1、第47课基本不等式及其应用A应知应会1. 当x1时,函数y=x+的最小值是.2. 已知正数x,y满足x+y=1,那么+的最小值为.3. 若x+2y=1,则2x+4y的最小值为.4. (2016常熟中学)已知x0,y0,且4xy-x-2y=4,那么xy的最小值为.5. 已知x0,y0,且x+y=1.(1) 求+的最小值;(2) 求+的最大值.6. 运货卡车以x km/h的速度匀速行驶130 km,按交通法规限制50x100(单位:km/h).假设汽油的价格是2元/L,汽车每小时耗油 L,司机的工资是14元/h.(1) 求这次行车总费用y关于x的表达式;(2) 当x为何值时,这次行车的总费用最低?
2、并求出最低费用.B巩固提升1. 已知a0,b0,若不等式+恒成立,则m的最大值为.2. (2016扬州期末)已知ab1,且2logab+3logba=7,那么a+的最小值为.3. (2016苏州期末)已知ab=,a,b(0,1),那么+的最小值为.4. (2016江苏卷)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是.5. 已知变量x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为12,求+的最小值.6. (2016苏北四市摸底)如图,墙上有一幅壁画,最高点A离地面4 m,最低点B离地面2 m,观察者从距离墙x m(x1)、离地面高a
3、 m(1a2)的C处观赏该壁画.设观赏视角ACB=.(1) 若a=1.5,问:观察者离墙多远时,视角最大?(2) 若tan=,当a变化时,求x的取值范围.(第6题)第47课基本不等式及其应用A应知应会1. 3【解析】因为x1,所以y=x+=(x-1)+12+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立,故函数y的最小值为3.2. 9【解析】+=(x+y)=1+45+2=5+4=9,当且仅当x=,y=时取等号.3. 2【解析】易知2x+4y=2x+22y2=2=2,当且仅当x=,y=时等号成立.4. 2【解析】因为x0,y0,x+2y2,所以4xy-(x+2y)4xy-2,所以44xy-2,所以
4、(-2)(+1)0,所以2,所以xy2.5. 【解答】(1) +=(x+y)=10+10+2=18,当且仅当=,即x=,y=时等号成立,所以+的最小值为18.(2) 由题设得+=2,当且仅当2x+1=2y+1,即x=y=时取等号,所以+的最大值为2.6. 【解答】(1) 设所用时间为t h,则t=,y=2+14,x50,100,所以这次行车总费用y关于x的表达式是y=+x,x50,100.(2) y=+x26,当且仅当=x,即x=18时等号成立.故当行驶的速度为18 km/h时,这次行车的总费用最低,最低费用为26 元.B巩固提升1. 12【解析】由+,得m(a+3b)=+6.又+62+6=1
5、2,所以m12,所以m的最大值为12.2. 3【解析】因为2logab+3logba=7,所以2(logab)2-7logab+3=0,解得logab=或logab=3.因为ab1,所以logab(0,1),故logab=,从而b=,因此a+=a+=(a-1)+13,当且仅当a=2时等号成立.3. 4+【解析】因为b=,a(0,1),所以+=+=+2=+2.令2a+1=t,则a=,原式=+2=+2+2=4+,当且仅当t=,即a=(0,1)时取等号,故原式的最小值为4+.4. 8【解析】因为sinA=2sinBsinC,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以sinB
6、cosC+cosBsinC=2sinBsinC,两边同时除以cosBcosC得tanB+tanC=2tanBtanC.又tanAtanBtanC=-tan(B+C)tanBtanC=-tanBtanC=.由锐角三角形ABC,得tanB0,tanC0,tanA=0,即tanBtanC-10.令tanBtanC-1=t(t0),则tanAtanBtanC=2t+48,当且仅当t=1时取等号.5. 【解答】作出可行区域如图中阴影部分所示,当直线z=ax+by(a0,b0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点A(4,6)时,目标函数z=ax+by(a0,b0)取得最大值12,即4a+6b=
7、12,即2a+3b=6,又 +=+2=,当且仅当=,即a=b=时取等号.所以+的最小值为.(第5题)6. 【解答】(1) 当a=1.5时,过C作AB的垂线,垂足为D,则BD=0.5 m,且=ACD-BCD.因为观察者离墙x m,且x1,则tanBCD=,tanACD=,所以tan=tan(ACD-BCD)=,当且仅当x=,即x=1时取等号.又因为tan在上单调递增,所以当观察者离墙 m时,视角最大.(2) 由题意得tanBCD=,tanACD=,又tan=,所以tan=tan(ACD-BCD)=,所以a2-6a+8=-x2+4x.当1a2时,0a2-6a+83,所以0-x2+4x3,解得0x1或3x4.又因为x1,所以3x4,所以x的取值范围为3,4.
