1、第二节直线的交点与距离公式三种距离三种距离条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|点到直线的距离P(x0，y0)到直线AxByC0的距离为dd两平行线间的距离直线AxByC10到直线AxByC20的距离为dd1.点到直线的距离公式的注意点(1)直线方程为一般式(2)公式中分母与点无关(3)分子与点及直线方程都有关2两平行直线间的距离的注意点(1)是一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)也可以看成是两条直线上各取一点的最短距离1(基础知识：点到直线的距离)点(1，1)到直线xy10的距离是()A BC D答案：D2(基本能力：直线的交点)直线2xy10，yx1，yax2
2、交于一点，则a的值为_答案：3(基本方法：两平行线间的距离)已知两平行线l1：2x3y6，l2：2x3y10，则l1与l2间的距离为_答案：4(基本应用：点到直线距离的应用)已知点A(3，2)和B(1，4)到直线axy10的距离相等，则a的值为_答案：4或5(基本应用：点关于直线对称)已知点A与点B(1，2)关于直线xy30对称，则点A的坐标为_答案：(5，4)题型一直线的交点及应用 典例剖析典例(1)(2020山西太原模拟)若直线y2x，xy3，mxny50相交于同一点，则点(m，n)与原点之间的距离的最小值为()A BC2 D2解析：由解得把(1，2)代入mxny50，可得m2n50，m5
3、2n.点(m，n)与原点之间的距离d，当且仅当n2，m1时取等号点(m，n)与原点之间的距离的最小值为.答案：A(2)经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程为_解析：法一：由方程组得x0，y2，即P(0，2).因为ll3，所以直线l的斜率k，所以直线l的方程为y2x，即4x3y60.法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，所以可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.因为ll3，所以3(1)(4)(2)0，所以11，所以直线l的方程为12x9y180，即4x3y60.答案：4x3y60方法总结求过两直线交点的直线
4、方程的方法(1)直接法：先求出两直线的交点坐标；结合题设中的其他条件，写出直线方程；将直线方程化为一般式(2)直线系法：设过两直线A1xB1yC10，A2xB2yC20交点的直线方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0.利用题设条件，求的值，得出直线方程验证所得直线方程是否符合题意(3)数形结合法：求直线截得的线段长对点训练1经过直线l1：x2y30与直线l2：2x3y80的交点，且与点P(0，4)的距离为2的直线方程为_解析：由解得l1与l2的交点为(1，2).由题意知直线斜率存在，故设所求直线的方程为y2k(x1)，即kxy2k0.点P(0，4)与所求直线的距离为2，2，解得k0或k.
5、所求直线的方程为y2或4x3y20.答案：y2或4x3y202已知直线l经过点P(3，1)，且被两条平行直线l1：xy10和l2：xy60截得的线段长为5，求直线l的方程解析：法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x3，此时与l1，l2的交点分别为A(3，4)，B(3，9)，截得的线段AB的长|AB|49|5，符合题意若直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x3)1.解方程组得A，解方程组得B.由|AB|5，得52.解得k0，即所求的直线方程为y1.综上可知，所求直线l的方程为x3或y1.法二：如图所示，作直线l1：xy10，l2：xy60.l1与x，y轴的交点分别为A(1，0)，B(
6、0，1)，l2与x，y轴的交点分别为C(6，0)，D(0，6).所以|BD|5，|AC|5.过点(3，1)与l1、l2截得的线段长为5，即平行于x轴或y轴所以所求直线方程为x3或y1.题型二距离问题 典例剖析典例(1)已知两条平行直线l1：mx8yn0与l2：2xmy10间的距离为，则直线l1的方程为_解析：因为l1l2，所以，所以或当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，把l2的方程写成4x8y20，所以，解得n22或18.故所求直线l1的方程为2x4y110或2x4y90.当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，把l2的方程写成4x8y20，所以，解得n18或22.故所求直线l1的方程为2
7、x4y90或2x4y110.答案：2x4y90或2x4y110(2)已知正方形的中心为点M(1，0)，一条边所在直线方程是x3y50.求正方形其他三边所在直线的方程解析：如图所示，过M作边AD所在直线x3y50的垂线，垂足为E.|ME|.设直线BC的方程为x3ym0，则M到BC的距离是.令.解得m7或m5.所以直线BC的方程为x3y70.因为直线AB与AD垂直，所以设它的方程为3xyn0.则M到AB的距离是.令，解得n3或n9.所以直线AB，CD的方程分别为3xy90，3xy30.综上得，其余三边所在直线的方程分别是3xy90，x3y70，3xy30.方法总结1用点到直线的距离公式，直线方程必
8、须为一般式；2用两平行线间的距离公式，两直线方程中x，y的系数分别相同；3两个公式中的“绝对值”号不可盲目去掉，要等价变化；4点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|.对点训练1若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A BC D解析：因为，所以两直线平行将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.答案：C2过点P(2，1)且与原点距离为2的直线l的方程为_解析：当l的斜率k不存在时，此时l的方程为x2，满足题意；当l的斜率k存在时，设l的方
9、程为y1k(x2)，即kxy2k10.由点到直线的距离公式得2，k，l的方程为3x4y100.综上，所求l的方程为x2或3x4y100.答案：x2或3x4y100题型三对称问题 典例剖析类型 1点关于点对称 例1过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_解析：设l1与l的交点为A(a，82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a，2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.答案：x4y40类型 2点关于直线对称 例2如图所示，已知A(4，0)
10、，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A3 B6C2 D2解析：直线AB的方程为xy4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(2，0)，则光线经过的路程为|CD|2.答案：C类型 3直线关于直线对称 例3直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是_解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由得点P(x0，y0)在直线2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.答案：x2y30方法总结有关对称问题的规律方法方法解读中
11、心对称点关于点点M(x1，y1)与N(x，y)关于P(a，b)对称，利用中点直线关于点l1关于A对称的直线：取Bl1，求B关于A的对称点B，利用斜率相等，求点斜式轴对称点关于直线对称点A关于l1的对称点A，利用AA的中点在l1上，且AAl1，求A点直线l1关于直线l对称，l1lA利用Al2，且取Bl1，求B关于l的对称点B，由A和B求方程若l1l利用平行线l1与l，l与l2之间的距离相等或者利用斜率相等题组突破1在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过ABC的重心，则AP等于()A2B1C D解析：以A为
12、原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4).设ABC的重心为D，则D点坐标为.设P点坐标为(m，0)，则P点关于y轴的对称点P1为(m，0)，因为直线BC方程为xy40，所以P点关于BC的对称点P2为(4，4m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，kP1DkP2D，即，解得m或m0.当m0时，P点与A点重合，故舍去m.答案：D2已知直线l：2x3y10，点A(1，2).求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l的方程解析：(1)设对称点A的坐标
13、为(m，n)，由已知可得解得即A.(2)在直线m上取一点，如B(2，0)，则B关于l的对称点必在m上，设对称点为B(a，b)，则由得B.设m与l的交点为N，由得N(4，3).设直线m上任意一点的坐标为(x，y)，由两点式得直线m的方程为，即9x46y1020.(3)法一：在l：2x3y10上任取两点，如M(1，1)，N(4，3).则M，N关于点A的对称点M，N均在直线l上易知M(3，5)，N(6，7)，由两点式可得l的方程为2x3y90.法二：设直线l关于点A的对称直线l上的任意一点P(x，y)，则点P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y).点P在直线l上，2(2x)3(4y)
14、10，即2x3y90.1设x0，y0，满足2xy1，则x 的最小值为()A BC1 D解析：因为x0，y0，满足2xy1，设zx，其可表示为直线2xy1在第一象限的点P(x，y)到y轴的距离d与到原点的距离|PO|的和设原点关于直线2xy1的对称点为O1(m，n)，则由解得所以O1.由对称性可得|PO1|PO|，所以z|PO1|d，故当PO1y轴时z最小故当且仅当x，y时，zx取最小值.答案：A2已知实数x满足|2x1|2x5|6，则x的取值范围是_解析：由|2x1|2x5|6可得3，它表示数轴上的动点x到定点与的距离之和为3.又定点与之间的距离恰好为3，故有x.答案：3求函数y 的最小值解析
15、：此类问题直接用代数方法求解，困难较大，我们注意到和可分别变形为和，便可分别看成是点(x，0)到另两点(1，1)和(3，2)的距离，即问题化为x轴上一动点(x，0)到另两定点(1，1)和(3，2)的距离之和的最小值结合图形(图略)，易得ymin. (2020上海松江区模拟)对于直角坐标平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“新距离”：|AB|x2x1|y2y1|.给出下列三个命题：若点C在线段AB上，则|AC|CB|AB|；在ABC中，若C90，则|AC|2|CB|2|AB|2；在ABC中，|AC|CB|AB|.其中的真命题为()A BC D解析：对于直角坐标平面内的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“新距离”：|AB|x2x1|y2y1|.对于，若点C在线段AB上，设C点坐标为(x0，y0)，x0在x1，x2之间，y0在y1，y2之间，则|AC|CB|x0x1|y0y1|x2x0|y2y0|x2x1|y2y1|AB|成立，故正确；对于，平方后不能消除x0，y0，命题不成立；对于，在ABC中，|AC|CB|x0x1|y0y1|x2x0|y2y0|(x0x1)(x2x0)|(y0y1)(y2y0)|x2x1|y2y1|AB|，故不一定成立只有命题成立答案：C
