1、2016-2017学年广东省实验中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设全集为R，集合M=x|x1，P=y|y=lnx，x或xe则下列关系正确的是（）AM=PBPMCMPDRMP=2关于函数y=叙述正确的是（）A在（，+）上单调递减B在（，0），（0，+）上单调递减C在（，0），（0，+）上单调递增D在（，0）（0，+）上单调递减3函数y=a|x|（0a1）的图象是（）ABCD4下列函数中，与y=x表示同一函数的是（）Ay=By=（a0且a1）Cy=Dy=logaax（a0且a1）5已知3a=2，则2log36log38等于（）A2aBa2a+1C25aD
2、a23a6已知函数y=x2+2x+a（aR）的图象如图所示，则下列函数与它的图象对应正确的是（）ABCD7函数y=x2+bx+c当x（，1）时是单调函数，则b的取值范围（）Ab2Bb2Cb2Db28已知a0且a1，则两函数f（x）=ax和g（x）=的图象只可能是（）ABCD9已知偶函数f（x）在（，0）上单调递增，若f（1）=0，则不等式xf（x）0的解集是（）A（，1）（0，1）B（，1）（1，+）C（1，0）（0，1）D（1，0）（1，+）10设f（x）=lgx+x3，用二分法求方程lgx+x3=0在（2，3）内近似解的过程中得f（2.25）0，f（2.75）0，f（2.5）0，f（3）0
3、，则方程的根落在区间（）A（2，2.25）B（2.25，2.5）C（2.5，2.75）D（2.75，3）11函数f（x）=log2（4xx2）的单调递减区间是（）A（，0）（4，+）B（0，4）C（，2）（4，+）D（2，4）12函数y=ax2ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值的集合为（）A1，9B0，1，9C0D0，2，4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知a，b是常数，函数f（x）=ax3+bln（x+）+3在（，0）上的最大值为10，则f（x）在（0，+）上的最小值为14已知函数f（x）=，则f（lg2）+f（lg）=15已知函数f（x）满足：x
4、4，则f（x）=；当x4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=16设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f（x2）=f（x+2）且当x2，0时，f（x）=（）x1，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知A=x|ax2a4，B=x|x25x60，若AB=A，求a的取值范围18已知函数f（x）=x+且f（1）=5（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）判断函数f（x）在（2，+）上的单调性并用定义证明你的结论1
5、9已知奇函数f（x）是定义域2，2上的减函数，若f（2a+1）+f（4a3）0，求实数a的取值范围20某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）（1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？21已知函数f（x）的值满足f（x）0，对任意实数x，y都有f（xy）=f（x）f（y），且f（1）=1，f（27）=9，当0x1时
6、，f（x）（0，1）（1）求f（1）的值，判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）在（0，+）上的单调性，并给出证明；（3）若a0且f（a+1），求a的取值范围22对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的一阶不动点，若x0满足ff（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的二阶不动点，（1）设f（x）=2x+3，求f（x）的二阶不动点（2）若f（x）是定义在区间D上的增函数，且x0为函数f（x）的二阶不动点，求证：x0也必是函数f（x）的一阶不动点；（3）设f（x）=ex+x+a，aR，若f（x）在0，1上存在二阶不动点x0，求实数a的取值范围2016-20
7、17学年广东省实验中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设全集为R，集合M=x|x1，P=y|y=lnx，x或xe则下列关系正确的是（）AM=PBPMCMPDRMP=【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】求出集合P的元素，利用两个集合元素的关系确定集合的关系即可【解答】解：当xe，y=lnxlne=1当x时，y=lnx1，即P=y|y1或y1，因为M=x|x1，所以MP故选C2关于函数y=叙述正确的是（）A在（，+）上单调递减B在（，0），（0，+）上单调递减C在（，0），（0，+）上单调递增D在（，0）（0，+）上单调递减【考点】函数
8、单调性的判断与证明【分析】根据幂函数的定义判断函数的单调性即可【解答】解：函数y=，显然x0，故f（x）在（，0），（0，+）上单调递减，故选：B3函数y=a|x|（0a1）的图象是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据在（0，+）上，函数y=a|x|=ax单调递减，可得结论【解答】解：由于函数y=a|x|（0a1）为偶函数，在（0，+）上，y=ax单调递减，故选：C4下列函数中，与y=x表示同一函数的是（）Ay=By=（a0且a1）Cy=Dy=logaax（a0且a1）【考点】判断两个函数是否为同一函数【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可【解答】解：Ay=，与y=x的定
9、义域不同，对应法则不同，不是同一函数，By=x，（x0）（a0且a1）=1，（x0），两个函数的定义域不相同，不是同一函数，Cy=|x|，两个函数的定义域相同，但对应法则不相同，不是椭圆函数，Dy=logaax=x，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是相等函数，故选：D5已知3a=2，则2log36log38等于（）A2aBa2a+1C25aDa23a【考点】对数的运算性质【分析】由3a=2，知log32=a，再由2log36log38=2（log32+log33）3log32，能求出其结果【解答】解：3a=2，log32=a，2log36log38=2（log32+log33）3log32
10、=2（a+1）3a=2a故选A6已知函数y=x2+2x+a（aR）的图象如图所示，则下列函数与它的图象对应正确的是（）ABCD【考点】二次函数的性质；函数的图象【分析】由函数y=x2+2x+a（aR）的图象，可得a（0，1），进而得到答案【解答】解：函数y=x2+2x+a（aR）的图象如图所示，故a（0，1），故以a为底的指数函数和对数函数均为减函数，故A错误，B正确；以a为比例系数的反比例函数过一，三象限，故C错误；以a为纵截距的一次函数，与y轴交点在原点上方，故D错误；故选：B7函数y=x2+bx+c当x（，1）时是单调函数，则b的取值范围（）Ab2Bb2Cb2Db2【考点】函数单调性的性
11、质【分析】二次函数图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=，又y=x2+bx+c（x（，1）是单调函数，故1应在对称轴的左边【解答】解：函数y=x2+bx+c的对称轴是x=，函数y=x2+bx+c（x（，1）是单调函数，又函数图象开口向上函数y=x2+bx+c（x（，1）是单调减函数1，b2，b的取值范围是 b2故选B8已知a0且a1，则两函数f（x）=ax和g（x）=的图象只可能是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】由底数a与1的大小关系确定f（x）和函数h（x）=logax的图象，再由函数h（x）=logax的图象经图象变换得到g（x）的图象【解答】解：若选A，则g（x）=logax；若选B
12、，则g（x）=logax；若选C，g（x）=loga（x）；若选D，则g（x）=loga（x）9已知偶函数f（x）在（，0）上单调递增，若f（1）=0，则不等式xf（x）0的解集是（）A（，1）（0，1）B（，1）（1，+）C（1，0）（0，1）D（1，0）（1，+）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】先确定函数在（0，+上是减函数，再将不等式等价变形，利用函数的单调性，即可求解不等式【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（，0）上单调递增，函数在（0，+上是减函数，f（1）=0，f（1）=0不等式xf（x）0等价于或x1或0x1故不等式xf（x）0的解集为（，1）（0，1），故选
13、A10设f（x）=lgx+x3，用二分法求方程lgx+x3=0在（2，3）内近似解的过程中得f（2.25）0，f（2.75）0，f（2.5）0，f（3）0，则方程的根落在区间（）A（2，2.25）B（2.25，2.5）C（2.5，2.75）D（2.75，3）【考点】二分法求方程的近似解【分析】由已知“方程lgx+x3=0在x（2，3）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（2.25）0，f（2.75）0，f（2.5）0，f（3）0，即可求得结果【解答】解析：f（2.5）f（2.75）0，由零点存在定理，得，方程的根落在区间（2.5，2.75）故选C11函数f（x）=log2（4xx2）
14、的单调递减区间是（）A（，0）（4，+）B（0，4）C（，2）（4，+）D（2，4）【考点】复合函数的单调性【分析】令t=4xx20，求得函数的定义域，且f（x）=g（t）=log2t，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论【解答】解：令t=4xx20，求得0x4，故函数的定义域为（0，4），且f（x）=g（t）=log2t，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得t在定义域内的减区间为（2，4），故选：A12函数y=ax2ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值的集合为（）A1，9B0，1，9C0D0，2，4【考点】二次函数的性质【分析
15、】一次函数图象与x轴有且只有一个交点，二次函数顶点在x轴上时，图象与x轴有且只有一个交点，进而得到答案【解答】解：若a=0，则函数y=3x+1，图象与x轴有且只有一个交点，若a0，且图象与x轴有且只有一个交点，则=（3a）24a=0，解得：a=1，或a=9，故a的值的集合为0，1，9，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知a，b是常数，函数f（x）=ax3+bln（x+）+3在（，0）上的最大值为10，则f（x）在（0，+）上的最小值为4【考点】函数的最值及其几何意义【分析】设g（x）=ax3+bln（x+），判断g（x）为奇函数，可得g（x）的最值之和为M+m=0
16、，分别求得g（x）的最大值和最小值，即可得到所求最值【解答】解：函数f（x）=ax3+bln（x+）+3，设g（x）=ax3+bln（x+），g（x）=ax3+bln（x+），由g（x）+g（x）=bln（x+）+ln（x+）=bln（1+x2x2）=0，可得g（x）为奇函数，且g（x）的最值之和为M+m=0，即有g（x）在（，0）上的最大值为M=103=7，可得g（x）在（0，+）上的最小值m=7，则f（x）在（0，+）上的最小值为7+3=4故答案为：414已知函数f（x）=，则f（lg2）+f（lg）=2【考点】函数的值【分析】利用对数函数F（x）=是奇函数以及对数值，直接化简求解即可【解
17、答】解：函数f（x）=，则f（lg2）+f（lg）=f（lg2）+f（lg2）令F（x）=，F（x）=，F（x）+F（x）=0F（x）=f（x）1是奇函数，f（lg2）1+f（lg2）1=0f（lg2）+f（lg2）=2，即f（lg2）+f（lg）=2故答案为：215已知函数f（x）满足：x4，则f（x）=；当x4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=【考点】分段函数的应用【分析】判断的范围代入相应的解析式求值即可【解答】解：2+log234，f（2+log23）=f（3+log23）=f（log224）=故应填16设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f（x2）=f（x
18、+2）且当x2，0时，f（x）=（）x1，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（，2）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由已知中可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=logax+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围【解答】解：对于任意的xR，都有f（x2）=f（2+x），函数f（x）是一个周期函数，且T=4又当x2，0时，f（x）=（）x1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（2，6内关于x的
19、方程f（x）loga（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（2，6上有三个不同的交点，如下图所示：又f（2）=f（2）=3，则对于函数y=loga（x+2），由题意可得，当x=2时的函数值小于3，当x=6时的函数值大于3，即loga43，且loga83，由此解得：a2，故答案为：（，2）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知A=x|ax2a4，B=x|x25x60，若AB=A，求a的取值范围【考点】交集及其运算【分析】求出B中不等式的解集确定出B，根据A与B的交集为A，得到A为B的子集，确定出a的范围
20、即可【解答】解：A=x|ax2a4，B=x|x25x60=x|（x6）（x+1）0=x|1x6，且AB=A，AB，当A=时，则有a2a4，即a4，满足题意；当A时，则有，解得：1a5，综上，a的范围是a518已知函数f（x）=x+且f（1）=5（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）判断函数f（x）在（2，+）上的单调性并用定义证明你的结论【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【分析】（1）根据条件解方程即可（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可（3）跟姐姐函数单调性的定义进行证明即可【解答】解：（1）由f（1）=5，得：5=1+aa=4（2）x（，0）（0，+）且，f
21、（x）为奇函数（3）任取：2x1x2，f（x1）f（x2）0，f（x）在（2，+）上为增函数 19已知奇函数f（x）是定义域2，2上的减函数，若f（2a+1）+f（4a3）0，求实数a的取值范围【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】利用函数的奇偶性、单调性去掉不等式中的符号“f”，可转化为具体不等式，注意函数定义域【解答】解：因为f（x）是奇函数，所以f（2a+1）+f（4a3）0，可化为f（2a+1）f（4a3）=f（34a），又f（x）是定义域2，2上的减函数，所以有，解得，所以实数a的取值范围是20某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股
22、票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）（1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）利用待定系数法确定出f（x）与g（x）解析式即可；（2）设设投资债券类产品x万元，则股票类投资为（20x）万元，根据y=f（x）+g（x）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质判断即可得到结果【解答】解：（1）设f（x）=k1x，g（x）=k2，由题意，可得f（1）=0.125=k1
23、，g（1）=k2=0.5，则f（x）=0.125x（x0），g（x）=0.5（x0）；（2）设投资债券类产品x万元，则股票类投资为（20x）万元，由题意，得y=f（x）+g（20x）=0.125x+0.5（0x20），令t=，则有x=20t2，y=0.125（20t2）+0.5t=0.125（t2）2+3，当t=2，即x=16万元时，收益最大，此时ymax=3万元，则投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品4万元获得收益最大，最大收益为4万元21已知函数f（x）的值满足f（x）0，对任意实数x，y都有f（xy）=f（x）f（y），且f（1）=1，f（27）=9，当0x1时，f（x）（
24、0，1）（1）求f（1）的值，判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）在（0，+）上的单调性，并给出证明；（3）若a0且f（a+1），求a的取值范围【考点】抽象函数及其应用【分析】（1）利用赋值法，令y=1，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）先证明当x0时，f（x）0，再利用已知和单调函数的定义，证明函数f（x）在0，+）上的单调性；（3）先利用赋值法求得f（3）=再利用函数的单调性解不等式即可【解答】解：（1）令x=y=1，可得f（1）=1令y=1，则f（x）=f（x）f（1），f（1）=1，f（x）=f（x），f（x）为偶函数（2）f（x）在（0，+）上是增函数，证明如下
25、：若x0，则f（x）=f（）0若存在x00，使得f（x0）=0，则f（27）=f（）=f（）f（x0）=0与已知矛盾，当x0时，f（x）0设：0x1x2，由题设知且，f（x1）f（x2），故f（x）在（0，+）上是增函数；（3）f（27）=9，而f（27）=f（39）=f（3）f（9）=f（3）3f（a+1）f（3），a+13，a00a2a的取值范围：0，222对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的一阶不动点，若x0满足ff（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的二阶不动点，（1）设f（x）=2x+3，求f（x）的二阶不动点（2）若f（x）是定义在区间D上的
26、增函数，且x0为函数f（x）的二阶不动点，求证：x0也必是函数f（x）的一阶不动点；（3）设f（x）=ex+x+a，aR，若f（x）在0，1上存在二阶不动点x0，求实数a的取值范围【考点】函数与方程的综合运用；函数的值【分析】（1）若f（x）=2x+3，则ff（x）=4x+9，由ff（x）=x，能求出函数f（x）=2x+3的二阶不动点（2）由题意ff（x0=x0，记f（x0）=t，则f（t）=x0，若tx0，与假设tx0相矛盾；若tx0，与假设tx0相矛盾；从而f（x0）=x0，由此能证明x0也必是函数f（x）的一阶不动点（3）函数f（x）=ex+x+a在R上单调递增，若f（x）在0，1上存在
27、二阶不动点x0，则f（x）在0，1上也必存在一阶不动点x0；推导出方程ex+x+a=x在0，1上有解，由此能出a的取值范围【解答】解：（1）若f（x）=2x+3，则ff（x）=2（2x+3）+3=4x+9，由ff（x）=x，得4x+9=x，解得x=3，函数f（x）=2x+3的二阶不动点为x=3，证明：（2）x0是函数f（x）的二阶不动点，ff（x0=x0，记f（x0）=t，则f（t）=x0，若tx0，则由f（x）在区间D上为增函数，有f（t）f（x0），即x0t，这与假设tx0相矛盾；若tx0，则由f（x）在区间D上为增函数，有f（t）f（x0），即x0t，这与假设tx0相矛盾；t=x0，即f（x0）=x0，x0是函数f（x）的一阶不动点，命题得证； 解：（3）函数f（x）=ex+x+a在R上单调递增，则由（2）可知，若f（x）在0，1上存在二阶不动点x0，则f（x）在0，1上也必存在一阶不动点x0；反之，若f（x）在0，1上存在一阶不动点x0，即f（x0）=x0，那么ff（x0=f（x0）=x0，故f（x）在0，1上也存在二阶不动点x0所以函数f（x）在0，1上存在二阶不动点x0等价于f（x）=x在0，1上有解，即方程ex+x+a=x在0，1上有解，a=ex在0，1上有解，由x0，1可得ex1，e，exe，1，a的取值范围是e，1 2016年12月22日