1、第二节平面向量的基本定理及坐标运算不共线有且只有基底1e12e2(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)x21y21(x2x1，y2y1)x2x12y2y12x1y2x2y101已知向量 a(1，m)，b(m,2)，若 ab，则实数 m_.解析：由 ab，得 12m20，所以 m22，即 m 2.答案：22(教材习题改编)已知a(2,1)，b(3,4)，则3a4b_.答案：(6,19)3设 e1，e2是平面内一组基向量，且 ae12e2，be1e2，则向量 e1e2 可以表示为另一组基向量 a，b的线性组合，即 e1e2_a_b.解析：由题意，设e1e2manb因为ae12e
2、2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得mn1，2mn1，所以m23，n13.答案：23 131若a，b为非零向量，当ab时，a，b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息；3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2x2y10.1已知A(1,2)，B(4,2)，则把向量 AB 按向量a(1,3)平移后得到的向量是_解析
3、：当向量平移(起点和终点同时平移)时，不改变向量的大小和方向，所以所求的向量就是 AB(4,2)(1,2)(3,0)答案：(3,0)2已知直角坐标平面内的两个向量 a(1,2)，b(m1，m3)，使得平面内的任意一个向量 c 都可以唯一分解成 cab，则实数 m 的取值范围为_解析：依题意可知 a，b 为直角坐标平面内的一对基底，所以 a，b 不共线当 a，b 共线时，1(m3)2(m1)0，解得 m5，所以 a，b 不共线时，只需 m5.故实数 m 的取值范围为(，5)(5，)答案：(，5)(5，)3.如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 与BD相交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE
4、 的延长线与 CD 交于点 F，若ACa，BDb，则AF _(用 a，b 表示)解析：ACa，BDb，AD AOOD12AC12BD12(ab)E是OD的中点，EB3DE.由DEFBEA，得DF13AB，于是DF13AB13(OBOC)1312 BD12 AC 16AC16BD16a16b16(ab)，AF ADDF12(ab)16(ab)23a13b.答案：23a13b考点一 平面向量基本定理及其应用基础送分型考点自主练透1在矩形ABCD中，O是其对角线的交点，若 BC e1，DC e2，则用e1，e2表示OC 为_解析：因为 O 是矩形 ABCD 对角线的交点，BCe1，DC e2，所以O
5、C 12(ADAB)12(BCDC)12(e1e2)答案：12(e1e2)2.(易错题)如图，以向量OC a，OBb 为邻边作 OADB，BM13BC，CN 13CD，用 a，b 表示OM，ON，MN.解：BAOC OBab，BM16BA16a16b，OM OBBM16a56b.ODab，ON OC13CD12OD16OD23OD23a23b，MN ON OM 23a23b16a56b12a16b.综上，OM 16a56b，ON 23a23b，MN 12a16b.1(2016抚顺二模)若向量a(2,1)，b(1,2)，c 0，52，则c可用向量a，b表示为_解析：设cxayb，则0，52(2x
6、y，x2y)，所以2xy0，x2y52，解得x12，y1，则c12ab.答案：c12ab2已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若 MN 3a，则点N的坐标为_解析：MN 3a3(1，2)(3,6)，设N(x，y)，则MN(x5，y6)(3,6)，所以x53，y66，即x2，y0.答案：(2,0)3已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设ABa，BCb，CAc，且CM 3c，CN 2b，(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M，N 的坐标及向量MN 的坐标(3)设 O 为坐标原点，CM OM OC 3c，OM 3cOC(3,24)(3，4)(0,20
7、)M(0,20)又CN ON OC 2b，ON 2bOC(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，MN(9，18)解：由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，6mn5，3m8n5，解得m1，n1.典例引领已知a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)若 AB 2a3b，BC amb，且A，B，C三点共线，求m的值解：(1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)
8、，kab 与 a2b 共线，2(k2)(1)50，k12.(2)AB2(1,0)3(2,1)(8,3)，BC(1,0)m(2,1)(2m1，m)A，B，C 三点共线，ABBC，8m3(2m1)0，m32.1已知向量 OC(k,12)，OB(4,5)，OC(k,10)，且A，B，C三点共线，则k_.解析：ABOBOC(4k，7)，ACOC OC(2k，2)A，B，C 三点共线，AB，AC共线，2(4k)7(2k)，解得 k23.答案：232(2016无锡调研)已知向量 a(2,3)，b(1,2)，若 ma4b 与 a2b 共线，则 m 的值为_解析：ma4b(2m4,3m8)，a2b(4，1)，由于 ma4b 与 a2b 共线，(2m4)4(3m8)，解得 m2.答案：2 “课后三维演练”见“课时跟踪检测(二十六)”(单击进入电子文档)