1、2018-2019学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学试题(理科)参考答案一、选择题D C B A B D D B A D B C二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17. 解:,当,可求.1分可得-得即 3分所以为以4为首项,2为公比的等比数列,. 5分(2)因为, 6分所以8分所以 = =.12分18. 解:(1) 3分令,解得,.所以递增区间是. 6分(2), 即 , ,由,得 8分在中,,,即 ,, 10分,为正三角形,,, . 12分19.(1)证明:因为DE平面ABCD,平面,所以DEAC,1分因为ABCD是菱形,所以ACBD,又,所以AC平面BDE 3分因为,所
2、以平面ACE平面BDE. 4分(2)解:取的中点,连接,则.以为坐标原点,分别以所在的方向作为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 5分 因为平面,所以即为BE与平面ABCD所成的角,即DBE=60,因此 6分设菱形的边长为,可知.则, ,所以,9分设平面的法向量为,则,即令,则 10分而平面的一个法向量所以设平面与底面所成的角为,为锐角,所以.因此,平面与底面所成角的余弦值为. 12分20. 解:(1)当时,最小,因为,所以, 2分又点在椭圆上,所以, 3分所以椭圆的方程为; 4分(2)设点坐标分别为,直线的方程为,联立得, 6分,且, 7分因为,所以, 11分即直线的斜
3、率与的斜率互为相反数,所以直线与的倾斜角互补. 12分21. 解:(1)由题意可知,的定义域为, 1分令,函数在定义域内有两个不同的极值点等价于在上有两个零点, 3分当时,在上,单调递减,不满足题意;当时,在上,函数单调递增,在上,函数单调递减, 5分要使在上有两个零点,只需,即,解得,故的取值范围为. 6分(2)由(1)可知,两式相减可得:, 7分 要证明,只需证明即证明 9分把代入并整理可得:,即 10分令,即证明, 11分令,则,当时,函数在上单调递减,所以,所以,命题得证. 12分22. 解:(1)曲线:,,即. 2分 直线:,即 4分(1) 将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得:,,得,即6分由已知得:,即 8分 10分23. 解:(1)由已知得: 当时,即, 2分 当时,即, 4分综上,. 5分(1) , 7分, 9分令则,当且仅当时取等号.因此. 10分