1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第五章一元函数的导数及其应用51导数的概念及其意义51.1变化率问题必备知识自主学习导思1.什么是平均速度？什么是瞬时速度？两者有何联系？2什么是割线的斜率？什么是切线的斜率？两者有何联系？1.变化率对于高台跳水中运动员的重心相对水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数yh(t).(1)平均速度在t1tt2这段时间里的平均变化率：时间的改变量：tt2t1高度的改变量：yh(t2)h(t1)平均变化率 (2)瞬时速度瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速
2、度极限：函数h(t)在t2处的瞬时速度是函数h(t)从2到2t的平均变化率在t0时的极限，即 _(1)t，y以及平均变化率一定为正值吗？提示：t，y可正可负，y也可以为零，但t不能为零，平均变化率可正可负可为零(2)函数平均变化率的几何意义提示：如图所示，函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，事实上kAB.(3)物体的平均速度能反映它在某一时刻的瞬时速度吗？提示：不能，物体的瞬时速度是指某一时刻的速度，而平均速度是指某一段时间或一段路程的速度2抛物线的切线的斜率(1)割线的斜率：设P0(2，f(2)，P(2x，f(2x)
3、是抛物线yf(x)上任意不同两点，则割线P0P的斜率为.(2)过点P0(2，f(2)切线的斜率：当P点逐渐靠近P0点，即x逐渐变小，当x0时，瞬时变化率 就是yf(x)在2处的切线的斜率，即k .(1)曲线的割线P0P与曲线在P0的切线有什么关系？提示：当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点P0，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T.割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.(2)曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？提示：不一定，如图所示，可知切线与函数的图象不一定只有一个交点1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量x
4、可取任意实数()提示：(1)在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量x可以是正数，也可以是负数，但不能为0.(2)函数yf(x)从x1到x2的平均变化率公式中x与y同号()提示：(2)函数yf(x)从x1到x2的平均变化率公式中x与y可能同号，也可能异号(3)物体在某一时刻t的瞬时速度即在t，tt上，当t较小时的平均速度()提示：(3)物体在某一时刻t的瞬时速度是当t0时，平均速度的极限2函数yf(x)，自变量x由x0改变到x0x时，函数的改变量y为()A.f(x0x) Bf(x0)xC.f(x0)x Df(x0x)f(x0)【解析】选D.yf(x0x)f(x0).3(教材练习改编)曲线
5、yx22x4在点(1，3)处的切线的斜率为()A.0 B1 C1 D【解析】选A. k x0.关键能力合作学习类型一求运动物体的平均速度(数学抽象、数学运算)1已知函数yf(x)x21，则在x2，x0.1时，y的值为()A.0.40 B0.41 C0.43 D0.44【解析】选B.yf(2x)f(2)f(2.1)f(2)2.12220.41.2已知一物体的运动方程为yf(t)2t21，其中t的单位是s，路程单位为m，那么物体在时间1，1t内的平均速度为()A.4 B4tC.42t D2t【解析】选C.由题意，yf(1t)f(1)2(1t)2134t2(t)2，所以42t.3一个物体做直线运动，
6、位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)5t2mt，且这一物体在2t3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为()A.2 B1 C1 D6【解析】选B.由已知，得26，所以(5323m)(5222m)26，解得m1.求平均变化率的步骤物体的运动方程为yf，求在区间的平均变化率的步骤：(1)求时间的改变量xxx0；(2)求函数值的变化量yff；(3)求平均变化率 .提醒：x，y的值可正、可负，但x0，当fc为常数时，y0.【补偿训练】1.物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是()A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在
7、0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度【解析】选C.在0到t0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同；在t0到t1范围内，甲、乙所用的时间相同，而甲走的路程较多，所以甲的平均速度较大2若一质点按规律s8t2运动，则在一小段时间2，2.1内的平均速度是()A4 B4.1 C0.41 D1.1【解析】选B.4.1.3一质点的运动方程是s42t2，则在时间段1，1t内相应的平均速度为()A.2t4 B2t4C.2t4 D2t4【解析】选D.2t4.类型二求瞬时速度(数学抽象、数学
8、运算)【典例】枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6103s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度四步内容理解题意条件：加速度是5.0105 m/s2枪弹从枪口射出时所用时间为1.6103s结论：枪弹射出枪口时的瞬时速度思路探求利用位移公式，求出位移的变化量s，时间的变化量t，最后求出 即为所求书写表达位移公式为sat2，因为sa(t0t)2atat0ta(t)2，所以at0at，所以 at0，已知a5.0105 m/s2，t01.6103s，所以at0800 m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.题后反思求瞬时速度关
9、键是求的值，然后求其极限值即可1求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0).(2)求平均速度.(3)求瞬时速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度2求(当x无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把x作为一个数来参与运算(2)求出的表达式后，x无限趋近于0，可令x0，求出结果即可1一质点运动的方程为s53t2，若该质点在t1到t1t这段时间内的平均速度为3t6，则该质点在t1时的瞬时速度是()A.3 B3 C6 D6【解析】选D.v (3t6)6.2质点M按规律s2t23做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t
10、2 s时的瞬时速度是()A.2 m/s B6 m/s C4 m/s D8 m/s【解析】选D.v (82t)8(m/s).类型三求曲线的切线方程(数学抽象、数学运算)角度1 求切线方程【典例】求函数y在x2处的切线方程【思路导引】先求出变化量，再求平均变化率，再求切线的斜率，进而求切线方程【解析】因为y1，所以，所以k 1.又x2时y1.所以切线方程为y11(x2)，即xy30.在本例中“x2”改为“x2”结果如何？【解析】因为y1，所以，所以k 1.又x2时y1.所以切线方程为y11(x2)，即xy30.角度2求切点坐标【典例】已知曲线y2x27在点P处的切线方程为8xy150，则切点P的坐
11、标为()A(2，1) B(0，7)C(2，1) D(3，11)【思路导引】求出切点的横坐标，进而求出切点坐标【解析】选C.设P点坐标为(x0，2x7)，则 (4x02x)4x0.所以4x08，解得x02.所以P的坐标为(2，1).求曲线上某点处切线方程的三个步骤1已知点P(1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当x0时，若kPQ的极限为2，则在点P处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2【解析】选B.由题意可知，曲线在点P处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.2已知函数f(x)ax2b在点(1，3)处的切线斜率为2，则_【解析】因为斜率为2，又 (ax2a)2a，
12、所以2a2，所以a1.又f(1)ab3，所以b2.所以2.答案：23下面是一段登山路线图同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力想想看，为什么？你能用数学语言来量化AB段、BC段曲线的陡峭程度吗？【解析】山路从A到B高度的平均变化率为kAB，山路从B到C高度的平均变化率为kBC，所以kBCkAB，所以山路从B到C比从A到B陡峭【补偿训练】1.设函数f(x)在x1处切线斜率为2，则 _【解析】根据条件知k 2，所以 .答案：2已知函数yf(x)，则此函数在区间1，1x上的平均变化率为_【解析】.答案：课堂检测素养达标1已知一直线运动的物体，当时间从t变到tt时物体
13、的位移为s，那么 为()A时间从t变到tt时物体的速度B在t时刻该物体的瞬时速度C当时间为t时物体的速度D时间从t变到tt时物体的平均速度【解析】选B.表示从时间t到tt时物体的平均速度，从而 表示在t时刻该物体的瞬时速度2如图，函数yf(x)在1，3上的平均变化率为()A1 B1 C2 D2【解析】选B.1.3(2021汕头高二检测)一个物体的运动方程为s1tt2.其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在t3秒时的瞬时速度是()A7米/秒 B6米/秒 C5米/秒 D8米/秒【解析】选C.s1(3t)(3t)2(1332)t25t，t5，所以瞬时速度 (t5)5(米/秒).4(教材练习改编)
14、函数f(x)x2x在区间2，t上的平均变化率是2，则t_【解析】因为函数f(x)x2x在区间2，t上的平均变化率是2，所以2，即t2t62t4，从而t23t100，解得t5或t2(舍去).答案：55蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)15，其中T(t)为体温(单位：)，t为太阳落山后的时间(单位：min).(1)从t0到t10，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t0到t10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？【解析】(1)在t0和t10时，蜥蜴的体温分别为T(0)1539，T(10)1523，392316()，故从t0到t10，蜥蜴的体温下降了16.(2)平均变化率为1.6.它表示从t0到t10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6.关闭Word文档返回原板块
