1、2.2最大值、最小值问题1.函数的最值点与最值条件x0a，bf(x)f(x0)f(x)f(x0)结论f(x0)为最大值f(x0)为最小值2.求函数y=f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y=f(x)在(a，b)内的极值.(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)函数的最值一定是极值，而极值不一定是最值.()(2)函数的最大值一定大于最小值，函数的极大值一定大于极小值.()(3)单调函数在闭区间上一定有最值，一定无极值.()(4)若函数存在最大(小)
2、值，则最大(小)值唯一.()【解析】(1).函数的最值可能在闭区间的端点上取到，此时不是函数的极值.(2).函数的最大值一定大于最小值，但函数的极大值不一定大于极小值.(3).单调函数在闭区间上一定有最值，因为极值不能在区间的端点上取到，所以一定无极值.(4).因为函数的最大(小)值是所有函数值中的最大(小)值，所以若函数存在最大(小)值，则最大(小)值唯一.2.函数y=在0，2上的最大值是()A.当x=1时，y=B.当x=2时，y=C.当x=0时，y=0D.当x=时，y=【解析】选A.由f(x)=得f(x)=当x(0，1)时，f(x)0，f(x)是增加的，当x(1，2)时，f(x)0恒成立，
3、即f(x)在1，3上是增加的，所以f(x)的最大值是f(3)=，最小值是f(1)=.故函数f(x)的值域为答案：类型一 求函数的最值【典例】(2019合肥高二检测)已知函数f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的单调区间.(2)求f(x)在区间0，1上的最小值.【思维引】(1)求函数的导数，解不等式可求函数的单调区间.(2)根据(1)中所求得的单调区间，分类讨论求函数f(x)在区间0，1上的最小值.【解析】(1)由f(x)=(x-k)ex，得f(x)=(x-k+1)ex，令f(x)=0，得x=k-1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(-，k-1)k-1(k-1，+)f(x
4、)-0+f(x)-ek-1所以，f(x)的递减区间是(-，k-1)；递增区间是(k-1，+).(2)当k-10，即k1时，函数f(x)在0，1上是增加的.所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(0)=-k，当0k-11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k-1)上是减少的，在(k-1，1上是增加的，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(k-1)=-ek-1.当k-11，即k2时，函数f(x)在0，1上是减少的.所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(1)=(1-k)e.综上可知，当k1时，f(x)min=-k；当1k0，则令f(x)=0，解得x=.由x0，1，则只考虑x=的情况.当0 1，
5、即0a1时，当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化情况如表：x(0，)(，1)f(x)+0-f(x)2a 故f(x)max=f()=2a ；当 1，即a1时，f(x)0，函数f(x)在0，1上是增加的，当x=1时，f(x)有最大值f(1)=3a-1.综上，当a0，x=0时，f(x)有最大值0；当0a1，x=时，f(x)有最大值2a ；当a1，x=1时，f(x)有最大值3a-1.【加练固】已知函数f(x)=e-x-ex，x0，a，a为正实数，求函数f(x)的最值.【解析】f(x)=当x0，a时，f(x)0恒成立，即f(x)在0，a上是减少的.故当x=a时，f(x)有最小值f(a)=e-a-ea
6、；当x=0时，f(x)有最大值f(0)=e-0-e0=0.即f(x)的最小值为e-a-ea，最大值为0.类型二 生活中的优化问题【典例】(2019洛阳高二检测)把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？【思维引】根据图形求出箱子容积的表达式，利用导数求出其最大值.【解析】设箱底边长为x，则箱高为h=(0 xa)，箱子的容积为V(x)=x2sin 60h=ax2-x3(0 x0；当x 时，V(x)0.求 f(x)的最小值为2时m的值.【思维引】利用函数求函数的最小值得到关于m
7、的方程，解方程即可得到实数m的值.【解析】因为f(x)=(x0)，所以当x(0，m)时，f(x)0，f(x)在(m，+)上是增加的，所以当x=m时，f(x)取得极小值，也是最小值，即极小值为2.即f(m)=ln m+=2，所以m=e.【素养探】在根据函数的最值求参数的值或取值范围时，一般是利用导数求函数的极值和最值，通过构建方程(不等式)来求参数的值(范围)，用到的数学核心素养是逻辑推理和数学运算.1.本例的条件不变，讨论函数g(x)=f(x)-零点的个数.【解析】由题意知g(x)=f(x)-(m0)，令g(x)=0，得m=-x3+x(x0).设(x)=-x3+x(x0)，则(x)=-x2+1
8、=-(x-1)(x+1)，当x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上是增加的；当x(1，+)时，(x)时，函数g(x)无零点；当m=时，函数g(x)有且只有一个零点；当0ma0，恒成立，求m的取值范围.【解析】对任意的ba0，恒成立，等价于f(b)-b0)，(*)所以(*)等价于h(x)在(0，+)上是减少的.由h(x)=0在(0，+)上恒成立，得m-x2+x=(x0)恒成立，所以m ，(对m，h(x)0仅在x时成立)，所以m的取值范围是角度2 不等式的恒成立问题【典例】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1处都取得极值.(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间.(2
9、)若对任意x-1，2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围.【思维引】(1)根据f(1)=0，f =0求a，b的值进而求函数f(x)的单调区间.(2)求出函数f(x)在区间-1，2上的最值，解不等式可得c的取值范围.【解析】(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c，得f(x)=3x2+2ax+b，因为f(1)=3+2a+b=0，f =a+b=0，解得a=-，b=-2，所以f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x-1(1，+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以函数f(x)的递增区间为和(1，+)；递减区间为.(2)由(1)知
10、，f(x)=x3-x2-2x+c，x-1，2，当x=-时，f =+c为极大值，因为f(2)=2+c，所以f(2)=2+c为最大值.要使f(x)f(2)=2+c，解得c2.所以c的取值范围为(-，-1)(2，+).【类题通】1.含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题.(2)不能求出参数时，常需分类讨论.若参数对导数的正负有影响时，需讨论参数；若极值与函数端点值比较大小不能确定，也需分类讨论以确定最值.2.已知函数最值求参数值(范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.3.解决恒成立问题，常用方法是转化为求函数的最值问题，通过分离参数，要使mf(x)恒成立，只需mf(x)的最大值即可，同理，要使mf(x)恒成立，只需m1时，g(x)0，故g(x)在(1，+)上是增加的，所以g(x)的最小值是g(1)=1.因此ag(x)min=g(1)=1，故a的取值范围为(-，1.
