1、第2讲概率、随机变量及其分布列1. (1) 因为P(X=10)=,P(X=5)=,P(X=2)=,P(X=0)=,所以X的概率分布为X10520P从而E(X)=10+5+2+0=3.1.(2) 记该顾客一次摸球中奖为事件A,由(1)知,P(A)=,从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率P=1-1-P(A)2=.答:他两次摸球中至少有一次中奖的概率为.2. (1) 从9个不同的元素中任取3个不同元素,为古典概型.记“a,b,c中任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A,其基本事件总数为n=.由题意a,b,c均不相邻,可利用插空法.事件A包含的基本事件数m=,故P(A)=.所以a,b,c中任意两数之
2、差的绝对值均不小于2的概率为.(2) 的所有可能取值为0,1,2,P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=.所以的分布列为012PE()=0+1+2=.3. (1) 第一班客车若在820或840发出,则张先生能乘到,其概率为P=+=.答:张先生乘到第一班客车的概率为.(2) 由题意,可知候车时间x(单位:min)的可能取值为10,30,50,70,90.P(x=10)=;P(x=30)=;P(x=50)=;P(x=70)=;P(x=90)=.所以张先生候车时间的分布列为候车时间(min)1030507090P(3) 张先生候车时间的数学期望为10+30+50+70+90=5+=30.答:张先生
3、候车时间的数学期望是30min.4. (1) 从正方体的八个顶点中任取四个点,共有=70种不同取法.其中共面的情况共有12种(6个侧面,6个对角面).则P(=0)=.(2) 任取四个点,当四点不共面时,四面体的体积只有以下两种情况:四点在相对面且异面的对角线上,体积为1-4=.这样的取法共有2种.四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,体积为.这样的取法共有70-12-2=56种.所以的分布列为0P数学期望E()=+=.5. (1) 用A,B,C分别表示甲、乙、丙面试合格,由题意知A,B,C相互独立,且P(A)=,P(B)=P(C)=,所以至少有一人面试合格的概率为1-P()=1-=
4、.(2) 由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=P()+P(B)+P(C)=,P(X=1)=P(AC)+P(AB)+P(A)=,P(X=2)=P(BC)=;P(X=3)=P(ABC)=.所以X的分布列为X0123PE(X)=0+1+2+3=.6. 依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),则P(Ai)=.(1) 设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3A4.由于A3与A4互斥,故P(B)=P(A3)+P(A4)=+=.所以这4个人中去参加甲
5、游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(2) 的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(=0)=P(A2)=,P(=2)=P(A1)+P(A3)=,P(=4)=P(A0)+P(A4)=.所以的分布列是024P随机变量的数学期望E()=0+2+4=.7. (1) 根据茎叶图,有“高个子”8人,“非高个子”12人,用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是=,所以抽取的5人中“高个子”有8=2(人),“非高个子”有12=3(人).用事件A表示“至少有一名高个子被选中”,则它的对立事件表示“没有一名”高个子被选中”,则P(A)=1-=1-=.因此,至少有一人是“高个子”的
6、概率是.(2) 依题意知所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X的取值分别为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.因此,X的分布列为X0123P所以X的数学期望E(X)=0+1+2+3=.8. (1) 设该同学“在A处投中”为事件A,“在B处投中”为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=p=0.25,P()=0.75,P(B)=q,P()=1-q. P(X=0)=P( )=P()P()P()=0.75(1-q)2=0.03,所以q=0.8.P(X=5)=P(A B+AB)=P(A B)+P(AB)=P(A)P()P(B)+P(A)P(B)=0.25q
7、(1-q)+0.25q=0.24.(2) 依题意,随机变量X的分布列为X02345P(1-p)(1-q)22(1-p)(1-q)qp(1-q)2(1-p)q2pq+pq(1-q)数学期望为E(X)=4(1-p)(1-q)q+3p(1-q)2+4(1-p)q2+5pq+pq(1-q)=3p+4q-2pq2.随机变量Y的分布列为Y0246P(1-q)33(1-q)2q3q2-3q3q3数学期望为E(Y)=6(1-q)2q+4(3q2-3q3)+6q3=6q.E(X)-E(Y)=-2pq2+3p-2q=p(3-2q2)-2q.因为p0,所以E(X)-E(Y)(3-2q2)-2q=-0.所以pq时,该同学选择三次都在B处投篮的数学期望较大.
