1、第60课椭圆的方程A应知应会1. 若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为6,则点P到另一个焦点F2的距离是.2. 若方程+=1表示椭圆,则实数k的取值范围是.3. 若椭圆+=1过点(-2,),则其焦距为.4. 已知椭圆+y2=1的两个焦点分别为F1,F2,过点F1作垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为P,那么PF2=.5. (1) 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且F(2,0)为其右焦点,求椭圆C的方程;(2) 已知动点P到定点F(,0)的距离与点P到定直线l:x=2的距离之比为,求动点P的轨迹方程.6. (2016南通三中)已知椭圆+=1 (ab0)的焦点分别是F1(0,-1)
2、,F2(0,1),且3a2=4b2.(1) 求椭圆的方程;(2) 若点P在这个椭圆上,且PF1-PF2=1,求F1PF2的余弦值.B巩固提升1. (2016通州中学)在平面直角坐标系中,已知ABC的顶点A(-4,0),C(4,0).若顶点B在椭圆+=1上,则=.2. (2016徐州三中)若椭圆+=1上一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,O为坐标原点,则ON=.3. (2016唐山模拟)已知F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上.若PF1F2为直角三角形,则PF1F2的面积等于.4. (2016合肥模拟)已知椭圆C:+y2=1(a0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭
3、圆上异于顶点的任意一点,PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点.若四边形OMPN的周长为2,则PF1F2的周长是.5. (2016昆山中学)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(1) 求动点M的轨迹C的方程;(2) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.6. (2016小海中学)已知A,B分别是椭圆+=1长轴的左、右端点,F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PAPF.(1) 求点P的坐标;(2) 若M是椭圆的长轴AB上的一点,点M到直线AP的距离等于MB,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值
4、.第60课椭圆的方程A应知应会1. 4【解析】由椭圆的定义知PF1+PF2=2a=10,PF1=6,故PF2=4.2. (3,+)【解析】若方程+=1表示椭圆,则 k3.3. 4【解析】把点(-2,)代入椭圆方程,得m2=4,所以c2=16-4=12,所以c=2,故焦距为4.4. 【解析】不妨设F1为左焦点,则F1(-,0).设P(-,m)(m0),则+m2=1,解得m=,所以PF1=.根据椭圆的定义知PF2=4-PF1=.5. 【解答】(1) 依题意可设椭圆C的方程为+=1(a0,b0),且可知左焦点为F1(-2,0),从而有解得又a2=b2+c2,所以b2=12,故椭圆C的方程为+=1.(
5、2) 设点P(x,y),依题意有=,整理得+=1,所以动点P的轨迹方程为+=1.6. 【解答】(1) 依题意知c=1.又c2=a2-b2,且3a2=4b2,所以a2-a2=1,即a2=1,所以a2=4,因此b2=3,从而椭圆的方程为+=1.(2) 因为点P在椭圆上,所以PF1+PF2=2a=22=4.又PF1-PF2=1,所以PF1=,PF2=.因为F1F2=2c=2,所以由余弦定理得cosF1PF2=,即F1PF2的余弦值等于.B巩固提升1. 【解析】由椭圆方程知其焦点坐标分别为(-4,0)和(4,0),恰好为ABC的顶点A和C的坐标.又由椭圆定义知BA+BC=10.在ABC中,由正弦定理可
6、知=.2. 4【解析】在椭圆+=1中,a2=25,2a=10.设右焦点为F2.由椭圆定义可知MF1+MF2=2a=10.因为MF1=2,所以MF2=8.又N是MF1的中点,所以ON是MF1F2的中位线,所以ON=MF2=4.3. 6【解析】由题意可知a=4,b=2,c=2.当P为短轴的端点时,F1PF2最大,此时sin=,所以=,所以F1PF2=,故F1PF2.不妨设F2F1P=,故可设P(-2,y0),代入椭圆方程可得y0=3,所以=43=6.4. 2+2【解析】如图,因为O,M分别为F1F2和PF1的中点,所以OMPF2且OM=PF2.同理ONPF1且ON=PF1,所以四边形OMPN为平行
7、四边形.由题意知OM+ON=,故PF1+PF2=2,即2a=2,a=.由a2=1+c2,知c2=a2-1=2,即c=,所以F1F2=2c=2,故PF1F2的周长为2a+2c=2+2.(第4题)5. 【解答】(1) 由点M(x,y)到直线x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍,得|x-4|=2,化简得+=1,所以动点M的轨迹为椭圆,方程为+=1.(2) 设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知2x1=0+x2,2y1=3+y2,由(1)知椭圆的上、下顶点的坐标分别是(0,)和(0,-).经检验,直线m不经过这两点,即直线m的斜率存在.设直线m的方程为y=kx+3,联立椭圆方程和直线方程并整理得(3+4k2)x2+24kx+24=0,则有x1+x2=,x1x2=.由+=+2=k=,所以直线m的斜率k=.6. 【解答】(1) 由已知可得点A(-6,0),B(6,0),F(4,0).设点P(x,y),则=(x+6,y),=(x-4,y).由已知得2x2+9x-18=0,解得x=或x=-6(舍去,与点A重合).因为y0,所以y=,所以点P的坐标是.(2) 直线AP的方程是x-y+6=0.设点M(m,0),则点M到直线AP的距离是,所以=|m-6|.又-6m6,解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M的距离d=.因为-6x6,所以当x=时,d取到取小值.
