1、第四节三角函数的图像与性质命题分析预测学科核心素养本节是高考考查的重点，主要考查：（1）三角函数的图像变换；（2）三角函数的性质及应用；（3）三角函数图像与性质的综合应用，有时也与三角恒等变形综合考查，多以选择题和填空题的形式呈现，难度中等偏下本节通过三角函数的图像及性质考查考生的直观想象和数学运算核心素养，及化归思想和整体代换思想的应用授课提示：对应学生用书第72页知识点三角函数的图像与性质1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数ysin x，x0，2的图像上，五个关键点是：（0，0），（，0），（2，0）在余弦函数ycos x，x0，2的图像上，五个关键点是：（0，1），（，1），（
2、2，1）五点法作图有三步：列表、描点、连线（注意光滑）2正弦、余弦、正切函数的图像与性质函数ysin xycos xytan x图像定义域RRk值域1，11，1R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在（kZ）上是递增函数，在（kZ）上是递减函数在2k，2k（kZ）上是递增函数，在2k，2k（kZ）上是递减函数在（kZ）上是递增函数函数ysin xycos xytan x周期性周期是2k（kZ且k0），最小正周期是2周期是2k（kZ且k0），最小正周期是2周期是k（kZ且k0），最小正周期是对称性对称轴是xk（kZ），对称中心是（k，0）（kZ）对称轴是xk（kZ），对称中心是（kZ）对称中心是（kZ
3、） 温馨提醒 二级结论正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期必明易错1正切函数的图像是由直线xk（kZ）隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是（kZ），不能说它在整个定义域内是增函数，如，但是tan tan，正切函数不存在减区间2三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结3研究三角函数的单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“kZ”这一条件1（2021沈阳模拟）若函数y2sin 2x1的最小正周期为T，最大值为A，则（）AT，A1BT2，A1CT，A2 DT2，A2解析：最小正周期T，
4、最大值A1答案：A2ytan 2x的定义域是_解析：由2xk，kZ，得x，kZ，所以ytan 2x的定义域是答案：3函数f（x）3sin在区间上的值域为_解析：当x时，2x，所以sin，故3sin，所以函数f（x）在区间上的值域是答案：4函数ytan图像的对称中心是_解析：由x，kZ，得x，kZ答案：（kZ）5（2021青岛模拟）函数f（x）sin（2x）的单调增区间是_解析：由f（x）sin（2x）sin 2x，令2k2x2k（kZ）得kxk（kZ）答案：（kZ）授课提示：对应学生用书第73页题型一三角函数的定义域与值域1函数ylg sin x 的定义域为_解析：要使函数有意义，则有即解得（
5、kZ），所以2kx2k，kZ所以函数y的定义域为答案：2函数ycos，x的值域是_解析：0x，x，又ycos x在0，上是减函数，cos coscos ，即y答案：3函数ycos2x2sin x在上的最大值为_解析：设sin xt，则ty1sin2x2sin x（t1）22，t，故当t，即x时，ymax2答案：1三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图像来求解2三角函数值域的不同求法（1）利用sin x和cos x的范围直接求（2）把所给的三角函数式变换成yAsin（x）的形式求值域（3）把sin x或cos x看作一个整体，转换成二
6、次函数求值域（4）利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域题型二三角函数的性质三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合常见的命题角度有：（1）三角函数的周期性；（2）三角函数的奇偶性；（3）三角函数的对称性；（4）三角函数的单调性考法（一）三角函数的周期性例1（1）函数y2sin2xsin 2x的最小正周期是（）ABC D2（2）函数f（x）|sin x|cos x|的最小正周期是_解析（1）函数y2sin2xsin 2x2sin 2xsin1，则函数的最小正周期为（2）f|cos x|sin x|f（x），
7、f（x）的最小正周期是答案（1）C（2）三角函数的周期求法（1）利用周期定义（2）利用公式：yAsin（x）和yAcos（x）的最小正周期为，ytan（x）的最小正周期为（3）利用图像考法（二）三角函数的奇偶性例2函数f（x）3sin，（0，）（1）若f（x）为偶函数，则；（2）若f（x）为奇函数，则_解析（1）f（x）3sin为偶函数，k，kZ，即k，kZ，又（0，），（2）f（x）3sin为奇函数，k，kZ，即k，kZ，又（0，），答案（1）（2）函数具有奇偶性的充要条件函数yAsin（x）（xR）是奇函数k（kZ）；函数yAsin（x）（xR）是偶函数k（kZ）；函数yAcos（x）（x
8、R）是奇函数k（kZ）；函数yAcos（x）（xR）是偶函数k（kZ）考法（三）三角函数的对称性例3已知函数f（x）asin xcos x（a为常数，xR）的图像关于直线x对称，则函数g（x）sin xacos x的图像（）A关于点对称B关于点对称C关于直线x对称D关于直线x对称解析因为函数f（x）asin xcos x（a为常数，xR）的图像关于直线x对称，所以f（0）f，所以1a，a，所以g（x）sin xcos xsin，函数g（x）的对称轴方程为xk，kZ，即xk，kZ，当k0时，对称轴为直线x所以g（x）sin xacos x的图像关于直线x对称答案C1对于函数f（x）Asin（x）
9、，其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点（x0，0）是否是函数图像的对称轴或对称中心时，可通过检验f（x0）的值进行判断2函数图像的对称性与周期T之间有如下结论：若函数图像相邻的两条对称轴分别为xa与xb，则最小正周期T2|ba|；若函数图像相邻的两个对称中心分别为（a，0），（b，0），则最小正周期T2|ba|；若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为（a，0）与xb，则最小正周期T4|ba|考法（四）三角函数的单调性例4（1）（2019高考全国卷）下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（）Af（x）|cos 2x| Bf（x）|s
10、in 2x|Cf（x）cos|x| Df（x）sin|x|（2）已知0，函数f（x）sin在上单调递减，则的取值范围是_解析（1）作出函数f（x）|cos 2x|的图像，如图：由图像可知f（x）|cos 2x|的周期为，在区间上单调递增同理可得f（x）|sin 2x|的周期为，在区间上单调递减，f（x）cos|x|的周期为2f（x）sin|x|不是周期函数，排除B，C，D（2）法一：由x，0，得x，又ysin x的单调递减区间为，kZ，所以，kZ，解得4k2k，kZ又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k0，所以法二：由已知，所以02，又x，得x当x时，f（x）单调递减，解得x，于是应有解得答案（
11、1）A（2）已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解；（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解；（3）周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式（组）求解题组突破1（2021合肥联考）函数f（x）sincos 2x的图像的一条对称轴的方程可以是（）AxBxCx Dx解析：f（x）sincos 2xsin 2xcos 2xsin令2xk（kZ），可得x（kZ）令k1可得函数图像的一条对称轴的方程是x答案：
12、B2（2021常德检测）将函数f（x）sin的图像向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则下列说法不正确的是（）Ag（x）的最小正周期为BgCx是g（x）图像的一条对称轴Dg（x）为奇函数解析：由题意得g（x）sinsin 2x，所以最小正周期为，gsin ，直线x不是g（x）图像的对称轴，g（x）为奇函数答案：C3（2021湖南四地联考）已知f（x）cos 2xacos在区间上是增函数，则实数a的取值范围为（）A2，） B（2，）C（，4） D（，4解析：f（x）cos 2xacos12sin2xasin x在上是增函数，ysin x在上单调递增且sin x令tsin x，t，则y2t
13、2at1在上单调递增，则1，因而a（，4答案：D三角函数性质中的核心素养数学运算三角函数中值（范围）的求法问题1利用三角函数的对称性求解例1已知函数f（x）cos（0）的一条对称轴为x，一个对称中心为点，则有（）A最小值2B最大值2C最小值1 D最大值1解析因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以对称中心到对称轴x间的距离用周期可表示为（kZ，T为周期），解得（2k1）T，又T，所以（2k1），则2（2k1），当k0时，2最小 答案A三角函数的对称轴必经过其图像上的最高点或最低点，函数f（x）Asin（x）的对称中心就是其图像与x轴的交点，故可利用三角函数的极值点（最
14、值点）、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“”的取值或范围2利用三角函数的最值求解例2已知函数f（x）2sin x在区间上的最小值为2，则的取值范围是_解析显然0若0，当x时，x，因为函数f（x）2sin x在区间上的最小值为2，所以，解得若0，当x时，x，因为函数f（x）2sin x在区间上的最小值为2所以，解得2综上所述，符合条件的实数的取值范围是（，2答案（，2利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于的不等式，进而求出的值或取值范围题组突破1若函数ycos（N）图像的一个对称中心是，则的最小值为_解析：依题意得cos0，则k（kZ）6k2（kZ），又N，所以的最小值为2答案：22已知f（x）sin（0），ff，且f（x）在区间内有最小值无最大值，则_解析：因为ff，而，所以f（x）的图像关于直线x对称，又f（x）在区间内有最小值无最大值，所以f（x）minfsin1，所以2k，kZ，解得8k再由f（x）在区间内有最小值无最大值，得T，解得12，所以012，所以k0，答案：
