1、7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值新版课程标准学业水平要求理解离散型随机变量的数字特征.1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质,会根据离散型随机变量的分布列求出均值.(数学抽象、数学运算)2.掌握两点分布的均值.(数学运算)3.会利用离散型随机变量的均值解决一些实际问题.(数学建模、数学运算)必备知识素养奠基1.离散型随机变量的均值(1)定义:一般地,如果离散型随机变量X的分布列如表所示:Xx1x2xnPp1p2pn则称E(X)=x1p1+x2p2+xnpn=xipi为随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).(2)意义:均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均
2、数,反映了随机变量取值的平均水平.(3)性质:如果X和Y都是随机变量,且Y=aX+b(a0),则E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.离散型随机变量的均值和样本的平均数相同吗?提示:不相同.离散型随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均数是一个随机变量,它随样本的不同而变化.2.两点分布的数学期望如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=p.1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值.()(2)随机变量的均值相同,则两个分布也一定相同.()(3)若X服从两点分布,则E(X)=np.()提示:(1).离散型随机变量的均值是一个常数
3、,它不具有随机性.(2).两个随机变量的分布相同,则它们的均值一定相同;反之不一定成立.(3).若X服从两点分布,则E(X)=p.2.若随机变量X的分布列为X-101P则E(X)=()A.0B.-1C.-D.-【解析】选C.E(X)= (-1)+0+1=-.3.设E(X)=10,则E(3X+5)=_.【解析】E(3X+5)=3E(X)+5=310+5=35.答案:35关键能力素养形成类型一离散型随机变量的均值公式及性质【典例】已知随机变量X的分布列如表:X-2-1012Pm(1)求m的值;(2)求E(X);(3)若Y=2X-3,求E(Y).【思维引】(1)利用分布列的性质求解;(2)利用均值的
4、公式求解;(3)利用均值的性质求解.【解析】(1)由随机变量分布列的性质,得+m+=1,解得m=.(2)E(X)=(-2)+(-1)+0+1+2=-.(3)由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2-3=-.【类题通】对于aX+b型的随机变量求均值的方法(1)利用均值的性质求解,即E(aX+b)=aE(X)+b;(2)先列出aX+b的分布列,再用均值公式求解.【习练破】1.(2020浙江高考)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为,则P(=0)=_;E()=_.【解析】由题知,随机取出红球的概率
5、为,随机取出绿球的概率为,随机取出黄球的概率为,的取值情况共有0,1,2,P(=0)=+=,P(=1)=+=,P(=2)=+=,所以E()=1+2=1.答案:12.已知随机变量X的分布列如表:X-101Pm若=aX+3,且E()=5,则a的值为_.【解析】由随机变量分布列的性质,得+m=1,解得m=.E(X)= (-1)+0+1=.因为E()=E(aX+3)=aE(X)+3=a+3=5,所以a=15.答案:15类型二简单的随机变量的均值角度1利用均值的性质求均值【典例】(2020海淀高二检测)已知随机变量的分布列为P(=k)=,k=0,1,2,则E(3+5)=()A.6B.8C.3D.4【思维
6、引】先求E(),再利用均值的性质求E(3+5).【解析】选B.随机变量的分布列为P(=k)=,k=0,1,2.可得E()=(0+1+2)=1,E(3+5)=3E()+5=8.【素养探】本例考查了均值的性质在求均值中的应用.同时考查了数学运算和数学建模的核心素养.本例中,若已知随机变量X的分布列为:X-2-11Pa试求E(2X-1).【解析】由题意可知:+a+=1,可得a=,所以E(X)=-2+(-1)+1=-.所以E(2X-1)=2E(X)-1=2-1=-2.角度2求随机变量的均值【典例】已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且
7、每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望E(X).【思维引】(1)先确定随机变量X的取值,再列出分布列.(2)利用分布列计算均值.【解析】(1)由题意得X取3,4,5,6,且P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,P(X=6)=.所以X的分布列为X3456P(2)由(1)知E(X)=3P(X=3)+4P(X=4)+5P(X=5)+6P(X=6)=.【类题通】关于离散型随机变量的均值(1)如果随机变量服从两点分布,则直接利用两点分布的均值公式计算.(2)一般地,先求出随机变量的分布列,再通过分布列计算随机变量的均值.【习练
8、破】盒中装有5节同牌号的五号电池,其中混有2节废电池.(1)若无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数X的分布列及期望;(2)若有放回地每次取一节电池检验,求检验4次取到好电池次数Y的数学期望.【解析】(1)由题意,X可取的值为1,2,3,则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=1=.抽取次数X的分布列为X123PE(X)=1+2+3=1.5.(2)由题意,每次检验取到好电池的概率均为,故YB,则E(X)=4=.类型三均值的实际应用【典例】某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地
9、收益如表所示:周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元;有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益;(2)该基地是否应该外聘工人,请说明理由.【思维引】(1)先列出基地收益X的分布列,再求基地收益X的均值即可;(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元,求出Y的均值,与X的均值比较即可.【解析】(1)设下周一无雨的概率为p,由题意
10、知,p2=0.36,p=0.6,基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5,则P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16,所以基地收益X的分布列为X2015107.5P0.360.240.240.16基地的预期收益E(X)=200.36+150.24+100.24+7.50.16=14.4,所以基地的预期收益为14.4万元.(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元,则其预期收益E(Y)=200.6+100.4-a=16-a(万元),E(Y)-E(X)=1.6-a,综上,当额外聘请工人的成本高于1.6万元时,不外聘工人;成本低于1
11、.6万元时,外聘工人;成本恰为1.6万元时,是否外聘工人均可以.【内化悟】想一想,现实生活中的哪些问题可以用期望进行估计?提示:均值在实际生活中有着广泛的应用,如对体育比赛的成绩预测,消费预测,工程方案的预测,产品合格率的预测,投资收益的预测等方面,都可以通过随机变量的期望来进行估计.【类题通】均值实际应用问题的解题策略首先应把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的数学期望,并根据期望的大小作出判断.【习练破】甲、乙两射击运动员进行射击比赛,射击相同的次数,已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环.将他们的比赛成绩画
12、成频率分布直方图如图甲和图乙所示.(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙=8),以及甲击中9环以上(包括9环)的概率;(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).【解析】(1)由题图乙可知P(X乙=7)=0.2,P(X乙=9)=0.2,P(X乙=10)=0.35.所以P(X乙=8)=1-0.2-0.2-0.35=0.25.同理P(X甲=7)=0.2,P(X甲=8)=0.15,P(X甲=9)=0.3,所以P(X甲=10)=1-0.2-0.15-0.3=0.35.P(X甲9)=0.3+0.35=0.65.(2)因为E(X甲)=70.2+8
13、0.15+90.3+100.35=8.8,E(X乙)=70.2+80.25+90.2+100.35=8.7,则有E(X甲)E(X乙),所以估计甲的水平更高.【加练固】 购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1-0.99.(1)求一投保人在一年度内出险的概率p;(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单
14、位:元).【解析】各投保人是否出险相互独立,且出险的概率都是p,记投保的10 000人中出险的人数为,则B(104,p).(1)记A表示事件:保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金,则发生当且仅当=0,P(A)=1-P()=1-P(=0)=1-(1-p,又P(A)=1-0.99,故p=0.001.(2)该险种总收入为104a元,支出是赔偿金总额与成本的和.支出:104+5104,盈利:=104a-(104+5104),由B(104,10-3),知E()=10,E()=104a-104E()-5104=104a-105-5104.由E()0104a-105-51040a-10-50a15.
15、故每位投保人应交纳的最低保费为15元.课堂检测素养达标1.已知随机变量X的分布如表所示,则E(X)等于()X-101P0.50.2pA.0B.-0.2C.-1D.-0.3【解析】选B.由题可得0.5+0.2+p=1,解得p=0.3,则由离散型随机变量的均值公式得E(X)=-10.5+00.2+0.3=-0.2.2.某篮球运动员每次投篮未投中的概率为0.3,投中2分球的概率为0.4,投中3分球的概率为0.3,则该运动员投篮一次得分的数学期望为()A.1.5B.1.6C.1.7D.1.8【解析】选C.由已知得E(X)=00.3+20.4+30.3=1.7.3.若离散型随机变量X的分布列为()X01
16、P则X的数学期望E(X)=()A.2B.2或C.D.1【解析】选C.因为分布列中概率和为1,所以+=1,即a2+a-2=0,解得a=-2(舍去)或a=1,所以E(X)=.4.同学用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜不对得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X(单位:分)的数学期望为()A.0.9B.0.8C.1.2D.1.1【解析】选A.依题意得,得分之和X的可能取值分别是0,1,2,且P(X=0)=(1-0.4)(1-0.5)=0.3,P(X=1)=0.4(1-0.5)+(1-0.4)0.5=0.5,P(X=2)=0.40.5=0.2,所以得分之和X的分布列为X012P0.30.50.2所以E(X)=00.3+10.5+20.2=0.9.【新情境新思维】如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)=()A.B.C.D.【解析】选B.由题意知X=0、1、2、3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以E(X)=0+1+2+3=.关闭Word文档返回原板块
