1、2016-2017学年广东省北师大东莞石竹附中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1数列：的一个通项公式为（）ABCD2在一个ABC中，若a=2，b=2，A=30，那么B等于（）A60B60或 120C30D30或1503已知等差数列an中，a1+a9=16，a4=1，则a13的值是（）A15B30C31D644已知等差数列an中，前n项和为Sn，若a3+a9=6，则S11=（）A12B33C66D995在ABC中，若A=，b=16，此三角形面积S=220，则a的值是（）AB75C51D496在ABC中，若a=2bcosC，则ABC一定是（）A直角三角形
2、B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形7已知数列an的前n项和Sn=n29n，第k项满足5ak8，则k等于（）A9B8C7D68如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点仰角分别是，（），则A点离地面的高度AB等于（）ABCD9由1，3，5，2n1，构成数列an，数列bn满足b1=2，当n2时，则b5等于（）A17B15C33D6310在ABC中，a=4sin10，b=sin50，C=70，则SABC=（）ABCD111锐角三角形ABC中，若A=2B，则下列叙述正确的是（）sin3B=sinC；tantan=1；B；，ABCD12设数列an为等差数列，其前n项和为S
3、n，已知a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，若对任意nN*，都有SnSk成立，则k的值为（）A22B21C20D19二、填空题：本题共4小题，每小题5分13在ABC中，已知三边a，b，c满足a2+b2c2=ab，则C=14在ABC中，A=，a=c，则=15等差数列an中，a1+a2+a3=24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于16在ABC中，已知AB=m，（m为定值）C=55，当B=时，BC的长取得最大值三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA（1）求B；（2）已知co
4、sA=，求sinC的值18已知数列an的前n项和Sn=n24n（1）求数列an的通项公式；（2）求Sn的最大或最小值19在ABC中， =（cos，sin），=（cos，sin），且m和n的夹角为（1）求角C；（2）若c=，且ABC的面积为，求a+b的值20已知ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0 ）（1）若c=5，求sinA的值；（2）若A是钝角，求c的取值范围21一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45距离10海里的C处，并沿方位角为105的方向，以9海里/时的速度航行“
5、黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救如图所示，求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程22等差数列an中，a3+a4=4，a5+a7=6（）求an的通项公式；（）设bn=an，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0，2.6=22016-2017学年广东省北师大东莞石竹附中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1数列：的一个通项公式为（）ABCD【考点】数列递推式【分析】设cn=1，1，1，1，=（1）n+1， =，则=cnbn=【解答】解：设cn=1，1，1，1，=（1）n+1，=，=cnbn=，
6、故选B2在一个ABC中，若a=2，b=2，A=30，那么B等于（）A60B60或 120C30D30或150【考点】正弦定理【分析】将已知代入正弦定理即可直接求值【解答】解：由正弦定理可得：sinB=0B180，B=60或 120，故选：B3已知等差数列an中，a1+a9=16，a4=1，则a13的值是（）A15B30C31D64【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a1+a9=16，a4=1，2a1+8d=16，a1+3d=1，解得a1=20，d=7则a13=20+712=64故选：D4已知等差数列an中，前n项和为Sn，若a3
7、+a9=6，则S11=（）A12B33C66D99【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列通项公式的性质及其求和公式即可得出【解答】解：a3+a9=6=a1+a11，则S11=11=33故选：B5在ABC中，若A=，b=16，此三角形面积S=220，则a的值是（）AB75C51D49【考点】正弦定理【分析】根据题意和三角形的面积公式求出边c，由余弦定理求出边a的值【解答】解：在ABC中，A=，b=16，此三角形面积S=220，解得c=55，由余弦定理得，a2=b2+c22bccosA=2401，则a=49，故选D6在ABC中，若a=2bcosC，则ABC一定是（）A直角三角形B等腰三角形
8、C等腰直角三角形D等边三角形【考点】三角形的形状判断【分析】根据余弦定理表示出cosC，代入已知的等式中，化简后即可得到b=c，进而得到此三角形为等腰三角形【解答】解：由余弦定理得cosC=，把cosC代入a=2bcosC得：，a2=a2+b2c2，c2=b2又b和c都大于0，则b=c，即三角形为等腰三角形故选B7已知数列an的前n项和Sn=n29n，第k项满足5ak8，则k等于（）A9B8C7D6【考点】数列递推式【分析】先利用公式an=求出an，再由第k项满足5ak8，求出k【解答】解：an=n=1时适合an=2n10，an=2n105ak8，52k108，k9，又kN+，k=8，故选B8
9、如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点仰角分别是，（），则A点离地面的高度AB等于（）ABCD【考点】解三角形的实际应用【分析】设AB=x，在直角三角形ABC中表示出BC，进而求得BD，同时在RtABD中，可用x和表示出BD，二者相等求得x，即AB【解答】解：设AB=x，则在RtABC中，CB=BD=a+在RtABD中，BD=a+=，求得x=故选A9由1，3，5，2n1，构成数列an，数列bn满足b1=2，当n2时，则b5等于（）A17B15C33D63【考点】数列递推式【分析】根据题意，知b2=a2=3b3=a3=5b4=a5=9b5=a9=17【解答】解：根据
10、题意，得b2=a2=3，b3=a3=5，b4=a5=9，b5=a9=17，故选A10在ABC中，a=4sin10，b=sin50，C=70，则SABC=（）ABCD1【考点】正弦定理【分析】利用三角形的面积计算公式、倍角公式、诱导公式即可得出【解答】解：SABC=absinC=4sin102sin50sin70=故选：C11锐角三角形ABC中，若A=2B，则下列叙述正确的是（）sin3B=sinC；tantan=1；B；，ABCD【考点】解三角形【分析】由ABC为锐角三角形可得，由A=2B，可得C=3B，代入已知可求的B的范围，从而可判断由C=3B，利用正弦函数的诱导公式可判断，利用正切函数的
11、诱导公式可判断利用正弦定理可及二倍角公式化简可得， =cosB，由中B结合余弦函数的单调性可求范围，从而判断【解答】解：ABC中，A=2BC=（A+B）=3B又ABC为锐角三角形解不等式可得故正确sinC=sin（3B）=sin3B故正确tan=tan=1，故正确=2cosB由可得故错误故答案为：12设数列an为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，若对任意nN*，都有SnSk成立，则k的值为（）A22B21C20D19【考点】等差数列的前n项和【分析】设出等差数列的公差为d，由a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，利用等差数列的性质求出a4
12、和a5的值，两者相减即可得到d的值，根据a4和公差d写出等差数列的通项公式an，令an大于0列出关于n的不等式，求出解集中的n的最大正整数解即为满足题意k的值【解答】解：设等差数列an的公差为d，由a1+a4+a7=99，得3a4=99，即a4=33由a2+a5+a8=93，得3a5=93，即a5=31所以d=2，an=a4+（n4）d=2n+41由an0，得n20.5，所以Sn的最大值为S20，所以k=20，故选C二、填空题：本题共4小题，每小题5分13在ABC中，已知三边a，b，c满足a2+b2c2=ab，则C=【考点】余弦定理【分析】把条件代入余弦定理的推论cosC求出它的余弦值，再由内
13、角的范围求出C的值【解答】解：由余弦定理的推论得， =，C为三角形的内角，即0C，C=，故答案为：14在ABC中，A=，a=c，则=1【考点】正弦定理的应用【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可【解答】解：在ABC中，A=，a=c，由正弦定理可得：，=，sinC=，C=，则B=三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，则=1故答案为：115等差数列an中，a1+a2+a3=24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于180【考点】等差数列的性质【分析】由a1+a2+a3=24，a18+a19+a20=78，由等差数列的性质可得a1+a20=1
14、8，再由前n项和公式求解【解答】解：由a1+a2+a3=24，a18+a19+a20=78，得得a1+a20=18所以S20=180故答案为：18016在ABC中，已知AB=m，（m为定值）C=55，当B=35时，BC的长取得最大值【考点】解三角形【分析】由AB=m，及C的度数，利用正弦定理表示出BC，要使BC最大，即要sinA最大，由A为三角形的内角，得到A为90时，sinA最大，利用三角形的内角和定理求出此时B的度数即可【解答】解：AB=m，C=55，根据正弦定理得=，即BC=sinA，是定值，要BC最大，即sinA为最大值，当A=90时，sinA最大，即BC最大，此时B=1809055=
15、35，则当B=35时，BC的长取得最大值故答案为：35三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值【考点】解三角形【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算【解答】解：（1）asin2B=bsinA，2sinAsinBcosB=sinBsinA，cosB=，B=（2）cosA=，sinA=，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=18已知数列an的前n项和Sn=n24n（1）求
16、数列an的通项公式；（2）求Sn的最大或最小值【考点】数列的函数特性【分析】（1）利用当n2时，an=SnSn1的关系进行求解递推（2）根据一元二次函数的性质进行求解判断【解答】解：（1）当n2时，an=SnSn1=n24n（n1）24（n1）=2n5当n=1时，a1=S1=14=3满足上式，则an=2n5（2）Sn=n24n=（n2）24所以当n=2时，Sn有最小值419在ABC中， =（cos，sin），=（cos，sin），且m和n的夹角为（1）求角C；（2）若c=，且ABC的面积为，求a+b的值【考点】余弦定理【分析】（1）由向量的数量积的定义和坐标表示，计算即可得到角C；（2）由已知
17、利用三角形面积公式可求ab=6，运用余弦定理可得a2+b2ab=7，化简计算即可得到a+b【解答】（本题满分为12分）解：（1）=（cos，sin），=（cos，sin），且m和n的夹角为=cos2sin2=11cos，解得：cosC=，0C，C=（2）c=，C=，由面积公式得 absin =，即ab=6由余弦定理得a2+b22abcos =7，即a2+b2ab=7，（a+b）2=7+3ab由得（a+b）2=25，故a+b=520已知ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0 ）（1）若c=5，求sinA的值；（2）若A是钝角，求c的取值范围【考点】向量在几何中的应用【分
18、析】（1）通过向量的数量积求出角A的余弦，利用平方关系求出A角的正弦（2）据向量数量积的公式知向量的夹角为钝角等价于数量积小于0，列出不等式解【解答】解：（1）根据题意，若c=5，则，sinA=；（2）若A为钝角，则解得，c的取值范围是；21一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45距离10海里的C处，并沿方位角为105的方向，以9海里/时的速度航行“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救如图所示，求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程【考点】解三角形的实际应用【分析】设所需时间为t小时，
19、在点B处相遇则可求得AB和BC，进而利用余弦定理建立等式求得t，从而可得结论【解答】解：设所需时间为t小时，则AB=21t，BC=9t又已知AC=10，依题意知，ACB=120，根据余弦定理，AB2=AC2+BC22ACBCcosACB（21t）2=102+（9t）22109tcos 120，（21t）2=100+81t2+90t，即360t290t100=0t=或t=（舍）AB=21=14（海里）即“黄山”舰需要用小时靠近商船，共航行14海里22等差数列an中，a3+a4=4，a5+a7=6（）求an的通项公式；（）设bn=an，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0，2.6=2【考点】等差数列的通项公式；等差数列的性质【分析】（）设等差数列an的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；（）根据bn=an，列出数列bn的前10项，相加可得答案【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，a3+a4=4，a5+a7=6，解得：，an=；（）bn=an，b1=b2=b3=1，b4=b5=2，b6=b7=b8=3，b9=b10=4故数列bn的前10项和S10=31+22+33+24=242016年12月25日