数最大的项.(2)展开式中系数最大的项.(结果可以以组合数形式表示)【思维引】1.中间有一项是第5项得n=8,奇数项的系数与二项式系数相同,偶数项的系数是二项式系数的相反数.2.(1)先根据末三项的二项式系数的和等于121,求n,再根据二项式系数性质求最大项.(2)根据二项式展开式通项公式得项系数,再根据相邻项关系列不等式组,解得系数最大的项的项数,最后根据二项式展开式通项公式得项.【解析】1.选C.由题意可得:n=8.所以二项展开式的通项公式Tk+1=x8-k=(-1)k,要使该项系数(-1)k最小,k为奇数,取1,3,5,7,经过检验,当k=3或5时,系数(-1)k最小,
12、即第4项系数等于第6项系数,且最小,所以展开式中系数最小的项的系数为-56.2.(1)由已知得+=121,则n(n-1)+n+1=121,即n2+n-240=0,解得n=15,或n=-16(舍去),所以,展开式中二项式系数最大的项是T8=(3x)7和T9=(3x)8.(2)Tr+1=(3x)r,设1,则1,即1,解得r12,同理,由1,解得r11,所以展开式中系数最大的项对应的r=11,12,即展开式中系数最大的项是T12=(3x)11和T13=(3x)12.【类题通】(1)求二项式系数最大的项,要依据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项
13、是不同的.求展开式系数最大的项,如求(a+bx)n(a,bR)展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法.设展开式各项系数分别为A1,A2,An+1,且第r+1项系数最大,应用解出r来,即得系数最大的项.【发散拓】1.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cR,m,nN*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,bR,nN*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.2.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+=,偶数项系数之和为a1
14、+a3+a5+=.【延伸练】1.若(1-2x)2 019=a0+a1x+a2x2+a2 018x2 018+a2 019x2 019,则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+(a0+a2 019)=_.(用数字作答)【解析】由题意,可知(1-2x)2 019=a0+a1x+a2x2+a2 018x2 018+a2 019x2 019,令x=0,可得a0=1,令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a2 019=-1,所以(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+(a0+a2 019)=2 018a0+(a0+a1+a2+a3+a2 019) =2 0181-1=2 017.答案:
15、2 0172.在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和.(2)各项系数之和.(3)所有奇数项系数之和.【解析】设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+a9y9.(1)二项式系数之和为+=29.(2)各项系数之和为a0+a1+a2+a9,令x=1,y=1,所以a0+a1+a2+a9=(2-3)9=-1.(3)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-a9=59,又a0+a1+a2+a9=-1,将两式相加可得a0+a2+a4+a6+a8=,即所有奇数项系数之和为.【习练破】1.已知Sn是数列an的前n项和,若(1-2x)2 021=b0+b1x+b2x2+b2
16、021x2 021,数列an的首项a1=+,an+1=SnSn+1,则S2 021=()A.- B.C.2 021 D.-2 021【解析】选A.令x=,得(1-2)2 021=b0+=0.又因为b0=1,所以a1=+=-1.由an+1=SnSn+1=Sn+1-Sn,得=-=1,所以-=-1,所以数列是首项为=-1,公差为-1的等差数列,所以=-1+(n-1)(-1)=-n,所以Sn=-,所以S2 021=-.2.若展开式中前三项的系数之和为15,(1)展开式中是否有常数项,说明理由.(2)求展开式中系数最大的项.【解析】(1)Tr+1=(-1)r,所以由已知得:1-+=15,解得n=7,所以
17、Tr+1=(-1)r(r=0,1,27),因为7-=0无整数解,所以展开式中无常数项.(2)由Tr+1=(-1)r知展开式中各项系数的绝对值就为二项式系数,所以展开式中的第5项为系数最大的项,即T5=35x.【加练固】1.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+a11x10,若数列a1,a2,a3,ak(1k11,kZ)是一个单调递增数列,则k的最大值是_.【解析】(x+1)n展开式的各项系数为其二项式系数,当n=10时,展开式的中间项第六项的二项式系数最大,故k的最大值为6.答案:62.已知f(x)=展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项.(
18、2)求展开式中系数最大的项.【解析】(1)令x=1,则二项式各项系数的和为f(1)=(1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知,4n-2n=992.所以(2n)2-2n-992=0,所以(2n+31)(2n-32)=0,所以2n=-31(舍),或2n=32,所以n=5.由于n=5为奇数,所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是T3=()3(3x2)2=90x6,T4=()2(3x2)3=270.(2)展开式的通项公式为Tr+1=3r.假设Tr+1项系数最大,则有所以所以所以r,因为rN,所以r=4.所以展开式中系数最大的项为T5=34=405.类型三与杨辉三
19、角有关的问题【典例】1.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第_行中从左到右第14与第15个数的比为23.2.如图所示,在“杨辉三角”中,从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,记其前n项和为Sn,求S16的值.【思维引】1.先表示出第n行的第14与第15个数,根据其比值得出关于n的方程,进而求出n的值.2.先表示出Sn,结合组合数性质求解.【解析】1.设第n行从左至右第14与第15个数之比为23,则=23.所以3=2,即=,得=,所以n=34.答案:342.由题意及杨辉三角的特点可得S16=(1+2)+(3+3)+(6+4)+(10+5)+(36+9)=
20、(+)+(+)+(+)+(+)=(+)+(2+3+9)=+=164.【类题通】解决与杨辉三角有关的问题的一般思路【习练破】1.如图所示,满足第n行首尾两数均为n;表中的递推关系类似杨辉三角,则第n行(n2)的第2个数是_.1223434774511141156162525166【解析】由题图中数字规律可知,第n行的第2个数是+1=+1.答案:2.在杨辉三角中,除1以外每一数值是它左上角和右上角两个数值之和,三角形开头几行如下:第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15 10 1051 利用杨辉三角展开(1-x)6.【解析】由杨辉三角知,第6行二项式系数为:1,6,1
21、5,20,15,6,1.所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6.令其中a=1,b=-x,得(1-x)6=1-6x+15x2-20x3+15x4-6x5+x6.课堂检测素养达标1.在(x+y)n的展开式中,第4项与第8项的系数相等,则展开式中系数最大的项是()A.第6项B.第5项C.第5,6项D.第6,7项【解析】选A.由题意,得第4项与第8项的系数相等,则其二项式系数也相等,所以=,由组合数的性质,得n=10.所以展开式中二项式系数最大的项为第6项,它也是系数最大的项.2.(nN*)的展开式中,系数最大的项是()A.第+1项 B.第n项C.第
22、n+1项 D.第n项与第n+1项【解析】选C.在(1+x)2n(nN*)的展开式中,第n+1项的系数与第n+1项的二项式系数相同,再根据中间项的二项式系数最大,展开式共有2n+1项,可得第n+1项的系数最大,故选C.3.已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)的值等于_.【解析】依题可得a0+a2+a4=-(a1+a3+a5)=16,则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-256.答案:-2564.设(3x-2)6=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+a6(2x-1)6,则=_.【解析】令x=1,得a0+a1+a2+a6=1,令x=0,得a0-a1+a2-+a6=64,两式相减,得2(a1+a3+a5)=-63,两式相加,得2(a0+a2+a4+a6)=65,故=-.答案:-【新情境新思维】已知(1-x)8的展开式,求:(1)二项式系数最大的项.(2)系数最小的项.【解析】(1)因为(1-x)8的幂指数8是偶数,所以由二项式系数的性质知,中间一项(即第5项)的二项式系数最大,该项为T5=(-x)4=70x4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定.由题意知第4项和第6项系数相等且最小,分别为T4=(-x)3=-56x3,T6=(-x)5=-56x5.关闭Word文档返回原板块
