1、第四节古典概型与几何概型1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型(1)定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型试验中所有可能出现的基本事件只有有限个每个基本事件出现的可能性相等(2)计算公式：P(A).(3)如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A).3几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型4几何概型的
2、特点(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个(2)等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布5几何概型的概率公式P(A).1一个概念一测度几何概型的概率公式中的“测度(即构成事件的区域)”只与大小有关，而与形状和位置无关2两种方法判断几何概型几何度量形式的两种方法：(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量是否在等可能变化的区域1(基本方法：与数字有关的古典概型)一个盒子里装有标号为1，2
3、，3，4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是()A BC D答案：D2(基本方法：区间长度型的几何概型)在区间2，3上随机选取一个数X，则 X1的概率为()A BC D答案：B3(基本应用：与所取元素有关的古典概型)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为()A BC D答案：A4(基本能力：与分配有关的古典概型)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为_答案：5(基本能力：面积型的几何概型)求在半径为r的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆内接等腰直角三角形内的概率为_.答案：题型一
4、古典概型典例剖析典例1(1)(列举法)两名同学分3本不同的书，则其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为()A BC D解析：设3本不同的书分别为a，b，c，两名同学分3本不同的书，基本事件有(0，3)，(1a，2)，(1b，2)，(1c，2)，(2，1a)，(2，1b)，(2，1c)，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P.答案：B(2)(列举法)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x，y.奖励
5、规则如下：若xy3，则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动求小亮获得玩具的概率；请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解析：基本事件总数为16.记“xy3”为事件A，则事件A包含的基本事件共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，P(A)，即小亮获得玩具的概率为.记“xy8”为事件B，“3xy，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率典例2(1)(排列、组合法)2021年广东新高考将实行312模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种
6、选课模式今年上高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为()A BC D解析：基本事件总数为CC9，他们选课相同的事件总数为CC3，他们选课相同的概率P.答案：B(2)(排列、组合法)某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则中奖按照这样的规则摸奖，中奖的概率为()A BC D解析：分为两个互斥事件：记
7、“第一次取出的两球号码连号中奖”为事件A，记“第二次取出的两球与第一次取出的未中奖的两球号码相同中奖”为事件B，则由题意得P(A)，P(B)，则每位顾客摸球中奖的概率为P(A)P(B).答案：C方法总结1基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求(4)运用排列组合知识计算2古典概型的概率求解步骤(1)求出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件的个数m.(3)代入公式P(A)求解对点训
8、练1(2020广东深圳模拟)一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当yx，yz时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合1，2，3，4中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为()A BC D解析：根据题意，要得到一个三位“凸数”，在1，2，3，4的4个整数中任取3个不同的数组成三位数，由1，2，3组成的三位数有123，132，213，231，312，321，共6个；由1，2，4组成的三位数有124，142，214，241，412，421，共6个；由1，3，4组成的三位数有134，143，314，341，413，431，共6个；由2，3，4组成
9、的三位数有234，243，324，342，423，432，共6个所以共有666624个三位数当y4时，有241，142，341，143，342，243，共6个“凸数”；当y3时，有132，231，共2个“凸数”故这个三位数为“凸数”的概率P.答案：B2空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：050为优；51100为良；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300为严重污染一环保人士记录了某地2019年某月10天的AQI的茎叶图如图所示(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(A
10、QI100)的天数；(按这个月总共有30天计算)(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率解析：(1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，故该样本中空气质量优良的频率为，估计该月空气质量优良的概率为，从而估计该月空气质量优良的天数为3012.(2)该样本中为轻度污染的共4天，分别记为a1，a2，a3，a4；为中度污染的共1天，记为b；为重度污染的共1天，记为c.从中随机抽取两天的所有可能结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，
11、a3)，(a2，a4)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，a4)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共15个其中空气质量等级恰好不同的结果有(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共9个，所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为.题型二几何概型典例剖析类型 1与长度有关的几何概型例1(1)某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是_解析：如图所示，画出时间轴：小
12、明到达的时间会随机地落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P.答案：(2)(2021吉林长春模拟)已知线段AC16 cm，先截取AB4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm3的概率为_解析：设长方体的长为x，宽为(12x)，由4x(12x)128，得x212x320，4x8，即在线段BC内，截取点D，满足BD(4，8)，其概率为.答案：类型 2与面积有关的几何概型例2(1)(2020河北唐山模拟)割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补
13、虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现，如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法在ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为()A BC D解析：根据题意可得标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，故该点落在标记“盈”的区域的概率为.答案：A(2)在区间(0，1)上任取两个数，则两个数之和小于的概率是()A BC D解析：设这两个数是x，y，则试验所有的基本事件构成的区域即确定的平面区域，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1，所以这两个数之和小于的概率是.答案：C类型 3与体积有关的几何概型例3(1)(2021河北唐山
14、模拟)已知正三棱锥S ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP ABCVS ABC的概率是()A BC D解析：当点P到底面ABC的距离小于时，VP ABCVS ABC.由几何概型知，所求概率为P1.答案：A(2)(2020湖南长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_解析：V正238，V半球13.，P1.答案：1类型 4与角度有关的几何概型例4(1)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yOT内的概率为
15、_解析：因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在yOT内的概率为.答案：(2)如图所示，在等腰直角ABC中，过直角顶点C作射线CM交AB于点M，则使得AM小于AC的概率为_解析：当AMAC时，ACM为以A为顶点的等腰三角形，ACM67.5.当ACM67.5时，AMAC，所以AM小于AC的概率P.答案：方法总结1与长度有关和与角度有关的几何概型(1)设线段a是线段L的一部分，向线段L上任投一点，点落在线段a上的概率P.(2)当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为度量区域来计算概率要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).2与
16、面积、体积有关的几何概型(1)与面积有关的几何概型：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解(2)与体积有关的几何概型：对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解. 题组突破1某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：158：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他到达单位时间为有效刷卡时间的概率是()A BC D解析：该职工在7
17、：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB，且AB40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB，且CB15，如图所示，所以该职工到达单位时间为有效刷卡时间的概率P.答案：D2节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是_解析：设通电x秒后第一串彩灯闪亮，通电y秒后第二串彩灯闪亮依题意得0x4，0y4，S4416.又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|xy|2，由
18、图可知，符合要求的S16222212，由几何概型的概率公式得P.答案：1.(2019高考全国卷)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A BC D解析：在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n2664，恰有3个阳爻的基本事件数为C20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P.答案：A2(2020高考全国卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A BC D解析：从O，A，B，C，D这5个
19、点中任取3点，取法有O，A，B，O，A，C，O，A，D，O，B，C，O，B，D，O，C，D，A，B，C，A，B，D，A，C，D，B，C，D，共10种，其中取到的3点共线的只有O，A，C，O，B，D这2种取法，所以所求概率为.答案：A3(2020高考全国卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，
20、则至少需要志愿者()A10名 B18名C24名 D32名解析：由题意，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，即第二天确保完成新订单1 600份，减去超市每天能完成的1 200份，加上积压的500份，共有1 6001 200500900(份)，至少需要志愿者9005018(名).答案：B1(2020安徽合肥模拟)下图是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的值随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为N，落在正六边形内切圆内的豆子个数为M，则估计圆周率的值为()A. B. C D解析：设正六边形的边长为1，则其内切圆的半径为，依题意得，解得.答案：D2在区间0，1上随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A BC D解析：由题意得，(xi，yi)(i1，2，n)在如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影区域(不包含边界)中，即以1为半径的圆中由几何概型概率计算公式知，所以.答案：C