1、不是我不小心之不等式-例谈高考数学常考、易错、失分点！【易错点46】解含参不等式若需分类讨论时,易对分类讨论的标准把握不准，分类混乱导致讨论重复或遗漏。例47、解关于x的不等式1(a1).【易错点分析】将不等式化为关于x的一元二次不等式后，一方面忽视对二次项系数的正负的讨论，导致错解,另一方面解一元二次不等式的讨论标准不明确,导致讨论不全面.解：原不等式可化为：0，即(a1)x+(2a)(x2)0.当a1时，原不等式与(x)(x2)0同解.若2，即0a1时，原不等式无解；若2，即a0或a1，于是a1时原不等式的解为(，)(2，+).当a1时，若a0，解集为(，2)；若0a1，解集为(2，)综上
2、所述：当a1时解集为(，)(2，+)；当0a1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a0时，解集为(，2).【迷津指点】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式，对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论. 求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”,注按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.【适用性练习】（2005年江西高考）已知函数为常数）,且方程有两个实根为
3、（1）求函数的解析式；（2）设,解关于的不等式：答案：当时,解集为当时,不等式为解集为当时,解集为若f(x)= ，解关于x的不等式f-1(x)(kR+)解析:f(x)=，f-1(x)=log8 (1x1，有log8log8，log8(1x)log8k，1xk，x1k.;1x1，kR+，当0k2时，原不等式解集为x|1kx1；当k2时，原不等式的解集为x|1x1.解不等式loga(x)1(1)当a1时，原不等式等价于不等式组,由此得1a.因为1a0，所以x0，x0.(2)当0a1时，原不等式等价于不等式组：由 第一个不等式得x1或x0，由第2个不等式得0 x，1x.综上，当a1时，不等式的解集是
4、x|x0，当0a1时，不等式的解集为x|1x.解关于的不等式： 解：当。【易错点47】函数与方程及不等式的联系与转化。学生不能明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找解题思路,导致思维受阻.例48.设不等式x22ax+a+20的解集为M，如果M1，4，求实数a的取值范围.【易错点分析】本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想.M=是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错.该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想
5、使题目更加明朗.解析：M1，4有n种情况：其一是M=，此时0；其二是M，此时0，分三种情况计算a的取值范围.设f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)当0时，1a2，M=1，4(2)当=0时，a=1或2.当a=1时M=11，4；当a=2时，m=21，4.(3)当0时，a1或a2.设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24即，解得：2a，M1，4时，a的取值范围是(1，).【迷津指点】函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问
6、题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。【适用性练习】已知二次函数满足，且对一切实数恒成立. 求； 求的解析式； 解：（1）由已知令得： （2）令由得：即则对任意实数恒成立就是 对任意实
7、数恒成立，即：则已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是_.解析：原方程可化为cos2x2cosxa1=0，令t=cosx，得t22ta1=0，原问题转化为方程t22ta1=0在1，1上至少有一个实根.令f(t)=t22ta1，对称轴t=1，画图象分析可得解得a2，2.答案：2，2（2004年高考数学江苏卷，13）二次函数y=ax2+bx+c(xR)的部分对应值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式ax2+bx+c0的解集是_.答案： 己知三个不等式： ()若同时满足、的值也满足，求m的取值范围；()若满足的值至少满足和中的一个，求m的取
8、值范围。分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足、的值的满足的充要条件是：对应的方程的两根分别在和内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。解：记的解集为A，的解集为B，的解集为C。解得A=（-1，3）；解得B=()因同时满足、的值也满足，ABC;设，由的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足（）因满足的值至少满足和中的一个，因此小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而求a，b的值，使得关于x的不等式ax2+bx+a2-10的解集分别是：(1)
9、-1，2;(2)(-，-12，+)；(3)2；(4)-1，+)答案:【易错点48】例49若二次函数的图象经过原点，且1f(-1)2，3f(1)4，求f(-2)的范围【易错点分析】在解不等式时，要求作同解变形要避免出现以下一种错解：，84a12，-3-2b-1，所以 5f(-2)11,出现这种错误的原因是:同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等同向这一性质是单向的,用它来变形,是非同解变形,易将范围扩大.解：因为的图象经过原点，所以可设于是解法一(利用基本不等式的性质)不等式组()变形得其中等号在和时成立,解法二(数形结合)解析:建立直角坐标系aob，作出不等式组()所表示的区域，如图6中的阴
10、影部分因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10即f(-2)的取值范围是：6f(-2)10解法三(利用方程的思想)又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而1f(-1)2，3f(1)4,所以33f(-1)6,故+得43f(-1)+f(1)10，即6f(-2)10【迷津指点】对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去
11、解决同一问题若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高【适用性练习】（2006宝鸡中学联考）已知方程的两根分别为,则的取值范围（ ）A. B. C. D.(答案:A)【易错点49】利用函数的的单调性构造不等关系。要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。例50、记，若不等式的解集为，试解关于t的不等式。【易错点分析】此题虽然不能求出a,b,c的具体值，但由不等式的解集与函数及方程的联系易知1,3是方程的两根，但易忽视二次函数开口方向，从而错误认为函数在上是增函数。解析：由题意知，且故二次函数在区间上是增函数。又因为，故由二次函数的单调性知不等式等价于即故即不等式的解为：。【迷津指点】函数的单
12、调性实质是就体现了不等关系，故函数与不等式的结合历来都是高考的热点内容，也是我们解答不等式问题的重要工具，在解题过程中要加意应用意识，如指数不等式、对数不等式、涉及抽象函数类型的不等式等等都与函数的单调性密切相关。【适用性练习】（2005辽宁4月份统考题）解关于的不等式 .答案：当时，解集为当时，解集为 当时解集为。已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1，若m、n1，1，m+n0时0.(1)用定义证明f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式：f(x+)f()； (1)证明：任取x1x2，且x1，x21，1，则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=(x1x2)1x1x21
13、，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上为增函数.(2)f(x)在1，1上为增函数， 解得：x|x1，xR【易错点50】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。例51、 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。【易错点分析】本题易作如下解答:(a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8(a+)2+(b+)2的最小值是8,上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件ab=，显
14、然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。解析：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)2-2ab+ (+)2-+4=(1-2ab)(1+)+4由ab()2= 得：1-2ab1-=,且16，1+17原式17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)(a+)2+(b+)2的最小值是。【迷津指点】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。【适用性练习】下列命题中正确的是A、的最小值是2 B、的最小值是2 C、的最大值是 D、的最小值是（答：C）；正数满足，则的最小值为_（答：）；甲、乙两地相距s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。（1） 把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？答案:（1）（2）使全程运输成本最小，当c时，行驶速度v=；当c时，行驶速度v=c。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
