1、广东省实验中学2020届高三数学下学期线上考试试题 理（含解析）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求函数的值域化简集合的表示，再求出函数的定义域化简集合的表示，最后根据集合交集的定义结合数轴进行求解即可.【详解】因为所以.故选：A【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了求函数的定义域和值域，考查了数学运算能力.2.若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知等式化简变形得出，利用复数
2、的除法法则将复数化为一般形式，即可得出复数的虚部.【详解】根据已知得，因此，复数的虚部为.故选：C.【点睛】本题考查复数虚部的求解，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.3.已知，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则故选B【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法，利用转化与化归思想解题4.求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】不是单调函数，不能用二分法求零点； 是单调函数，能用二分法求零点；不是单调函数
3、，不能用二分法求零点；不是单调函数，不能用二分法求零点.故选：B5.已知角顶点为原点，始边与轴非负半轴重合，点在终边上，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据任意角三角函数定义可求得，代入两角和差余弦公式可求得结果.【详解】在终边上，.故选：.【点睛】本题考查利用两角和差余弦公式求解三角函数值问题，涉及到任意角三角函数的定义，属于基础题.6.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A. 32B. 40C. D. 【答案】C【解析】【分析】将三视
4、图还原，即可求组合体体积【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题7.已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点若双曲线的离心率是，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，根据双曲线离心率公式，结合双曲线的关系，可以求出之间的关系， 这样可以求出渐近线方程，通过代入法，结合双曲线的对称性进行求解即可.【详解】抛物线准线.，因此双曲线的渐近线方程为：，双曲线的一条渐近线方程与抛物线准线方程联立得：，得根据双
5、曲线的对称性可知：故选：A【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，考查了双曲线离心率的计算，考查了双曲线渐近线方程的应用，考查了数学运算能力.8.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数，给出下列结论，其中正确的个数是( )公共
6、图书馆业机构数与年份的正相关性较强 公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】根据和确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又趋近于1，所以相关性较强，故正确；由回归方程知正确；由回归方程，当时，得估计值为3191.93192，故正确.故选D.【点睛】回归直线方程中的的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数决定了相关性的强弱，越接近相
7、关性越强.9.给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻边的颜色相同，则不同的染色方法有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】C【解析】【分析】通解：利用分类讨论思想，根据分类加法计数原理进行求解即可；优解：通过分析可知.每种色至少要染次，至多只能染次，即有一色染次，剩余两种颜色各染次，这样利用分步乘法计数原理进行求解即可.【详解】通解如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步.染边时有种染法，染边时有种染法.当边与边同色时，边有种染法，则边有种染法，边有种染法，此时染法总数为(种).当边与边不同色时，边有种染法，当边与边同色时，边有种染法
8、，边有种染法；当边与边不同色时，边有种染法，边有种染法，则此时共有染法(种).由分类加法计数原理可得，不同的染法种数为优解通过分析可知.每种色至少要染次，至多只能染次，即有一色染次，剩余两种颜色各染次.染五条边总体分两步.第一步选一色染次有种染法，第二步另两色各染次有种染法，由分步乘法计数原理知，一共有种染法，故选：C10.已知，函数在上单调递增，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】函数ycos x的单调递增区间为2k，2k，其中kZ.依题意，则有2kx2k(0)得4k2k，由0且4k0得k1，因此的取值范围是，故选D.11.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，
9、两定点A，B满足，由点集P|，|1，R所表示的区域的面积是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】由知：.不妨设，则：.解得由|1得.作出可行域，如图所示则所求面积.本题选择D选项.12.设在上可导的函数满足并且在上有实数满足则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据这种形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再判断函数奇偶性，最后利用的单调性和奇偶性进行求解即可.【详解】设，则故在区间上单调递减.，故为偶函数，在区间上单调递增.故原不等式等价于，即平方解得故选：A【点睛】本题考查了通过构造新函数，利用新函数的单调性和奇偶性求解不等式解集问题，考查了
10、导数的应用，考查了函数奇偶性的判断，考查了数学运算能力.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“，都有”否定是_.【答案】，有【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题写出原命题的否定.【详解】全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“，有”.【点睛】本小题主要考查写出全称命题的否定，属于基础题.14.设满足约束条件：则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】在平面直角坐标系内画出约束条件所表示的平面区域，平移直线，在所确定的平面区域内，找到当该直线在纵轴上的截距最小和最大时所经过的点，求出坐标，代入进行求解即可.【详解】不等式所表示的区城如图，由
11、,得平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大为；当直线经过点时，直线截距最大，此时最小，由，解得即此时即的取值范围是【点睛】本题考查了线性目标函数的最值问题，考查了数学运算能力和数形结合思想.15.已知的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则面积的最大值为_【答案】【解析】由，利用正弦定理可得：，即，即，（当且仅当时，取等号），面积为，则面积的最大值为，故答案为.16.将正三棱锥置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”，如图.下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有_.平面；若在同一球面上，则也在该球面上；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则；若则的
12、中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心【答案】【解析】【分析】根据球的几何特征和性质，结合已知逐一判断即可.【详解】由“倒影三棱锥”的几何特征可知平面正确；当在同一球面上时，若的外接圆不是球的最大圆，则点不在该球面上，错误；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥的外接球的半径与等边三角形外接圆的半径相等，设其为，则，则错误；由的推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为的中心，即的中点，正确.故正确的说法有.【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了多面体外接球的问题，考查了空间想象能力.三、解答题；共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23
13、题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分，17.已知等差数列满足求数列的通项公式；数列中，从数列中取出第项记为，若是等比数列，求的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】对赋值为，可得：，设等差数列的公差为d，由通项公式解方程组可得首项和公差，即可得到所求通项公式；分别求得，可得公比，由等差数列和等比数列的通项公式可求得，再利用分组求和方法即可计算所求和【详解】差数列满足，可得，设等差数列的公差为d，可得，解得，则；由题意可得，可得数列的公比为3，由，可得，的前n项和【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义和通项公式、分组求和公式的运用，考查了赋值法及方程思想，还考查化简运算
14、能力，属于中档题18.如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点（1）证明：；（2）若为棱上一点，满足，求锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明；（2）设，由，求出，求出平面ABF的法向量和平面ABP的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】证明：（1）在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点.以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E
15、（1，1，1），D（0，2，0），；（2）F棱PC上一点，满足，设，则，解得，设平面ABF的法向量，则，取，得，平面ABP的一个法向量，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19.如图，已知、，、分别为的外心，重心，.（1）求点的轨迹的方程；（2）是否存在过的直线交曲线于，两点且满足，若存在求出的方程，若不存在请说明理由.【答案】（1）；（2）不存在.【解析】【分析】（1）设点，利用重心的坐标公式得出点的坐标为，可得出点，由可得出点的轨迹的方程；（2）由题
16、意得出直线的斜率存在，并设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，并列出韦达定理，由，可得出代入韦达定理求出的值，即可得出直线的方程，此时，直线过点或，从而说明直线不存在.【详解】（1）设点，则点，由于，则点.由，可得出，化简得.因此，轨迹的方程为；（2）当与轴重合时不符合条件.假设存在直线，设点、.将直线的方程与曲线的方程联立，消去得，由韦达定理得，.，得，即，另一方面，得，解得.则直线过点或，因此，直线不存在.【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了椭圆中的向量问题，在求解时可充分利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.20.已知函数.（1）若函数恒有
17、两个零点，求的取值范围；（2）若对任意，恒有不等式成立.求实数的值；证明：.【答案】（1）；（2），见解析.【解析】【详解】试题分析：试题解析：（1），则.当时，故单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；当时，有唯一解，在递减，在递增，此时，则，注意到，时，；时，.因此.（2）当时，单调递增，的值域为，不符合题意；当时，则，也不符合题意.当时，由（1）可知，故只需.令，上式即转化为，设，则，因此在上单调递增，在上单调递减，从而，所以.因此，从而有.故满足条件的实数为.由可知，因而只需证明：，恒有.注意到前面已经证明：，因此只需证明：.当时，恒有，且等号不能同时成立；当时，设，则，当时，是单
18、调递增函数，且，因而时恒有；从而时，单调递减，从而，即.故.点睛：对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数，利用恒成立；恒成立，即可求出参数范围.21.本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（1）如果按甲在先，乙次
19、之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；（3）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小【答案】（1） 不变化；（2）；（3）先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小【解析】【详解】（1）按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为若甲在先,丙次之,乙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为，发现任务能完成的概率是一样.同理可以验证，不论如何
20、改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化.（2）由题意得可能取值为，其分布列为:（3）,要使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小,则只能先派甲、乙中的一人.若先派甲,再派乙,最后派丙,则；若先派乙,再派甲,最后派丙, 则，先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小(二)选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，点的直角坐标为（为参数）在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为（1）试求出动点的轨迹方程（用普通方程表示）（2）设点对应的轨迹为曲线，若曲线上存在四个点到直线的距离为1
21、,求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由（为参数）消去参数得动点的普通方程；（2）由（1）知，动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 直线的极坐标方程化为普方程，要使圆上有四个点到的距离为，则必须满足,解得.试题解析：（1）由（为参数）消去参数得：故动点A的普通方程为；（2）由（1）知，动点A的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.由展开得：,的普方程为：.要使圆上有四个点到的距离为1，则必须满足,解得.考点：1、极坐标方程；2、参数方程. 【方法点睛】（1）先由（为参数）消去参数得故动点的普通方程.然后由直线的极坐标方程得直线的直角坐标方程.由平面几何知识可知要使圆上有四个点
22、到的距离为，则必须满足，从而得到关于的不等式，解得.把直线的参数方程化为普通方程，把曲线的参数方程化为直角坐标方程能够简化解题过程.23.设函数，恒成立（1）求实数的取值范围；（2）求证：【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由恒成立，转化为恒成立，令，求得函数的最大值，得到的不等式，即可求解.（2）转化为证明，利用基本不等式，即可作出证明.【详解】（1）由题意知恒成立，即恒成立，即恒成立.令可得函数在上是增函数，在上是减函数，所以，则，即，整理得，解得，综上实数的取值范围是.（2）由，知，即，所以要证，只需证，即证，又，成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的恒成立问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，以及合理使用基本不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.
